连续时间系统滤波与平滑算法线性系统卡尔曼滤波算法而由(3)可得t+At(9)X(t + △t) = Φ(t + △t,t)X(t) +Φ(t+△t.T)G(T)W(T)dT即(5)．其中t+△tr(k)Wp(k) =(t + △t, T)G()W(T)di为了保证离散后系统的过程噪声和原系统噪声具有相同的特性，要求EWD(K)=0(10)5/45Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
1 线性系统卡尔曼滤波算法 『连续时间系统滤波与平滑算法』 而由 (3) 可得 X(t + ∆t) = Φ(t + ∆t, t)X(t) + Z t+∆t t Φ(t + ∆t, τ )G(τ )W(τ )dτ (9) 即 (5)，其中 Γ(k)WD(k) = Z t+∆t t Φ(t + ∆t, τ )G(τ )W(τ )dτ 为了保证离散后系统的过程噪声和原系统噪声具有相同的特性，要求 EWD(k) = 0 (10) Prof. Yuan-Li Cai 5/45 Xi’an Jiaotong University
【连续时间系统滤波与平滑算法]线性系统卡尔曼滤波算法而且E[(k)WD(k)][T(k)WD(k))T = (k)QD(k)rT (k)+Att+△t(t + △t, T)G()W()WT(A)GT(A)T(t + △t, A)dTd)E+Att+△t(t + △t, T)G(T)Q(T)S(T - )GT()T(t + △t, A)dTd)t+At(t + △t, A)G()Q(A)GT()T(t + △t, )d)近似地（忽略△t二阶以上小量）(k)QD(k)rT(k) = G(t)Q(t)GT(t)△t(11)6/45Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
1 线性系统卡尔曼滤波算法 『连续时间系统滤波与平滑算法』 而且 E[Γ(k)WD(k)][Γ(k)WD(k)]T = Γ(k)QD(k)ΓT (k) = E Z t+∆t t Z t+∆t t Φ(t + ∆t, τ )G(τ )W(τ )WT (λ)G T (λ)ΦT (t + ∆t, λ)dτ dλ = Z t+∆t t Z t+∆t t Φ(t + ∆t, τ )G(τ )Q(τ )δ(τ − λ)G T (λ)ΦT (t + ∆t, λ)dτ dλ = Z t+∆t t Φ(t + ∆t, λ)G(λ)Q(λ)G T (λ)ΦT (t + ∆t, λ)dλ 近似地（忽略 ∆t 二阶以上小量） Γ(k)QD(k)ΓT (k) = G(t)Q(t)G T (t)∆t (11) Prof. Yuan-Li Cai 6/45 Xi’an Jiaotong University
连续时间系统滤波与平滑算法线性系统卡尔曼滤波算法如果取(12)T(k) = G(k△t)那么(13)QD(k) = Q(t)At同样地，为了保证离散后系统的量测噪声和原量测噪声具有相同的特性，要求(14)EVp(k) = 0而且t+At+△tEVD(k +T)V(k)dT = EV(t ++)VT(t)dT7/45Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
1 线性系统卡尔曼滤波算法 『连续时间系统滤波与平滑算法』 如果取 Γ(k) = G(k∆t) (12) 那么 QD(k) = Q(t)∆t (13) 同样地，为了保证离散后系统的量测噪声和原量测噪声具有相同的特 性，要求 EVD(k) = 0 (14) 而且 E Z t+∆t t VD(k + τ )V T D (k)dτ = E Z t+∆t t V (t + τ )V T (t)dτ Prof. Yuan-Li Cai 7/45 Xi’an Jiaotong University
连续时间系统滤波与平滑算法线性系统卡尔曼滤波算法即(15)Rp(k) =R(t)从量纲分析不难看出（13）与（15）的合理性。8/45Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
1 线性系统卡尔曼滤波算法 『连续时间系统滤波与平滑算法』 即 RD(k) = 1 ∆t R(t) (15) 从量纲分析不难看出 (13) 与 (15) 的合理性。 Prof. Yuan-Li Cai 8/45 Xi’an Jiaotong University
连续时间系统滤波与平滑算法线性系统卡尔曼滤波算法7Q(k) = Q(t)At1Ro(k)=云R()注:(1)EW(t)WT()=Q(t)s(t-T）的量纲是：(unit)2/s2,(t)的量纲是1/s:因此Q(t）的量纲是：(unit)/s.而Qp(k）的量纲是：(unit)2(2)EV(t)VT()=R(t)s(t-T)的量纲是：(unit)2, 因此R(t)的量纲是：（unit)?.s.而Rp(k）的量纲是：(unit)2.9/45Prof.Yuan-LiCaiXian JiaotongUniversity
1 线性系统卡尔曼滤波算法 『连续时间系统滤波与平滑算法』 QD(k) = Q(t)∆t RD(k) = 1 ∆t R(t) 注： (1) EW(t)WT (τ ) = Q(t)δ(t − τ ) 的量纲是:(unit) 2/s 2 , δ(t) 的量纲是： 1/s; 因此 Q(t) 的量纲是:(unit) 2/s. 而 QD(k) 的量纲是:(unit) 2 . (2) EV (t)V T (τ ) = R(t)δ(t − τ ) 的量纲是：(unit) 2 , 因此 R(t) 的量纲 是：(unit) 2 · s. 而 RD(k) 的量纲是：(unit) 2 . Prof. Yuan-Li Cai 9/45 Xi’an Jiaotong University