差分的重要性质: 中线性:例如△(af(x)+bg(x)=a△f+b△ 若f(x)是m次多项式,则f(x)(0≤k≤m)是m-k次多项 式,而Δf(x)=0(k>m) 中差分值可由函数值算出: △f=∑(-1 "f=2 其中 n(n-1)…(n-j+1) I binomial coefficients * 函数值可由差分值算出: △ 由Rn表达式 k! h k!h h copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
16 上一页 下一页 差分的重要性质： 线性：例如 (a f (x) + b g(x)) = a f + bg 若 f (x)是 m 次多项式，则 是 次多项 式，而 f (x) (0 k m) k m-k f (x) 0 (k m) k = 差分值可由函数值算出： = + - = - n j n k j j k n f j n f 0 ( 1) = + - - = - n j k j n n j k n f j n f 0 ( 1) ! ( 1)...( 1) j n n n j j n - - + = 其中 /* binomial coefficients */ 函数值可由差分值算出： k j n j n k f j n f = + = 0 k k k k h f f x x ! [ , ... , ] 0 0 = k n k n n n k k h f f x x x ! [ , 1 , ... , ] - - = k k k h f f ( ) 0 ( ) = 由 Rn 表达式
牛顿公式|Nx)=f(x)+几x,xx-x)+…+几1x,…,xxx),(x-xm) a牛顿前差公式/ Newton' s forward-difference formula 设 x=x+th ,则Nn(x)=Nn(x0+th) △f(x0) k R(x)=/(5) (n+1) t(t-1)(t-n)h”,5∈(x,xn) a牛顿后差公式/ Newton' s backward-difference formula 将节点顺序倒置: Nn(x)=∫(xn)+fxn,xn1(x-xn)+…+几xn,…,xl(x-xn)(x-x1) 设x=xn+th,则Nx)=N(xn+t)=∑(-1yf(x,) 注:一般当x靠近x时用前插,靠近xn时用后插,故两 种公式亦称为表初公式和表末公式。 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 贝[下一页
17 上一页 下一页 牛顿公式 ( ) ( ) [ , ]( ) ... [ , ... , ]( )...( ) n = 0 + 0 1 - 0 + + 0 n - 0 - n-1 N x f x f x x x x f x x x x x x 牛顿前差公式 /* Newton’s forward-difference formula */ 牛顿后差公式 /* Newton’s backward-difference formula */ 将节点顺序倒置： ( ) ( ) [ , ]( ) ... [ , ... , ]( )...( ) 1 0 1 N x f x f x x x x f x x x x x x n = n + n n- - n + + n - n - 设 x = x0 + t h ，则 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x k t N x N x t h k n k n = n + = = ( 1)...( ) , ( , ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 ( 1) n n n n t t t n h x x n f R x - - + = + + 设 x = xn + t h ，则 ( ) ( ) ( 1) ( ) 0 n k n k k n n n f x k t N x N x t h - = + = - = 注：一般当 x 靠近 x0 时用前插，靠近 xn 时用后插，故两 种公式亦称为表初公式和表末公式
§3埃尔米特插值/ Hermite Interpolation 不仅要求函数值重合,而且要求若干阶导数也重合。 即:要求插值函数g(x)满足p(x)=f(x),g'(x)=f(x), …,gm(x)=f(m(x) 注:N个条件可以确定N-1阶多项式。 要求在个节点x处直到m阶导数都重合的插 值多项式即为ayor多项式 q(x)=∫(x0)+f(x0)x-x)+…+ r(灬)(0(x-x0) (m0+1 其余项为R(x)=f(x)-p(x) L0)%+ (m0+1) 一般只考虑f与f的值。 18 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 页
18 上一页 下一页 §3 埃尔米特插值 /* Hermite Interpolation */ 不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。 即：要求插值函数 (x) 满足 (xi ) = f (xi ), ’ (xi ) = f ’ (xi ), …, (mi) (xi ) = f (mi) (xi ). 注： N 个条件可以确定 N - 1阶多项式。 要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插 值多项式即为Taylor多项式 0 0 ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( )( ) ... 0 0 0 ( ) 0 0 0 m m x x m f x x = f x + f x x - x + + - 其余项为 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) + + - + = - = m m x x m f R x f x x 一般只考虑 f 与f ’的值
例:设x0≠x1≠x2,已知(x1)、fx1)、(x2)和f(x1,求多项式P(x) 满足P(x)=f(x),i=0,1,2,且P(x)=f(x1,并估计误差。 解:首先,P的阶数=3模仿 Lagrange多项式的思想,设 P(x)=2f(i) h(x)+f(xui(x) 其中(x)=C,2(x)=0,金1(x)=0,金:(x)=1 (.有根x,x2,且h)=0→x是重根。A(x)=C(x-x)(x-x 又:M()=1→C0→a(x)=(x-)(x=x k2(x)与h()完全类似。 (x0-x1)(x0-x2) A()有根xx→M(>与 Lagrange分析 由余下条件h1( 完全类似 n)有根xx,→(x)=C1(x-xx-x) 又:(x)=1→C1可解。 (4) R?(x)=f(x)-P(x)=K(x)x-x)(x-x1)2(x-x2),R(x)= 19 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 真下一真
19 上一页 下一页 例：设 x0 x1 x2 , 已知 f(x0 )、 f(x1 )、 f(x2 ) 和 f ’(x1 ), 求多项式 P(x) 满足 P(xi ) = f (xi )，i = 0, 1, 2，且 P’(x1 ) = f ’(x1 ), 并估计误差。 解：首先，P 的阶数 = 3 模仿 Lagrange 多项式的思想，设 = + 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i=0 P x f xi hi x f ’ x1 h x h0 (x) 有根 x1 , x2，且 h0 ’(x1 ) = 0 x1 是重根。 ( ) ( ) ( ) 2 2 h0 x = C0 x - x1 x - x 又: h0 (x0 ) = 1 C0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 1 2 2 1 0 x x x x x x x x h x - - - - = h2 (x) h1 (x) 有根 x0 , x2 ( ) ( )( )( ) h1 x Ax B x x0 x x2 = + - - 由余下条件 h1 (x1 ) = 1 和 h1 ’(x1 ) = 0 可解。 与h0 (x) 完全类似。 (x) h1 有根 x0 , x1 , x2 h1 ( ) ( )( )( ) x C1 x x0 x x1 x x2 = - - - 又 h1 : ’(x1 ) = 1 C1 可解。 其中 hi (xj ) = ij , hi ’(x1 ) = 0, (xi ) = 0, ’(x1 ) = 1 h1 h1 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ), 2 2 R3 x = f x - P3 x = K x x - x0 x - x1 x - x 4! ( ) ( ) (4) x f K x = 与 Lagrange 分析 完全类似
一般地,已知x,…,xn处有y,…,yn和y,…,yn,求P2m1(x) 满足H2(x)=y2,H2(x)=y2 x- 解:设H21(x)=∑n1(x)+2n2h(x) i=0 i=0 11(x1-x 其中()=6ah=0 h(x)=可 M)有 这样的 Hermite插值唯 (x)=(Ax+B1)(x) 由余下条件h(x)=1和h(x)=0可解4和B;→ b1(x)=-21(x)x-x(x) a0有根,除了外都是重根二(=c 又:;(x)=1 1(x)=(x-x)l2 (2n+2) 设a=x<x1<…<xn=b,∫∈C2na,b则x)=n+202L x-d copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
20 上一页 下一页 一般地，已知 x0 , …, xn 处有 y0 , …, yn 和 y0 ’ , …, yn ’ ，求 H2n+1(x) 满足 H2n+1(xi ) = yi ， H’2n+1(xi ) = yi ’ 。 解：设 = + n i ( ) ( ) ( ) i=0 H2n+1 x yihi x h x n i=0 yi ’ 其中 hi (xj ) = ij , hi ’(xj ) = 0, (xj ) = 0, ’(xj ) = ij hi hi hi (x) 有根 x0 , …, xi , …, xn且都是2重根 ( ) ( ) ( ) 2 hi x = Ai x + Bi l i x - - = j i i j j i x x x x l x ( ) ( ) ( ) 由余下条件 hi (xi ) = 1 和 hi ’(xi ) = 0 可解Ai 和 Bi ( ) [1 2 ( )( )] ( ) 2 h x l x x x l x i i i - i i = - (x) hi 有根 x0 , …, xn , 除了xi 外都是2重根 hi ( ) ( ) i i l i 2 x =C x - x (x) 又 hi : ’(xi ) = 1 Ci = 1 hi (x) ( )i l i 2 = x- x (x) 设 ... , [ , ] 2 0 1 a x x x b f C a b n = n = 则 2 0 (2 2) ( ) (2 2)! ( ) ( ) - + = = + n i i x n n x x n f R x 这样的Hermite 插值唯 一