习题5.4函数的 Tay lor公式及其应用 1.求下列函数在x=0处的 Taylor公式(展开到指定的n次) 4 (2)f(x)=cos(x+a),n=4; (3)f(x)=√2+sinx,n=3 (4)f(x)=sinr, n= 4 (5)f(x)=tanx, n=5 (6)f(x)=In(cosx), n=6 x≠0 sIn x (7)f(x)={ex-1 4(8)f(x)= ,x≠0 (9)f(x)=√1-2x+x3-Ⅵ1-3x+x2,n=3 解(1)f(x) }-} c(x4) 32.96·2724.8 243 x2+o(x4)。 (2)f(x)=cos(x+a)=cos x cosa-sinxsina (--+m+o(x))cosa-(x-+o(x))sin a 24 sin a cosa cosa- sind.x- 4x+o(x)。 (3)(x)=√2+smx=121+mx)=√2+(x-x+(x) 1+ +O(x3) (x-g+or)+、1 168-6+o(x2)1
习 题 5.4 函数的 Taylor 公式及其应用 ⒈ 求下列函数在 x = 0处的 Taylor 公式（展开到指定的n次）： ⑴ f x x ( ) = − 1 13 , n = 4 ; ⑵ f x( ) = cos(x + α) , n = 4 ; ⑶ f x( ) = + 2 sin x , n = 3; ⑷ f x x ( ) esin = , n = 4 ; ⑸ f (x) = tan x , n = 5; ⑹ f x( ) = ln(cos x), n = 6 ; ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x , n = 4 ⑻ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0 sin ln ( ) x x x x f x , n = 4 ⑼ f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 , n = 3. 解（1） f x x ( ) = − 1 13 2 3 4 1 1 1 1 1 ( 3 3 ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( 1 2 3 4 4 x x x x ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + − + − + − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ D x 1 4 2 3 28 280 4 1 ( 3 2 9 6 27 24 81 4 = + x + x x + + x + ) ⋅ ⋅ ⋅ D x 1 2 2 3 14 35 4 1 ( 3 9 81 243 4 = + x + x x + + x + D x )。 （2） f x( ) = + cos(x α) = cos x x cosα −sin sinα 2 4 3 4 4 (1 ( )) cos ( ( ))sin 2 24 6 x x x = − + + o x α − x − + o x α = cos 2 3 s 4 in cos cos sin ( ) 2! 3! 4! 4 x x x x o x α α α α α − ⋅ − + + + 。 （3） f x( ) = + 2 sin x sin 2(1 ) 2 x = + 3 1 3 2 1 2[1 ( ( ))] 2 6 x = + x o − + x 120 3 3 3 1 1 3 3 1 1 2 1 1 2[1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ] 2 2 6 8 4 6 16 8 6 x x x = + ⋅ −x o + x − ⋅ −x + o x + ⋅ x o − + x 3 3
2 42432128 384 0(x3) 4 (4)f(x)=e =1+(x x)+1(x-xy+x+1x2+a(x) 1+ )+2x3+x2+o(x4) x+o(x) (5)f(x)=tan x sIn x +o(x3)(1 6120 224 +o(x3)(1+( )2+o(x3) 6120 2 (6)f(x)=In(cos x)=In(1-+ 224720 0(x°) (-2+24-n20)-2-2+24)+3(-2)+x) (-2+24-720)-2(4-24)-38+ax) x4--x+o(x°)。 (7)f(x)={e-1 x≠0 x=0 l+(-+ (x4) 624120 6 2412 6 +o(x )++o(x 262412046728816
3 2 3 3 2 2 2 13 2 2[1 ( )] 2 ( ) 4 24 32 128 4 32 384 x x x x = + − − + + o x = + x − x − x + o x 3 3 。 （4） f x x ( ) esin = 3 3 ( ) 6 e x x x − + = D 3 3 2 3 4 3 4 2 3 4 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 6 2 6 6 24 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 6 2 3 6 24 x x 4 4 x x x x o x x x x x x x o = + − + − + + + = + − + − + + + x 1 1 2 4 1 ( 2 8 4 = + x + x x − + o x )。 （5） f (x) = tan x sin cos x x = 3 5 2 4 5 5 1 3 5 2 4 2 4 5 2 3 5 3 2 4 5 ( ( ))(1 ( )) 6 120 2 24 ( ( ))(1 ( ) ( ) ( 6 120 2 24 2 24 5 ( ) ( ) ( ) 6 120 6 2 24 x x x x x o x o x x x x x x x 5 x o x o x )) x x x x x x x x o x − = − + + − + + = − + + + − + − + = − + + − + ⋅ + 1 2 3 5 ( ) 3 15 5 = +x x x + + o x 。 （6） f x( ) = ln(cos x) 2 4 6 6 ln(1 ( )) 2 24 720 x x x = − + − + o x 2 4 6 2 4 2 2 3 2 4 6 4 6 6 6 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 24 720 2 2 24 3 2 1 1 ( ) ( ) ( 2 24 720 2 4 24 3 8 x x x x x x o x x x x x x x o x = − + − − − + + − + = − + − − − − ⋅ + 6 ( ) ) 1 1 2 4 1 6 ( ) 2 12 45 6 = − x − x x − + o x 。 （7） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x 2 3 4 4 1 [1 ( ( ))] 2 6 24 120 x x x x o x − = + + + + + 121 2 3 4 2 3 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 4 4 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 24 120 2 6 24 2 6 2 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 24 120 4 6 72 8 8 16 x x x x x x x x x x o x x x x x x x x x x x o x = − + + + + + + − + + + = − + + + + + + − + + + 4
-x+—x x+0(x) 212720 (8)1(x)=mx2+ox)=(62)-2(-)2+ox) 6 180tor (9)f(x)=√1-2x+x3-1-3x+x2=[1+(-2x+x2)2-[1+(-3x+x2) [1+(-2x+x3)--(-2x)2+ )+o(x3) -[1+(-3x+x2)--(-3x+x2)2+2(-3x)3+o(x2) =(1-X2+2)-(1-x-1x2-x)+o(x) x2+x3+o(x) 6 2.求下列函数在指定点处的 Taylor公式: (1)f(x)=-2x3+3x2-2,xo=1(2)f(x)=lnx,xo=e; (3)f(x)=ln (4)f(x) 解(1)f(x)=-2x3+3x2-2=-2(x-1)+1+3(x-1)+2-2 [-2(x-1)3-6(x-1)2-6(x-1)-2]+[3(x-1)2+6(x-1)+3]-2 =-1-3(x-1)2-2(x-1)3 (2)f(x)=Inx =In(x-e)+e]=Ine+In(t-e -(x (3)f(x)=In x=In(+(x-D)) "(x-1y+(x-1y)
1 1 2 4 1 1 ( 2 12 720 4 = − x + x x − + o x )。 （8） 2 4 4 ( ) ln(1 ( )) 6 120 x x f x o = − + + x 2 4 2 1 2 4 ( ) ( ) 6 120 2 6 x x x = − + − − + o x( ) 2 4 4 ( ) 6 180 x x = − − + o x 。 （9） f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 1 1 3 2 2 3 = + [1 (−2x x + )] −[1+ (−3x x + )] 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 1 [1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )] 2 8 16 1 1 5 [1 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( )] 3 9 81 x x x x o x 3 x x x x x o = + − + − − + − + − + − + − − + + − + x 1 2 2 2 3 (1 ) (1 ) ( ) 2 3 3 = − x − x x − − − x − x + o x = 1 2 3 3 ( ) 6 x + + x o x 。 ⒉ 求下列函数在指定点处的 Taylor 公式： ⑴ f x( ) = −2 3 x + x − 3 2 2 0 , x = 1 ⑵ f x( ) = ln x , x = e ; 0 ⑶ f x( ) = ln x ; x0 = 1 ⑷ f x( ) = sin x , x0 6 = π ; ⑸ f x( ) = x , x . 0 = 2 解（1） f x( ) = −2 3 x + − x 2 3 2 2[(x 1) 1] 3[(x 1) 1] 2 3 2 = − − + + − + − 3 2 2 = −[ 2( 1 x x − ) − 6( 1− ) − 6( 1 x − ) − 2]+[3(x −1) + 6(x −1) + 3]− 2 2 3 = −1− 3( 1 x x − ) 2 − ( −1) 。 （2） f x( ) = ln x = − ln[(x e e ) + ] ln ln(1 ) x e e e − = + + = n n n x e ne x e e x e e ( ) ( 1) ( ) 2 1 ( ) 1 1 1 2 2 − − + − − − + + − " ( ) n + D (x − e) 。 （3） f x( ) = ln x = + ln(1 (x −1)) = n n x n x x x ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 ( 1) 2 1 ( 1) 1 2 3 − − − − − + − − + − " ( ) n + D (x −1) 。 122
(4)f(x)=sinx, f(m(xo)=sin(xo+2), f(x)=f()+f(zx、f" z )--(x )3+…+-sin("+2)(x +o(x-2) 6 (5)f(x)=√=√.,h+x=2 √2 16(x22(2n-3(x-=2° nk 2 3.通过对展开式及其余项的分析,说明用 In 2=In 比用 hn2=m(1+x)2+x- +…+(-1)xx 效果好得多的两个原因 解利用第一个展开式计算时是用x=代入,利用第二个展开式计算 时是用x=1代入,显然第一个展开式的通项(或余项)趋于零的速度 快,而第二个展开式的通项(或余项)趋于零的速度相对较慢,所以 在指定精度的条件下,利用第一个展开式计算ln2的值比利用第二个 展开式计算量小,效果好
（4） f x( ) = sin x ， ( ) 0 0 ( ) sin( ) 2 n n f x x π = + ， 2 3 ''( ) ''( ) 6 6 ( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) 6 6 6 2! 6 3! 6 f f f x f f x x x π π π π π π π = + − + − + − +" ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ! 6 6 n n n f x o x n π π π ⎛ ⎞ + − + ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 1 3 1 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) sin( )( 2 2 6 4 6 12 6 ! 2 6 6 n n x x x x n ) π π π π π = + − − − − − +"+ + − π ( ) 6 n o x ⎛ ⎞ π + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 （5） f x( ) = x 2 2 1 2 x − = ⋅ + = n n n x n n x x ( 2) 2 ! ( 1) (2 3)!! ( 2) 16 2 1 ( 2) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 − − − + − − − + + − − " ( ) n + D (x − 2) 。 ⒊ 通过对展开式及其余项的分析，说明用 3 1 3 5 2 1 3 1 3 5 2 1 2 1 1 ln 2 ln = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ + + + + − + = x n x n x x x x x x " 比用 1 1 2 3 4 1 ( 1) 2 3 4 ln 2 ln(1 ) = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ≈ − + − + + − x n n x n x x x x x x " 效果好得多的两个原因。 解 利用第一个展开式计算时是用 1 3 x = 代入，利用第二个展开式计算 时是用 x = 1代入，显然第一个展开式的通项（或余项）趋于零的速度 快，而第二个展开式的通项（或余项）趋于零的速度相对较慢，所以 在指定精度的条件下，利用第一个展开式计算 的值比利用第二个 展开式计算量小，效果好。 ln 2 123
另外可以通过比较两者的误差来说明两种方法的优劣: 由 n(1+x)=∑(-1) k(2n+1X1+5)m+ 2n+1 n(1-x)=- k(2n+1)(1-52 可知利用第一个展开式计算前n项之和,余项为 F,(x) 11,其中,1位于0与x之间 (2n+1)(1+51)(1-2) 取 X= 3’/5nG)≤ 31(2n+1)32+ (2n+1)22n° 而利用第二个展开式计算前n项之和,余项为 ()+)1+y-,其中5位于0与x之间, 取 rn(l)卜> (n+1)(+1)+(n+1)2 显然 所以利用第一个展开式计算2的值比利用 (n+1)2+1(2n+1)2 第二个展开式误差小,精度高 4.利用上题的讨论结果,不加计算,判别用哪个公式计算π的近似 值效果更好,为什么? (1) I=arc tanl sx- +(-)°x2 4 arc tan--arc tan- ( Machin公式) 2n+1 解两个计算π的公式都是利用了 arctan x的 Taylor公式,但第一个公
另外可以通过比较两者的误差来说明两种方法的优劣： 由 2 2 1 1 2 1 1 1 ln(1 ) ( 1) (2 1)(1 ) n k n k n k x x x k n ξ + − + = + = − + + + ∑ ， 2 2 1 2 1 1 2 ln(1 ) (2 1)(1 ) n k n n k x x x k n ξ + + = − = − − + − ∑ , 可知利用第一个展开式计算前n项之和，余项为 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 ( ) [ ] (2 1) (1 ) (1 ) n n n n x r x n ξ ξ + + + = + + + − , 其中 1 2 ξ ,ξ 位于0 与 x 之间。 取 1 3 x = ， 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ) [1 ] 3 (2 1)3 1 (2 1)2 (1 ) 3 n n n n r n n + + ≤ + < + + − 。 而利用第二个展开式计算前n项之和，余项为 1 1 ( 1) ( ) ( 1)(1 ) n n n n x r x n ξ + + − = + + , 其中ξ 位于0 与 x 之间， 取 x = 1， 1 1 1 1 1 | (1)| ( 1)(1 1) ( 1)2 n n n n r n n + + + > = + + + 。 显然 1 1 1 ( 1)2 (2 1)2 n n n + > + + 2n π ，所以利用第一个展开式计算 的值比利用 第二个展开式误差小，精度高。 ln 2 ⒋ 利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算 的近似 值效果更好，为什么？ ⑴ 1 3 5 2 1 2 1 ( 1) 3 5 arc tan1 4 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ≈ − + − + − x n n n x x x x " π ⑵ 239 1 arc tan 5 1 4arc tan 4 = − π （Machin 公式） 239 1 3 2 1 5 1 3 2 1 2 1 ( 1) 2 1 3 ( 1) 3 4 = + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ − − + + − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ≈ − + + − x n n x n n n x x x n x x x " " 解 两个计算π 的公式都是利用了arctan x的 Taylor 公式，但第一个公 124