第二章数列极限 习题2.1实数系的连续性 1.(1)证明√6不是有理数 (2)√3+√2是不是有理数? 证(1)反证法。若√6是有理数,则可写成既约分数√6="。由m2=6n2 可知m是偶数,设m=2k,于是有3n2=2k2,从而得到n是偶数,这与 是既约分数矛盾 (2)√3+√不是有理数。若√3+√2是有理数,则可写成既约分数 5+2=m,于是3+26+2=m…,5=m-2,即是有理数,与 (1)的结论矛盾 2.求下列数集的最大数、最小数,或证明它们不存在 A={x|x≥0}; B=sin xo<x< C={"|m,n∈N并且n<m}。 解minA=0;因为vx∈A,有x+l∈A,x+1>x,所以maxA不存在。 mN8=s2=1;因为vxeB,3a∈(2,使得x=sma,于是有 ∈B,sin女<x,所以minB不存在
第二章 数列极限 习 题 2.1 实数系的连续性 1. (1) 证明 6不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 n m 6 = 。由 ， 可知 是偶数，设 ，于是有 ，从而得到 是偶数，这与 2 2 m = 6n m m = 2k 2 2 3n = 2k n n m 是既约分数矛盾。 （2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数 3 2 + n m = ，于是 2 2 3 2 6 2 n m + + = ， 2 5 2 6 2 2 = − n m ，即 6 是有理数，与 （1）的结论矛盾。 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = < < 3 2 sin | 0 π B x x ； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ < + m n n m m n C , N 并且 。 解 min A = 0；因为∀x ∈ A，有 x +1∈ A， x +1 > x，所以max A不存在。 1 2 max = sin = π B ；因为∀x ∈ B ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∃ ∈ 2 0, π α ，使得 x = sinα ，于是有 ∈ B 2 sin α ， < x 2 sin α ，所以min B不存在。 9
maxC与minC都不存在,因为yh∈C,有n∈C n+1 n<+1,所以maxC与mmC都不存在 3.A,B是两个有界集,证明 (1)儿UB是有界集; (2)S={x+ylx∈A,y∈B}也是有界集 证(1)设Wx∈A,有冈≤M1,Wx∈B,有≤M2,则Yx∈UB,有 x≤max{M1,M2} (2)设x∈A,有≤M1,Yx∈B,有≤M2,则vx∈S,有≤M1+M2 4.设数集S有上界,则数集T={x|-x∈S}有下界,且supS=-infT 证设数集S的上确界为supS,则对任意x∈T={x|-x∈S},有 x≤supS,即x≥-supS;同时对任意ε>0,存在y∈S,使得y>supS-g, 于是-y∈T,且-y<-supS+E。所以-supS为集合r的下确界,即 S。 5.证明有界数集的上、下确界唯一。 证设sps既等于A,又等于B,且A<B。取6=B-4>0,因为B为 集合S的上确界,所以存在x∈S,使得x>B-ε>A,这与A为集合S的 上确界矛盾,所以A=B,即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯 6.对任何非空数集S,必有supS≥infS。当supS=infs时,数集S有什 么特点? 解对于任意的x∈S,有infS≤ x s sup s,所以supS≥infS。当 supS=infS时,数集S是由一个实数构成的集合
maxC 与minC 都不存在，因为 C m n ∀ ∈ ，有 C m n ∈ +1 ， C m n ∈ + + 1 1 ， 1 1 1 + + < < + m n m n m n ，所以maxC 与minC 都不存在。 3. A, B是两个有界集，证明： (1) A∪ B 是有界集； (2) S x = + { | y x ∈ A, y ∈ B}也是有界集。 证 （1）设∀x ∈ A，有 M1 x ≤ ，∀x ∈ B ，有 M2 x ≤ ，则∀x ∈ A∪ B，有 { } 1 2 x ≤ max M , M 。 （2）设∀x ∈ A，有 M1 x ≤ ，∀x ∈ B ，有 M2 x ≤ ，则∀x ∈ S ，有 M1 M2 x ≤ + 。 4. 设数集S 有上界，则数集T x = { | − x ∈S}有下界，且supS =− inf T 。 证 设数集 S 的上确界为 sup S ，则对任意 x ∈ T x = { | − ∈x S} ，有 − x ≤ sup S ，即 x ≥ −sup S ；同时对任意ε > 0，存在 y ∈ S ，使得 y > sup S − ε ， 于是 − y ∈T ，且 − y < −sup S + ε 。所以 − sup S 为集合T 的下确界，即 inf T = −sup S 。 5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 证 设sup S 既等于 A，又等于B ，且 A < B。取 0 2 > − = B A ε ，因为B 为 集合S 的上确界，所以存在 x ∈ S ，使得 x > B − ε > A，这与 A为集合 的 上确界矛盾，所以 S A = B ，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集S ，必有sup S ≥inf S 。当sup S =inf S 时，数集S 有什 么特点? 解 对于任意的 x ∈ S ， 有 inf S ≤ x ≤ sup S ，所以 sup S ≥ inf S 。 当 sup S =inf S 时，数集S 是由一个实数构成的集合。 10
7.证明非空有下界的数集必有下确界。 证参考定理21.1的证明。 8.设S=团xx∈Q并且x2<3,证明: (1)S没有最大数与最小数; (2)S在Q内没有上确界与下确界。 证(1)v∈S,9>0,则<3,9<2。取有理数r>0充分小, P P 使得r2+4r<3 于是 +P+—P r2+4r<3, P 即q+r∈S,所以S没有最大数。同理可证S没有最小数。 (2)反证法。设S在Q内有上确界,记spS="(m,n∈N+且mn互 质),则显然有0<"<2。由于有理数平方不能等于3,所以只有两种 可能 (i)("<3,由(1)可知存在充分小的有理数r>0,使得{"+r}<3, 这说明"+r∈S,与spS="矛盾; (ⅱ)(2>3,取有理数>0充分小,使得4-2<{")-3,于是 -r=(m)-2n,+y2>(m)-4+r2>3,这说明2-也是S的上 界,与supS="矛盾。所以S没有上确界 同理可证S没有下确界
7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x < ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在Q内没有上确界与下确界。 证 （1） S p q ∀ ∈ ， > 0 p q ，则 3 2 < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ p q ， < 2 p q 。取有理数 充分小， 使得 r > 0 2 2 4 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + < − p q r r ，于是 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + r p q r p q r p q 2 2 2 2 4 3 2 2 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r r p q ， 即 r S p q + ∈ ，所以S 没有最大数。同理可证S 没有最小数。 （2）反证法。设 S 在Q内有上确界，记 m n sup S = （ 且 互 质），则显然有 + m, n ∈ N m, n 0 < < 2 m n 。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种 可能： （i） 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，由（1）可知存在充分小的有理数r > 0，使得 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + r m n ， 这说明 r S m n + ∈ ，与 m n sup S = 矛盾； （ii） 3 2 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4 3 2 2 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < m n r r ，于是 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 r r m n m n r m n 4 3 2 2 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r r m n ，这说明 r m n − 也是 的上 界，与 S m n sup S = 矛盾。所以S 没有上确界。 同理可证S 没有下确界。 11
习题2.2数列极限 按定义证明下列数列是无穷小量: m+} (2){(-1)(099”}; (3) (4){+2+3+…+0 (5) 证(1)v(0≤2,取N=21,当n>N时,成立02+1≤2< (2)VE(0<E<1),取N Iga 当n>N时,成立 lg0.99 -1)(09909%=。 (3)V(0<<2),取N2=21,当n>N时,成立1<;取N2=g2 当n>N2时,成立5”<5;则当n>N=mmN1,N2时,成立口+5< (4)v(<g<1),取N=|,当n>N时,成立 0 1+2+…+nn+11 <-<E 2 (5)当n>11时,有 3(1+2y2C8n-1n-2)5n°于是v>0, 取N=max,当n>N时,成立0< <一<8
习 题 2.2 数列极限 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ {( ) −1 0 n n ( .99) }； ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； ⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 证 （1）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N ，当n > N 时，成立 < < ε + + < n n n 2 1 1 0 2 。 （2）∀ε (0 < ε < 1) ，取 lg lg 0.99 N ⎡ ε ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，成立 lg lg0.99 ( 1) (0.99) (0.99) n n ε − < = ε 。 （3）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N1 ，当n > N1时，成立 2 1 ε < n ；取 2 5 2 N log ε ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦， 当n > N2 时，成立5−n 2 ε < ；则当n > N = max{N1,N2 }时，成立 1 5 n n ε − + < 。 （4）∀ε (0 < ε < 1) ，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + = + + + < n n n n n 1 2 1 2 1 0 3 2 " 。 （5）当n > 11时，有 2 2 2 n 3 3 3 (1 2) 2 n n n n n C = < + n n n n 1 8( 1)( 2) 6 < − − = 。于是∀ε > 0， 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N max 11, ，当n > N 时，成立 < < < ε n n n 1 3 0 2 。 12
N-3 (6)当n>5,有3≤321 于是vE(0<E<3),取 N=5+ ,当n>N时,成立 n (7)记的整数部分为m,则有m(1)。v0<<D,取 N=21g+4,当n>N时,有m>N-1g,于是成立 0 (8)首先有不等式0<1 +(-1)"<-。VE(0<E<1), nn+1 n+2 取N=「1,当n>N时,成立0<1-1+1 <一<E n n+ n+ 2n n 2.按定义证明下述极限: (2)lim n (3)lim(n2+n-n)= (4)lim√3n+2=1 n+vn (5) lim x=1,其中x n是偶数, n 10-”,n是奇数, 证(1)E>0,取N ,当n>N时,成立 2 3n2+2 3(3n2+2) (2)VE>0,取N 当n>N时,成立
（6）当n > 5，有 5 5 5 2 1 3 2 1 5! 3 ! 3 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⋅ n n n n 。于是∀ε (0 < ε < 3)，取 lg 3 5 1 lg 2 N ⎡ ⎤ ε ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥，当n > N 时，成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < ⋅ −5 2 1 3 ! 3 0 n n n 。 （ 7 ） 记 2 n 的整数部分为 m ，则有 m n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < 2 ! 1 。 ∀ε (0 < ε < 1) ， 取 lg 2 4 1 lg 2 N ε ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，有 lg 1 2 1 lg 2 N m ε > − > ，于是成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < m n n n 2 ! 1 0 。 （8）首先有不等式 n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 − + − < + + + < − " 。∀ε (0 < ε < 1) ， 取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 − + − < < ε + + + < − n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 " 。 2. 按定义证明下述极限： ⑴ limn→∞ 2 1 3 2 2 3 2 2 n n − + = ； ⑵ limn→∞ n n n 2 1 + = ； ⑶ limn→∞ ( ) n n n 2 1 2 + − = ； ⑷ limn→∞ 3 2 n n + = 1； ⑸ limn→∞ xn =1,其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − ， ， 是奇数 是偶数 n n n n n x n n 1 10 , , 。 证 （1）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + − = + − 2 2 2 2 1 3(3 2) 7 3 2 3 2 2 1 n n n n 。 （2）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2ε 1 N ，当n > N 时，成立 13