习题3.3无穷小量与无穷大量的阶 1.确定a与α,使下列各无穷小量或无穷大量等价于(~)ax": (1)x)=x3-3x+2x3,(x→0,x→∞); +2 (2)l(x)= (3)u(x)=√x3+Vx2(x (4)l(x)=√x+√x+√x(x→0+,x→+∞) (5)(x)=√1+3x-+2x(x→0,x→+∞) (6)l(x)= 1-x(x→+∞); 7)l( (8)l(x)= (x→0+); (9)u(x)=In cos x-arc tan x2(x-0) 10)(x)=√1+tanx-√l-sinx(x→0 解(1)u(x)~2x3(x→0);u(x)~x3(x→∞)。 (2)u(x)~-2x(x→0);(x)~x(x→∞) 3 (3)v(x)~x3(x→>0+);u(x)~x2(x→+∞)。 )~x8(x→0+);u(x)~x2(x→+∞)o (5)l(x)~3x(x→0);(x) X→+0 (6)()~1(x→+∞) (7)u(x) x-(x→ (8)l(x)~-2x(x→0+)
习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定 a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a xα ： (1) u(x) = x x x 5 4 − 3 + 2 3 , (x→0，x→∞)； (2) u(x) = x x x x 5 2 4 2 3 + − 3 (x→0，x→∞)； (3) u(x) = x 3 + x 3 2 (x→0+，x→+∞)； (4) u(x) = x + +x x (x→0+，x→+∞)； (5) u(x) = 1+ 3x - 1 2 3 + x (x→0，x→+∞)； (6) u(x) = x 2 + 1 - x (x→+∞)； (7) u(x) = 3 x + x - 3 2 x (x→0+)； (8) u(x) = 1+ x x - e2x (x→0+)； (9) u(x) = ln cos x - arc tan x 2 (x→0)； (10) u(x) = 1+ tan x - 1− sin x (x→0)。 解（1）u(x) ～2x 3 (x → 0)；u(x) ～ x 5 (x → ∞)。 （2）u(x) ～− 2x−1 (x → 0)；u(x) ～ ( ) 3 1 x x → ∞ 。 （3）u(x) ～ ( 0 ) 3 2 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 3 x x → +∞ 。 （4）u(x) ～ ( 0 ) 8 1 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 1 x x → +∞ 。 （5）u(x) ～ ( 0) 6 5 x x → ；u(x) ～ 3 ( ) 2 1 x x → +∞ 。 （6）u(x) ～ ( ) 2 1 1 → +∞ − x x 。 （7）u(x) ～ ( 0 ) 2 1 x x → + 。 （8）u(x) ～− 2x (x → 0+)。 47
(9)u(x) 0 (10)(x)~x(x→0)。 2.(1)当x→+∞时,下列变量都是无穷大量,将它们从低阶到高阶进 行排列,并说明理由。 a2(a>1),x2,x"(a>0),lnx(k>0),[x]; (2)当x→0+时,下列变量都是无穷小量,将它们从高阶到低阶进 行排列,并说明理由。 x 解(1)当x→+∞时,从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为 ln*x(k>0),x"(a>0),a2(a>1),[x],x。 证明:设n≤x<n+1,则0<x<+)2,0<2<2,0<:(+ Lx]! n 由im(mn+1=0 n+1 0与lim 0,即得到lim=0, n→)0n x→ta 0,lmx=0,同时也得到 lim 0 (=In x H→0 x→+2x4y→+(e“) (2)当x→0+时,从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为 a(a>1,x(a>0),l(1)(k>0) 证明:令y=1,则当x→0+时,有y→+。参考(1)的排列即可得 到(2)的排列 3.计算下列极限:
（9）u(x) ～ ( 0) 2 − 3 x 2 x → 。 （10）u(x) ～ x (x → 0)。 2. (1) 当 x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进 行排列，并说明理由。 a x (a＞1), x x , xα (α＞0)， lnk x (k＞0)， [x]!； (2) 当 x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进 行排列，并说明理由。 xα (α＞0)， ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 解（1）当 x→+∞时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为 lnk x (k＞0)， xα (α＞0)，a (a＞1), [x]!, x x x 。 证明：设n ≤ x < n +1，则 x n a n a xα α ( 1) 0 + < < ， [ ]! ! 0 1 n a x a x n+ < < ， x n n n x [x]! ( 1)! 0 + < < 。 由 n→∞ lim 0 ( 1) = + n a n α ， n→∞ lim 0 ! 1 = + n an 与 n→∞ lim 0 ( 1)! = + n n n ，即得到 x x a xα →+∞ lim = 0， n→∞ lim 0 [ ]! = x a x ，n→∞ lim 0 [ ]! = x x x ，同时也得到 α x x k x ln lim →+∞ 0 ( ) = lim = →+∞ y k y e y α ( y = ln x)。 （2）当 x→0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为 x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， xα (α＞0)， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 证明：令 x y 1 = ，则当 x→0+时，有 y → +∞。参考（1）的排列即可得 到（2）的排列。 3. 计算下列极限： 48
+2 (1)lim (2)1im ln(1+3x) →01-co 3)lim(√x+Vx+√x-√x) (4)lim(√1+x+x2- x+x ); (5)lim >0) x-C (7) lim x(In(1+x)-Inx) Inx-In (8)lim (a>0) lim(x+e) lim cosx (D limn(vx-1)(x>0) ④Dimn2(%x-"vx)(x>0) n→) 解 (1)li 1+x +2 li n(1+3x) n(1+3x) (2)lim Cos x Cosx lim )(1+ (1 (3)limn(Vx+√x+√x-√x)=li x+√=1m√ X→+ Vx+Vx+√x+ (4)Iim(√1+x+x2-√1-x+x2)=lim +x+x+vi-x+x (5)lim lim a(ara-1) a t-aina x→ax-a x→a x-a 374 x-a lim e gina a aIn(1 (6)lim 1) lim (7) lim x(In(1+x)-In x)=lim x→+
⑴ lim x→0 1 1 2 1 3 3 2 + − + + x x ln( x) ； ⑵ lim x→0 1 1 − − cos cos x x ； ⑶ lim x→+∞ ( xxx + + - x )； ⑷ lim x→+∞ ( 1 2 + + x x - 1 2 − + x x )； ⑸ limx→ α a a x x − − α α (a＞0)； ⑹ limx a → x a x a α α − − (a＞0)； ⑺ lim x→+∞ x ( ln (1+x) - ln x )； ⑻ limx a → ln x ln x a − a − (a＞0)； ⑼ lim x→0 ( e x ) x x + 1 ； ⑽ lim x→0 2 1 2 2 cos x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ； ⑾ lim n→∞ n ( x n - 1) (x＞0)； ⑿ lim n→∞ n 2 ( x n - x n+1 ) (x＞0)。 解（1）lim x→0 = + + − + ln(1 3 ) 1 1 2 3 2 x x x lim x→0 ln(1 3 ) ( 1 1) ( 1 2 1) 3 2 x x x + + − − + − 0 lim → = x = − x x x 3 3 2 2 1 2 6 1 。 （2）lim x→0 = − − x x 1 cos 1 cos lim x→0 = − + − (1 cos )(1 cos ) 1 cos x x x lim x→0 = (1+ cos ) 2 1 2 1 2 x x x 0。 （3） lim ( x→+∞ xxx + + - x ) →+∞ = x lim = + + + + x x x x x x lim x→+∞ = x x 2 2 1 。 （4） lim ( x→+∞ 1 2 + + x x - 2 1− x + x ) →+∞ = x lim = + + + − + 2 2 1 1 2 x x x x x 1。 （5）x→α lim = − − α α x a a x x→α lim = − − − α α α x a a x ( 1) x→α lim a x( )ln a x α α α − = − a lna α 。 （6）limx a → = − − x a x a α α limx a → = − − x a a e a x ( 1) α ln α limx a → x a a x a a − − α ln(1+ ) α x→a = lim = − − ⋅ x a a x a a αα α−1 αa 。 （7） lim x ( ln (1+x) - ln x ) x→+∞ = + = →+∞ x x x 1 ) 1 ln(1 lim 1。 49
nx-Ina ln(1+--) (8)lim (9)lim(x+e)=lim(1+x+e-I)x=lim(1+2x)=e2 (10)lim cosx 2/=1m|1-(-c0s-+2lm-x)F=e-。 (11) limn(vx-1)=lim n(en-1)=lim(n. In x)=Inx (12)limn2(3x-"vx)=limn2|(e-1)-(e1-1) llm n Inx
（8）limx a → ln x a ln x a − − limx a → = − − + x a a x a ln(1 ) a 1 。 （9）limx→0 + = x x x 1 ( e ) limx→0 + + − = x x x 1 (1 e 1) limx→0 + = x x 1 (1 2 ) 2 e 。 （10）limx→0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 2 cos x x x limx→0 2 1 2 2 1 (1 cos ) x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 lim → = x ( ) − = 2 1 2 1 x x −1 e 。 （11）lim n ( n→∞ x n - 1) lim ( 1) ln 1 = − →∞ x n n n e = ⋅ = →∞ ln ) 1 lim( x n n n ln x 。 （12）lim ( n→∞ n 2 x n - x n+1 ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − + →∞ lim ( 1) ( 1) ln 1 1 ln 1 2 x n x n n n e e =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →∞ 1 1 1 lim ln 2 n n n x n ln x 。 50
习题3.4闭区间上的连续函数 1.证明:设函数f(x)在[a,+∞)上连续,且limf(x)=A(有限数),则 f(x)在[a+∞)有界。 证由limf(x)=A(有限数),可知丑x>a,wx>x:(x)-4<1,即 A-1<f(x)<A+1。再由f(x)在闭区间[a,]上的连续性,可知f(x)在 aX上有界,即x∈[a,灯:(x)<B。令M=max{B,+1}, m=min{-B,A-1},则wx∈[a+∞),成立m<f(x)<M。 2.证明:若函数f(x)在开区间(ab)上连续,且fa+)和f(b)存在,则 它可取到介于f(a+)和(b)之间的一切中间值 证令 f(x)x∈(a,b) f(x)=f(a+) x=a f(b-) x=b 则f(x)在闭区间[ab连续,不妨设f(a+)<f(b-),由闭区间上连续函 数的中间值定理,可知f(x)在闭区间[a,b上可取到[f(a+),f(b-)上的 切值,于是f(x)在开区间(ab)上可取到介于fa+)和(b-)之间的 切中间值。 3.证明:若闭区间[a,b上的单调有界函数f(x)能取到(a)和fb)之间 的一切值,则f(x)是[ab上的连续函数 证采用反证法。不妨设f(x)单调增加。若ξ∈(a,b)是f(x)的不连续点, 则f(5-)与∫(5+)都存在,且f(a)≤f(2-)<f(2+)≤f(b),于是f(x)取不 到开区间(f(-),f(2+)中异于f()的值,与条件矛盾:若x=a是f(x)的
习 题 3.4 闭区间上的连续函数 1. 证明：设函数 f x( ) 在[a,+∞)上连续，且 = A（有限数），则 在 有界。 limx→+∞ f x( ) f x( ) [a,+∞) 证 由 lim = A（有限数），可知 x→+∞ f x( ) ∃X > a ，∀x > X ： f (x) − A < 1，即 A −1 < f (x) < A +1。再由 在闭区间 上的连续性，可知 在 上有界，即 ： f (x) [a, X ] f (x) [a, X ] ∀x ∈[a, X ] f (x) < B 。 令 M = max{B, A +1} ， m = min{−B, A −1}，则∀x ∈[a,+∞)，成立m < f (x) < M 。 2. 证明：若函数 在开区间 上连续，且 f(a+)和 f(b-)存在，则 它可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一切中间值。 f x( ) (a,b) 证 令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ∈ = f b x b f a x a f x x a b f x ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ~ ， 则 ( ) ~ f x 在闭区间[a,b]连续，不妨设 f (a+) < f (b−)，由闭区间上连续函 数的中间值定理，可知 ( ) ~ f x 在闭区间 上可取到 上的 一切值，于是 在开区间 上可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一 切中间值。 [a,b] [ f (a+), f (b−)] f x( ) (a,b) 3. 证明：若闭区间 上的单调有界函数 能取到 f(a)和 f(b)之间 的一切值，则 是 上的连续函数。 [a,b] f x( ) f x( ) [a,b] 证 采用反证法。不妨设 f (x)单调增加。若ξ ∈ (a,b)是 的不连续点， 则 f (x) f (ξ −)与 f (ξ +)都存在，且 f (a) ≤ f (ξ −) < f (ξ +) ≤ f (b)，于是 取不 到开区间 f (x) ( f (ξ −), f (ξ +))中异于 f (ξ )的值，与条件矛盾；若 x = a是 f (x)的 51