习题4.5高阶导数和高阶微分 1.求下列函数的高阶导数 求 y=x3+2x2-x+1,求y (2 求y 求 (4)y=x2 求 y=sinx 求 OSVxX 求 求 (8) 求 y=xcos∠x, 求 00y=(2x2+)hx,求 解(1)y=3x2+4x-1,y"=6x+4,y=6 (2)y=4xInx+x', y"=12x2Inx+4x2+3x=12x2Inx+7x2 √+ (3) 21+x4x+3 +x 2(1+x) (4+6x)1+x)2-(4x+3x2)1+x)2 x2+8x+8 2(1+x)3 4(+x)2 1-2ln x·X y”=-2xx3-3(1-2lx)x=6lnx- (5)y=coSx(3x2)=3x cosx', y=6xcosx'+3x(sin x)(3x)=6xcosx'-9xsinx y=6cos x'-6xsin x (3x )-36xsin cos x' (3x) 54x3sinx3-(27x°-6) CoS x o (6)y=3x2 cOsy+x(-sin√x)-)=3x2 coSa、1 x- sin vx, 2√x 83
习 题 4.5 高阶导数和高阶微分 ⒈ 求下列函数的高阶导数： ⑴ y x = + x − x + 3 2 2 1, 求 y′′′； ⑵ y x = x 4 ln ，求 y′′； ⑶ y x x = + 2 1 ，求 y′′； ⑷ y x x = ln 2 ，求 y′′； ⑸ y = sin 3 x ，求 y′′、 y′′′ ； ⑹ y x = x 3 cos ，求 y′′、 y′′′； ⑺ y x x = 2 3 e ，求 y′′′； ⑻ y x x = − e arcsin 2 ，求 y′′； ⑼ y x = x 3 cos 2 ，求 y(80)； ⑽ y x = (2 1 + )s x 2 h ，求 y . (99) 解 （1） ' 3 4 1, '' 6 4, 2 y = x + x − y = x + y'''= 6 。 （2） y'= 4x 3 ln x + x 3 ， y"= 12x 2 ln x + 4x 2 + 3x 2 = 12x 2 ln x + 7x 2 。 （3） 2 2 3 2 1 2 1 2 1 4 3 ' 1 2(1 ) x x x x x x y x x + − + + = = + + ， 3 1 2 2 2 2 3 5 2 3 (4 6 )(1 ) (4 3 )(1 ) 3 8 2 " 2(1 ) 4(1 ) x x x x x x x y x x + + − + + + +8 = = + + 。 （4） 3 1 2 3 1 2ln ' 2ln x x y x x x x − = ⋅ − ⋅ = − − − ， 4 1 3 4 6ln 5 " 2 3(1 2ln ) x x y x x x x − = − − − = − − − 。 （5） y'= cos x 3 ⋅(3x 2 ) = 3x 2 cos x 3 ， 3 2 3 2 3 4 3 y"= 6x cos x + 3x (−sin x )(3x ) = 6x cos x − 9x sin x ， 3 3 2 3 3 4 3 y x ''' = − 6cos 6x sin x ⋅(3x ) − 36x sin x − 9x cos x ⋅(3 ) 2 x 3 3 6 3 = −54x sin x x − (27 − 6) cos x 。 （6） x x x x x y x x x x sin 2 1 ) 3 cos 2 1 ' 3 cos ( sin )( 2 5 2 3 2 = + − = − ， 83
3 6xcos√x+3x2( 2 11 y"=(6-3)cos√x+(6x--)( COSVx 2 57 x)cos√x+(-x 8 8 (7)y=2xe3+x2e(3x)=(2x+3x2)e3x, (2+6x)ex+(2x+3x2)e2(3xy=(9x2+12x+2)e y"=(18x+12)ex+(9x2+12x+2)e3(3x)=(27x2+54x+18)e (8)y=(-x2)e-arcsinx+e-x(arcsinx)=(-2xarcsinx+ e y=(x)(-2xarcsinx+ De-+(-2x arcsinx+ (2x)(-2xarcsinr+./ Der+|-2 arcsinx- (-2x) 1 2(2x-1)arcsinx+ x(4x2-3)-x2 (1-x2)2 (9)y(80)=x cos(80)2x+C803x2cos(79)2x+C:0 6xcos78)2x+C:0 cos 77)2x 28x3cos2x+80.2.3x2sin2x-3160.28.6xcos2x-82160.27.6sin2x =29[x(x2-47402+120x2-6205m2x (10)y(99)=(2x+1)sh x+C99 4xsh)x+C 4shx (2x+1)ch x+99.4xshx+4851 chx =(2x2+19405)chx+396xshx 2.求下列函数的n阶导数y:
3 5 2 2 2 1 5 1 1 " 6 cos 3 ( sin ) sin (cos ) 2 2 4 2 y x x x x x x x x x x = + − − − 3 2 2 1 11 (6 ) cos sin 4 4 = −x x x − x x ， 2 1 3 2 2 1 33 11 1 ''' (6 ) cos (6 )( sin ) sin cos 2 4 2 2 8 4 x x y x x x x x x x x x = − + − − − − 3 1 2 2 15 1 57 (6 ) cos ( )sin 8 8 8 = − x x x + − x x 。 （7） y'= 2xe3x + x 2 e3x (3x)'= (2x + 3x 2 )e3x ， x x x y x e x x e x x x e 3 2 3 2 3 ''= (2 + 6 ) + (2 + 3 ) (3 )'= (9 +12 + 2) ， x x x y x e x x e x x x e 3 2 3 2 3 '''= (18 +12) + (9 +12 + 2) (3 )'= (27 + 54 +18) 。 （8） 2 2 2 ) 1 1 ' ( )' arcsin (arcsin )' ( 2 arcsin 2 2 x x x e x y x e x e x x x − − − − = − + = − + ， ; (1 ) (4 3) 2(2 1) arcsin (1 ) ( 2 ) ) 2 1 ( 1 2 ) 2arcsin 1 1 ( 2 )( 2 arcsin )' 1 1 ) ( 2 arcsin 1 1 " ( )'( 2 arcsin 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x e x x x x x e x x x x e x x x x x e x e x x x y x x x − − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − − = − − + − + − + − = − − + （9） (80) 3 (80) 1 2 (79) 2 (78) 3 (77) 80 80 80 y = + x cos 2x C 3x cos 2x +C 6x cos 2x C+ 6cos 2x 80 3 79 2 78 77 = + 2 x cos 2x x 80⋅ 2 ⋅3 sin 2x − 3160⋅ 2 ⋅6x cos 2x −82160⋅ 2 ⋅6sin 2x 80 2 2 = − 2 ⎡ ⎤ x(x x 4740) cos 2 + (120x − 61620)sin 2 ⎣ ⎦ x x 。 （10） (99) 2 (99) 1 (98) 2 (97) 99 99 y x = + (2 1)sh x +C 4x sh x + C 4sh 2 = + (2x 1)ch 99 x x + ⋅ 4 sh x + 4851⋅4ch x 2 = + (2x 19405)chx + 396xshx 。 ⒉ 求下列函数的n阶导数 y(n) ： 84
y=sin- ox j (2)y=2lnx; y (6) 解(1)y)=(1-cos2ax))=-2"o"cos(2ax+1z) 2O"sin(2@x+ (2)y-∑c(2)(0my=1m22lnx+2c2h21) 21l2hx+scm-2)(- (3)yo=∑Cb(e2) (4)由于y 2 ∑(x-2)(x-3) (-1)n =(-1)"n! (5)y=∑ctea)y)lom)=e"∑ca"cos(Bx+) (6)y=(sin2x+cos x)2-2sin2xcos2 x 3 cos 4x =1-sin2x=1-(1-cos4x)=+ 所以 x+ 3.研究函数 x≥0 x<
⑴ y x = sin2 ω ； ⑵ y x x = 2 ln ； ⑶ y x x = e ； ⑷ y x x = − + 1 5 6 2 ； ⑸ y e x x = α cosβ ； ⑹ y x = sin + cos x 4 4 . 解 （1） ) 2 (1 cos 2 ) 2 cos(2 2 ( ) 1 ( ) 1 = − ω = − ω ω + π − n y x x n n n n 1 1 2 sin(2 2 n n n ω ω π x ) − − = + 。 （2） ( ) ( ) ( ) 0 (2 ) (ln ) n n k x n k k x n k y C − = = ∑ ( 1) 1 1 ln 2 2 ln 2 ln 2 k n n x k x n k n k x C x − − = ⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 1 1 ( 1) ( 1)! 2 ln 2 ln ln 2 n k x n k n k n k k k x C x − − = ⎡ ⎤ − − = ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ 。 （3） ∑ ∑= + = − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n k k k k x n n k k k x n k n n x k C e x y C e 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ! ( ) 1 0 ( 1) ! + = − = ∑ k n k k k n x x k e C 。 （4）由于 2 1 3 1 − − − = x x y ， ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 n n n y x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ 1 1 1 1 ( 1) ! ( 3) ( 2) n n n n x x + + ⎡ ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎣ − − ⎦ 0 1 1 1 0 ( 2) ( 3) 1 ( 1) ! ( 1) ! ( 3) ( 2) ( 2) ( 3) n k n k n n k n n n n k k x x n n x x x x − = + + − + = − − = − = − − − − − ∑ ∑ k+1 。 （5） [ ]( ) 0 ( ) ( ) ( ) cos( ) k n k k x n k n n y C e βx α ∑= − = 0 cos( ) 2 n x k n k k n k k e C x α π α β β − = = + ∑ 。 （6） y x x x x 2 2 2 2 2 = (sin + cos ) − 2sin cos 1 2 1 sin 2 2 = − x 1 3 1 (1 cos 4 ) 4 4 cos 4 4 x = − − x = + ， 所以 ( ) 1 4 cos(4 ) 2 n n n y x − π = + 。 ⒊ 研究函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ≥ = , 0 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x 85
的各阶导数 解当x>0时,f(x)=2x;当x<0时, 由 f(0)=lm(△x)-/o:m(4x)2-0 ∫(0)=lim f(Ax)-f(0) 0 =0, Ax 可知f(x)=2|x x>0 由此得到f"x)= <0 不存在 于是当n>2时,fo(x) 不存在 4.设f(x)任意次可微,求 f(x2)] (3)[/(nx)y; f(x)"; f(e-r) 解(1)Uf(x2)=f(x2)x2)=2xf(x2) f(x2)=2xf(x2)(x2y+(2x)f(x2)=4x2f"(x2)+2f(x2), [f(x2)"=4x2f"(x2)(x2)+(4x2)f"(x2)+2f"x2)x2)'=8x3f"(x2)+12xf"(x2) (2) x八x 2
的各阶导数。 解 当 x > 0时， f '(x) = 2x；当 x < 0时， f '(x) = −2x 。由 2 0 0 ( ) (0) ( ) 0 (0) lim lim 0 x x f x f x f x x + ∆ → + ∆ → + ∆ − ∆ − ′ = = ∆ ∆ = ， 2 0 0 ( ) (0) ( ) 0 (0) lim lim 0 x x f x f x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ − − ∆ − ′ = = ∆ ∆ = ， 可知 f '(x) = 2 | x |。 由此得到 2, 0, ''( ) 2, 0, 0 x f x x x ⎧ > ⎪ = − ⎨ < ⎪ ⎩不存在， = 。 于是当n > 2时， ( ) 0, 0, ( ) 0 n x f x x ⎧ ≠ = ⎨ ⎩不存在， = 。 4．设 f x( )任意次可微，求 ⑴ [ ( f x )] 2 ′′′； ⑵ 1 f x ′′′ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ； ⑶ [ ( f ln x)]′′； ⑷ [ln f x( )]′′； ⑸ [ ( f e )] − x ′′′； ⑹ [ f (arc tan x)]′′ . 解 （1）[ f (x 2 )]'= f '(x 2 )(x 2 )'= 2xf '(x 2 )， [ ( )]'' 2 ''( )( )' (2 )' '( ) 4 ''( ) 2 '( ) 2 2 2 2 2 2 2 f x = xf x x + x f x = x f x + f x ， 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 [ ( )]''' 4 '''( )( )' (4 )' ''( ) 2 ''( )( )' 8 '''( ) 12 ''( ) 2 f x = + x f x x x f x + f x x = x f x + xf x 。 （2） ' 2 1 1 1 1 f f ' ' f 1 x x x x x ′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， ' ' 2 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 f f '' f ' f '' ' 1 f x x x x x x x x x ′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x ， 6 5 5 4 1 1 1 4 1 2 1 6 1 f f f f f x x x x x x x x ′′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ −−− ′′ ′′ ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 86
(3)[(nx)l'=f(InxkInx)= [(n x)=/"(nxkIn x) */'( xXx)-/(nx)-/'(n x) (4)[nf(x)=/(x) l/xy′=P(/(x)-(/(x)。 f2(x) (5)[f(e)=f(e)(ey=-ef(e-) lf(e ]"=ef"(ee)'(e)'f(e=ef"(e)+e'e) [fe)"=e-f"e)e-)+(e2)f"e)+ef"e)e)+(e-)'f(e) 3f"(e)-3e2f"(e)-ef(e)。 (6) [(arctan x)]'=f(arctan x) ( arctan r)'s f(arctan x) 1+x [f(arctan r)"(1+x)f"(arctan x(arctan x)-(1+x2)'f(arctan x) (1+x2)2 f"(arctan x)-2xf'(arctan x) )2 5.利用 Leibniz公式计算y0) (1)y=arc tan; v= arc o 解(1)由y= 2x,令x=0,可得y0)=y"0 在 +x 等式y(1+x2)=1两边对x求n阶导数(n>1),得到 ☆y(mk)(1+x2)(k)=0, 注意到(1+x2)y"=0,上式简化为
2 6 1 1 1 1 f x6 6 f x f x x x ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ + ′′ + ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 。 （3） ( ) ( ) x f x f x f x x ' ln [ (ln )]'= ' ln (ln )'= , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 '' ln (ln )' ' ln ( )' '' ln ' ln [ (ln )]'' x f x f x x f x x x f x x f x − = ⋅ − = 。 （4） ( ) '( ) [ln ( )]' f x f x f x = , ( ) ( ) ''( ) ( ) '( ) [ln ( )]'' 2 2 f x f x f x f x f x − = 。 （5）[ ( )]' '( )( )' '( ) x x x x x f e f e e e f e − − − − − = = − 2 [ ( )]'' ''( )( )' ( )' '( ) ''( ) '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e f e − − − − − − − − − = − − = + − x , 2 2 [ ( )]''' '''( )( )' ( )' ''( ) ''( )( )' ( )' '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e e f e − − − − − − − − − − = + + + − 3 2 x '''( ) 3 ''( ) '( ) x x x x x e f e e f e e f e − − − − − − = − − − 。 （6） 2 '(arctan ) [ (arctan )]' '(arctan )(arctan )' 1 f x f x f x x x = = + , 2 2 2 2 (1 ) ''(arctan )(arctan )' (1 )' '(arctan ) [ (arctan )]'' (1 ) x f x x x f f x x + − + = + x 2 2 ''(arctan ) 2 '(arctan ) (1 ) f x xf x x − = + 。 5．利用 Leibniz 公式计算 y( ) n (0) ： ⑴ y = arc tan x； ⑵ y x = arc sin 。 解（1）由 2 2 2 (1 ) 2 , '' 1 1 ' x x y x y + = − + = ，令 x = 0，可得 y'(0) = 1, y''(0) = 0 。在 等式 y'(1+ x 2 ) = 1两边对 x求n阶导数（n >1），得到 ∑= − + + = n k k n k k n C y x 0 ( 1) 2 ( ) (1 ) 0， 注意到(1+ x 2 )'''= 0 ，上式简化为 87