第三章函数极限与连续函数 习题3.1函数极限 1.按函数极限的定义证明 (1)limx3=8; (2)lim 1 (4)m++1 (5) lim In x=-∞; (6)imex=0; (7)lim (8)lim 证(1)先取kx-2<1,则1<x<3,|x2-8=(x2+2x+4x=2)19-2 于是对任意的c>0,取6=m14>0,当0x=2<8时,成立 819-2<56,所以 lin 8 (2)首先函数后的定义域为x20,且N-2-2=4=-4,于是 对任意的E>0,取δ=min42s}>0,当0<kx-4<时,成立 2521-4≤,所以 lim√x=2。 (3)先取x-3<1,则2<x≤A,+122x+y小x-3,于是对任 意的>0,取δ=min6s}>0,当0<x-3<δ时,成立 -1-1-1x-3<a,所以 lim -= x→3x+1 (4)先取>1,则2x-12, x+11 ≤3,于是对任意 22x-12x 的>0,取x=max{2}>0,当>x时,成立2x-1236 x+1 < 所以 x→∞2x-12
第三章 函数极限与连续函数 习 题 3.1 函数极限 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞。 证 （1）先取 x − 2 < 1，则1 < x < 3， 8 ( 2 4)( 2) 19 2 3 2 x − = x + x + x − < x − ， 于是对任意的ε > 0，取 0 19 min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε δ ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 − 8 < 19 − 2 < ε 3 x x ，所以 lim x→2 x 3 ＝8。 （2）首先函数 x 的定义域为 x ≥ 0，且 4 2 1 2 4 2 ≤ − + − − = x x x x ，于是 对任意的 ε > 0 ， 取 δ = min{4,2ε} > 0 ， 当 0 < x − 4 < δ 时，成立 − ≤ − 4 < ε 2 1 x 2 x ，所以 lim x→4 x = 2。 （3）先取 x − 3 < 1，则2 < x < 4， 2( 1) 3 2 1 1 1 + − − = + − x x x x 3 6 1 < x − ，于是对任 意 的 ε > 0 ， 取 δ = min{1,6ε}> 0 ， 当 0 < x − 3 < δ 时，成立 2 1 1 1 − + − x x < − 3 < ε 6 1 x ，所以 lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 。 （4）先取 x > 1，则 2x −1 ≥ x ， 2 1 2 1 1 − − + x x 2 2 1 3 − = x 2 x 3 ≤ ，于是对任意 的ε > 0，取 0 2 3 max 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε X ，当 x > X 时，成立 2 1 2 1 1 − − + x x ≤ < ε 2 x 3 ， 所以 lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 。 34
(5)对任意的G>0,取δ=e°>0,当0<x<δ时,成立lnx<-G,所 以 m In (6)对任意的0<E<1,取x=1n1>0,当x>x时,成立0<e<em=g, 所以 0 (7)先取0<x-2<1,则2<x<3,2x>1,于是对任意的G>0,取 6=m1},当0<x-2<6时,成立-2 (x+2x-2)x 所以 2 x2-4 8)先取x<-1,则一,>1,于是对任意的G>0,取X=maxG}, 当x<-X时,成立<x<-G,所以 lim 2.求下列函数极限: (1)im2x2-x-1 (2)im2x2-x-1 (3)lim 3x5-5x3+2y (4)lim (1+2x)(1+3x)-1 +x (6)lim (1+mx)2-(l+nx) li sin x-sina lim coSx-COS3x 0 lim tanx=snx。 解 =m、x+1 2 x12x2-x-1x12x+13 (2)lim (3)im x→0 (4)1m(+2x1+3x)-1=1m0+5x+6x)-1=5
（5）对任意的G > 0，取δ = e−G > 0，当0 < x < δ 时，成立 ，所 以 ln x < −G lim ln x x → +0 = −∞。 （6）对任意的0 < ε < 1，取 0 1 = ln > ε X ，当 时，成立 ， 所以 x > X ε ε < < = − ln 0 e e x lim x→+∞ e− x ＝0。 （7）先取0 < x − 2 < 1，则2 < x < 3， 1 2 2 > x + x ，于是对任意的G > 0，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = G 1 δ min 1, ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 G x x x x x x > − > + − = − 2 1 ( 2)( 2) 2 4 2 2 ， 所以 lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞。 （8）先取 x < −1，则 1 1 > x + x ，于是对任意的 ，取 ， 当 时，成立 G > 0 X = max{1,G} x < −X x G x x < < − +1 2 ，所以 lim x→−∞ x x 2 +1 = − ∞。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 解 （1）lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − 1 lim → = x = + + 2 1 1 x x 3 2 。 （2）lim x→∞ = − − − 2 1 1 2 2 x x x 2 1 。 （3）lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x 0 lim → = x x x x − + − + = − + − + 2 4 2 4 3 2 5 3 x x x x 3 2 。 （4）lim x→0 = + + − x (1 2x)(1 3x) 1 lim x→0 = + + − x (1 5x 6x ) 1 2 5。 35
(5) lim(+x)"-Is lim Cnx+( (6)lim (1+mx)"-(1+mx) lim (+nmx+Camx+.+mx)-(1+mnx+Cmn'x++n"x x-)0 nm(n-m)o x+a.x-a (7) lim sin x-sin a=limo -sin- = coSa o 8)lim lim I-coSx (9)lim cosx-cOS5x 2sin 4xsin 2 4 2 sin xsin (10)lim tanx-sinx lim 3.利用夹逼法求极限 (1) lim (2) 解(1)x>0,当<xx-,有一”<x1≤1。由lmn=1,可知 mnx/=1。r<O,当、 n+1 n+1 n→∞n+1 <X≤ -",由 H→0n 可知2x/=1。由此得到 lin x-0 (2)当n≤x<n+1,有n 由lim 与 得到 1 4.利用夹逼法证明 (1)limx=0(a>1,k为任意正整数 (2)llnx=0(k为任意正整数
（5）lim x→0 = + − x x n (1 ) 1 lim x→0 = + + + x C x C x x n n 1 n 2 2 " n。 （6）lim x→0 2 (1 ) (1 ) x mx nx n m + − + 0 lim → = x 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) x nmx C m x m x mnx C n x n x m m m n n + + n +"+ − + + +"+ ( ) 2 1 = nm n − m 。 （7）lim x a → = − − x a sin x sin a lim x a → x a x a x a − + − 2 sin 2 2cos = cosa。 （8）lim x→0 = − x x 1 cos 2 lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2sin2 2 x x 2。 （9）lim x→0 = − 2 cos cos3 x x x lim x→0 = 2 2sin 4 sin 2 x x x 4。 （10）lim x→0 = − 3 tan sin x x x lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x x x x cos 2 2sin sin 3 2 2 1 。 3. 利用夹逼法求极限： ⑴ limx→0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 1 ； ⑵ limx→+∞ x x 1 。 解（1）∀x > 0，当 n x n 1 1 1 < ≤ + ，有 1 1 1 ≤⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ < + x x n n 。由 1 1 lim = →∞ n + n n ，可知 →0+ lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。∀x < 0，当 1 1 1 + − < ≤ − n x n ，有 n n x x 1 1 1 + <⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ 。由 1 1 lim = + →∞ n n n ， 可知 →0− lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。由此得到 0 lim x→ 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。 （2）当n ≤ x < n +1，有 n x n n x n 1 1 1 1 < < ( +1) + 。由n→∞ lim 1 1 1 = n+ n 与n→∞ lim ( 1) 1 1 + = n n ， 得到 limx→+∞ 1 1 = x x 。 4. 利用夹逼法证明： (1) limx→+∞ x k a x = 0 (a＞1，k 为任意正整数)； (2) limx→+∞ lnk x x = 0 (k 为任意正整数)。 36
解(1)首先有0<<x,由limn(+=0即得到 lin (2)令lnx=t,则 且当x→+∞时,有t→+∞。再利用(1) 的结论,即得到 lin 0 5.讨论单侧极限 0<x≤1 (1)f(x)={x2,1<x<2,在x=0,1,2三点; 2x2<x<3, (2)f(x) 1 在x=0点 (3) Dirichlet函数 D()={为有理数在任意点 0, 为无理数 (4)f(x) 在 (n=12,3…) n AF(1)lim f(x)=+00, lim f(x)=-, lim f(x)=, lim f(x)=4, limf(x)=4 x→2 (2) lim f(x)=-1, lim f(x)=1 x→0 (3)D(x)在任意点无单侧极限。 (4)lim f(x)=0, lim f(x) 6.说明下列函数极限的情况: (1)lim sInx (2)lim e sinx (4)lim|1+ 解(1) (2) lim e sinx=0, lim e sinx极限不存在,所以 lim e sinx极限不 x→-0 x→+00 存在
解（1）首先有 [ ] ([ ] 1) 0 x k x k a x a x + < < ，由 0 ( 1) lim = + →∞ n k n a n 即得到 limx→+∞ x a k x = 0。 （2）令ln x = t，则 t k k e t x x = ln ，且当 x → +∞时，有t → +∞。再利用（1） 的结论，即得到 limx→+∞ lnk x x = 0。 5. 讨论单侧极限： (1) f (x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < < < < ≤ 2 2 3, , 1 2, , 0 1, 2 1 2 x x x x x x 在 x = 0,1,2 三点； (2) f (x) = 2 2 1 1 1 x x + − 1 ， 在 x = 0 点； (3) Dirichlet 函数 D (x) = 在任意点； ⎩ ⎨ ⎧ 0, , 1, , 为无理数 为有理数 x x (4) f (x) = x 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x 1 , 在 x = 1 n （n = 1 2, ,3,"）。 解（1） = +∞ → + lim ( ) 0 f x x ， 2 1 lim ( ) 1 = → − f x x ，lim ( ) 1 1 = → + f x x ，lim ( ) 4 2 = → − f x x ，lim ( ) 4。 2 = → + f x x （2） lim ( ) 1 0 = − → − f x x ， lim ( ) 1 0 = → + f x x 。 （3）D(x)在任意点无单侧极限。 （4） lim ( ) 0 1 = → − f x n x ， lim ( ) 1 1 = → + f x n x 。 6. 说明下列函数极限的情况： (1) limx→∞ sin x x ; (2) limx→∞ e sin x x ; (3) limx→+∞ x x α sin 1 ; (4) limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) limx→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 解（1）limx→∞ = x sin x 0。 （2） ， x→−∞ lim e sin x = 0 x x→+∞ lim e sin x x 极限不存在，所以limx→∞ e sin x x 极限不 存在。 37
(3) lim x"sin-={1a=1。 (4)1m(1+1)=+0,m1+1)=0,所以m(1+1)极限不存 x→+ 在 (5)lim1+ (6)取x=n形1则m li 所以lim 极限不存在 7.设函数 2 f(x) 1+ 问当x→0时,f(x)的极限是否存在? 解由于lmf(x)=m/3x。 0+1=1 sIn x lim f(x)=lim 所以 1 limf(r)=lim/2+ex,sinx x 8.设imf(x)=A(a≥0),证明:imnf(x2)=A。 证设imf(x)=A(a≥0),则vE>0,>0,Wx0<x-<a),有 f(x)-A<s。取 =min -}>0,则当0-<6时,首先有 于是0<2-=(x+a(x-)<8,从而 (x2)-4<E,这就说明了mf(x)=A。 9.(1)设lmf(x3)=A,证明:limf(x)=A
（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ > = < = →+∞ 1 1 1 0 1 1 lim sin α α α α x x x 。 （4） x→+∞ lim ⎟ = +∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 x x ， x→−∞ lim 0 1 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x ，所以limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 极限不存 在。 （5）limx→∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x 2 1 1 1。 （6）取 n xn ' 1 = ， 2 1 " 1 + = n xn ，则n→∞ lim 0 1 1 ' ' =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ，n→∞ lim 2 1 1 1 " " =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ， 所以 limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 极限不存在。 7．设函数 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = | | sin 1 2 ( ) 4 1 x x e e f x x x 。 问当 x → 0时， f (x)的极限是否存在？ 解 由于 = → + lim ( ) 0 f x x 0 1 1 sin 1 2 lim 4 1 1 0 = + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + → + x x e e x x x ， = → − lim ( ) 0 f x x 2 1 1 sin 1 2 lim 4 1 0 = − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + → − x x e e x x x ，所以 1 | | sin 1 2 lim ( ) lim 4 1 0 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = → → x x e e f x x x x x 。 8. 设lim = A（a≥0），证明： x a → f (x) lim x a → f x( ) 2 = A 。 证 设lim = A（a≥0），则 x a → f x( ) ∀ε > 0，∃δ '> 0，∀x(0 < x − a < δ ')，有 f (x) − A < ε 。取 0 1 2 ' min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = a δ δ ，则当 0 < x − a < δ 时，首先有 x + a < 1+ 2 a ，于是 < x − a 2 0 = (x + a)(x − a) < δ ' ，从而 f (x ) − A < ε 2 ，这就说明了 lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) 38