第五章微分中值定理及其应用 习题5.1微分中值定理 1.设∫(x)>0,∫(x)<0,证明x是f(x)的极小值点 证由f(x)>0,可知当δ>0足够小时,若0<x-x<,则 1(x)-/)>0,于是(x)-(x)>0;同理,由(x)<0,可知当δ>0 足够小时,若-6<x-x0<0,则(x)-/(x x-b<0,于是也有 f(x)-f(x)>0。从而命题得证 2.( Darboux定理)设f(x)在(a,b)上可导,x,x2∈(a,b)。如果 f(x)f'(x2)<0,证明在x和x2之间至少存在一点ξ,使得∫()=0。 证显然x≠x2,不妨设x<x2。若f(x)>0,则∫(x2)<0,仿照习题 可证存在x<x3<x<x2,使得f(x)<f(x),f(x2)<f(x),从而x,x2都 不是f(x)的最大值点,于是f(x)在[x,x2]的最大值点ξ∈(x,x2),并且 成立∫()=0。若f(x)<0,则f(x)>0,同样可证f(x)在[x,x]的最 小值点ξ∈(x,x),并且成立f(2)=0。 3.举例说明 Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时,定理结 论就有可能不成立。 解[-1,上的符号函数sgn(x)在x=0不连续,所以 Lagrange中值定理 的条件不满足。而0-/(-D=1,不存在∈(-1)r15)=1。 1-(-1) [-1,上的绝对值函数x|连续,但在x=0不可微,所以 Lagrange中值
第五章 微分中值定理及其应用 习 题 5.1 微分中值定理 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 < 0，证明 x0 是 f x( )的极小值点。 证 由 f x + ′( ) 0 > 0 ，可知当 δ > 0 足够小时，若 0 < x − x0 < δ ， 则 0 0 ( ) ( ) 0 f x f x x x − > − ，于是 f x( ) − f x( 0 ) > 0；同理，由 f x − ′( ) 0 < 0，可知当δ > 0 足够小时，若 − δ < x − x0 < 0 ， 则 0 ( ) ( ) 0 0 < − − x x f x f x ，于是也有 f x( ) − f x( 0 ) > 0。从而命题得证。 2．（Darboux 定理）设 f x( )在( , a b)上可导， x1 , x2 ∈ ( , a b)。如果 f x ′( ) 1 ⋅ f x ′( 2 ) < 0，证明在 x1和 x2 之间至少存在一点ξ，使得 f ′( ) ξ = 0。 证 显然 1 2 x ≠ x ，不妨设 1 2 x < x 。若 1 f x ′( ) > 0，则 2 f x ′( ) < 0，仿照习题 1 可证存在 1 3 4 2 x < < x x < x ，使得 1 3 f ( ) x f < (x )， 2 ( ) ( )4 f x f < x ，从而 1 2 x , x 都 不是 f (x)的最大值点，于是 f (x)在 1 2 [ , x x ]的最大值点ξ 1 2 ∈( , x x )，并且 成立 f ′( ) ξ = 0。若 f x ′( )1 < 0，则 2 f x ′( ) > 0，同样可证 f (x)在 1 2 [ , x x ]的最 小值点ξ 1 2 ∈( , x x )，并且成立 f ′( ) ξ = 0。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结 论就有可能不成立。 解 [ 1− ,1]上的符号函数sgn(x) 在 x = 0不连续，所以 Lagrange 中值定理 的条件不满足。而 (1) ( 1) 1 1 ( 1) f f − − = − − ，不存在ξ ∈( 1− = ,1), f '(ξ ) 1。 [ 1− ,1]上的绝对值函数| x |连续，但在 x = 0不可微，所以 Lagrange 中值 96
定理的条件不满足。而Q)-(D=0,但v5e(-11≠0.r(5)=1≠0 (-1) 4.设函数f(x)在[a,b上连续,在(a,b)上可微。利用辅助函数 (x)=a fo b f(b)1 证明 Lagrange中值定理,并说明v(x)的几何意义。 证显然v(a)=v(b)=0,并且满足 Rolle定理条件。由Role定理,在 (a,b)内存在一点ξ,使得 f() v(5)=af(a)1=f(b-a)-[f(b)-f(a)=0, b f(b) 所以 Lagrange中值定理成立。 几何意义:以(x,f(x),(a,f(a),(b,f(b)顶点的三角形如果顶点逆时 针排列,则v(x)就是三角形面积的两倍,否则-v(x)就是三角形面积 的两倍 5.设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明(a,b)内存 在一点ξ,使得 f(a) f(b) f(a)f(5) =(b-a g(a)g(b) g(a) g(5) 证令F(x)= g()s(b)x-a)-(b-/(a)f(x),则F(a)=F(b)=0,由 f(af(b g(a)g(x) Rolle定理,在(a,b)内存在一点ξ,使得 F6)=/(a)f(b) f(a)f(I 0 g(a)g(b) gla)g(s) 6.设非线性函数f(x)在[ab]上连续,在(a,b)上可导,则在(a,b)上
定理的条件不满足。而 (1) ( 1) 0 1 ( 1) f f − − = − − ，但∀ξ ∈ −( 1,1), ξ ξ ≠ 0, f '( ) = ±1 ≠ 0。 4. 设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可微。利用辅助函数 ψ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x a f a b f b = 1 1 1 证明 Lagrange 中值定理，并说明ψ(x)的几何意义。 证 显然ψ ( ) a =ψ (b) = 0，并且满足 Rolle 定理条件。由 Rolle 定理，在 ( , a b)内存在一点ξ，使得 1 '( ) 0 '( ) ( ) 1 '( )( ) [ ( ) ( )] 0 ( ) 1 f a f a f b a f b f a b f b ξ ψ ξ ξ = = − − − = ， 所以 Lagrange 中值定理成立。 几何意义：以(x, f x( )),( , a f (a)),(b, f (b)) 顶点的三角形如果顶点逆时 针排列，则ψ (x)就是三角形面积的两倍，否则－ψ (x)就是三角形面积 的两倍。 5． 设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导, 证明( , a b)内存 在一点ξ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b ′ ′ = − 。 证 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a g x f a f x x a b a g a g b f a f b F x = − − − ，则F(a) = F(b) = 0，由 Rolle 定理，在( , a b)内存在一点ξ，使得 0 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) = − − = ξ ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b F 。 6． 设非线性函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，则在( , a b)上 97
至少存在一点η,满足 f(n)|> ∫(b)-f(a) b 并说明它的几何意义。 证由于f(x)是非线性函数,所以在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 (,f()不在(an,f(a),(b,f(b)的连线上 假设(,f()在(a,f(a)(b,f(b)的连线的上方,则 f()-f(a)∫(b)-f(a)f(b)-f(5) b-a b-5 利用 Lagrange中值定理,存在5∈(a,,52∈(,b,使得 /E)>/(b-1(a)>/(4,) b 所以m川厂)>0)/1。当((4)在(a,(a)(b,(b)的 连线下方时同理可证 几何意义:在[a,b]上连续、在(a,b)上可导的非线性函数,必定在 某点切线斜率的绝对值大于[a,b间割线斜率的绝对值。 7.求极限lmn| arctan a- arctan-,,其中a≠0为常数 irctan--arctan 解由 Lagrange中值定理, n+1 nan 其中ξ位于 n+1 与之间。当n→时,趋于1,所以 arctan limn arctan a-arctan -a=lim na arctan a n n+1 n+1)m→an+1
至少存在一点η，满足 | ( ) | | ( ) ( ) ′ > | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 证 由于 f x( )是非线性函数，所以在( , a b)内至少存在一点ξ ，使得 ( , ξ f (ξ ))不在( , a f (a)),(b, f (b))的连线上。 假设( , ξ f (ξ ))在( , a f (a)),(b, f (b))的连线的上方，则 f ( ) f ( ) a f (b) f ( ) a f (b) f ( ) a b a b ξ ξ ξ ξ −−− > > −−− ， 利用 Lagrange 中值定理，存在 1 2 ξ ∈( , a b ξ ξ ), ∈(ξ, ), 使得 1 2 ( ) ( ) '( ) '( ) f b f a f f b a ξ ξ − > > − ， 所以 1 2 ( ) ( ) max{| '( ) |,| '( ) |} | | f b f a f f b a ξ ξ − > − 。当( , ξ f (ξ ))在 的 连线下方时同理可证。 ( , a f (a)),(b, f (b)) 几何意义：在[ , 上连续、在 上可导的非线性函数，必定在 某点切线斜率的绝对值大于[ , 间割线斜率的绝对值。 a b ] ( , a b) a b ] 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中a ≠ 0为常数。 解 由 Lagrange 中值定理， 2 arctan arctan 1 1 1 1 a a n n a a n n ξ − + = + − + ，其中ξ 位于 1 a n + 与 a n 之间。当n → ∞时， 2 1 1+ ξ 趋于1，所以 2 arctan arctan 1 lim arctan arctan lim 1 1 1 n n a a a a na n n n n n n a a n n →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + − = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + − + 2 1 limn 1 1 na a →∞ n ξ ⎛ ⎞ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + = 。 98
8.用 Lagrange公式证明不等式 (1)|sinx-siny|≤|x-y x"(x-y)(n>1,x>y>0) 6< b-a (b>a>0); 证(1)|sinx- sin yl=cos5(x-y)图sx-y|。 (2)x"-y=n"(x-y),其中x>5>y>0。由x">>y->0得到 my(x-y y)(n>1,x>y>0)。 (3)hb=lnb-ma=1b-a),其中b>5>a>0。由于1<1<-,所以 <ln-< (x-0) 5>0。 9.设f(x)在[a,b上定义,且对任何实数x和x2,满足 f(x1)-f(x2)(x1-x2)2 证明f(x)在[a,b]上恒为常数 证首先由(x1)-f(x2)(x1-x2)2可知f(x)在[a,b上连续。对任意固 定的x2∈(a,b),lim f(x)-f(x2) klim|x1-x2=0,故f(x2)=0,再由x2的 任意性,得到∫(x)在(a,b)上恒等于0。所以f(x)在[a,b]上恒为常数 10.证明恒等式 (1) arcsinx+acox=2,x∈ 3 arccos x- arccos(3x-4x3)=π,x∈
8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y |; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − < − < − > > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − < < − b a a b a a b b b a ; ⑷ e > 1+ x (x > 0). x 证 ⑴ | sin x − = sin y x | | cosξ ⋅( − y) |≤| x − y |。 ⑵ , 1 ( ) n n n x y nξ x y − − = − 其中 x > > ξ y > 0。由 xn n − − 1 1 > > ξ yn−1 > 0得到 ( ) ( ) ( 1, 0) 1 1 − < − < − > > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n 。 ⑶ 1 ln ln ln ( ) b b a b a a ξ = − = − ，其中b > > ξ a > 0。由于 1 1 1 b a ξ < < ，所以 ln b a b b a b a a − − < < 。 ⑷ e 1 x x − = e e − 0 = e ξ (x − 0) > x, x > ξ > 0。 9． 设 f (x)在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 2 ，满足 2 2 x | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − ， 证明 f (x)在[ , a b ]上恒为常数。 证 首先由 可知 在[ , 上连续。对任意固 定的 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − f x( ) a b ] 2 x ∈( , a b) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) lim | | lim | | 0 x x x x f x f x x x → x x → − ≤ − = − ，故 ，再由 的 任意性，得到 在 上恒等于 0。所以 在[ , 上恒为常数。 2 f x'( ) = 0 x2 f '(x) ( , a b) f x( ) a b ] 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； 99
(3) 2 arc tan x +arcsin =r,x∈[l,+∞) 1+x 证(1)令f(x)= arcsin x+ arccos x,则 f(x)= ≡0,Vx∈(0,1)。 由于f(x)在[0,连续,所以f(x)=f()=x。 (2)令f(x)=3 arccos x-arco3x-4x3),注意到1-4x20,x∈(-,), 所以 3-12 f(x) ≡0,Vx∈(-,-) (3x-4x3)2 由于f(x在连续,所以f(x)=/(0)=22=z (3)令f(x)=2 arctan x+ arcsin,,注意到x2-1>0.x>1,所以 1+x 0.Vx>1 由于f(x)在口+)连续,所以f(x)=f(1242x° 1].设函数∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。证明:若(a,b)中除 至多有限个点有f(x)=0之外,都有f(x)>0,则f(x)在[a,b上严格 单调增加;同时举例说明,其逆命题不成立。 证设a=x<x<…<x1<xn=b,其中x1,x2…,x是f(x)全部的零点。 则∫(x)在[x,xn](=01…,n-1上严格单调增加。从而,f(x)在{a,b]上 严格单调增加。 构造函数 f(x) 3.2-(m+2)+2-(m+2) cos(-n), n+/+s
⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ，x ∈[ , 1 +∞). 证（1）令 f x( ) = arcsin x + arccos x，则 2 2 1 1 '( ) 0, (0,1) 1 1 f x x x x =−≡ ∀ ∈ − − 。 由于 f (x)在[0,1]连续，所以 ( ) (0) 2 f x f π ≡ = 。 （2）令 3 f ( ) x x = − 3arccos arccos(3x − 4x ) ，注意到 2 1 1 1 4 0, ( , ) 2 2 − ≥ x x ∀ ∈ − ， 所以 2 2 3 2 3 3 12 1 '( ) 0, ( , ) 1 1 (3 4 ) 2 2 x f x x x x x − = − + ≡ ∀ ∈ − − − − 1 。 由于 f (x)在 1 1 [ , 2 2 − ]连续，所以 ( ) (0) 3 2 2 f x f π π ≡ = − = π 。 (3) 令 2 2 ( ) 2arctan arcsin 1 x f x x x = + + ，注意到 2 x −1 0 > ∀, x >1，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2(1 ) 4 '( ) 0, 1 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 x x f x x x x x x + − = + ≡ ∀ + + − + > 。 由于 f (x)在[1,+∞) 连续，所以 ( ) (1) 2 4 2 f x f π π ≡ = + = π 。 11．设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导。证明：若( , a b)中除 至多有限个点有 f x ′( ) = 0 之外，都有 f x ′( ) > 0 ，则 f (x)在[ , a b ]上严格 单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。 证 设a x = <0 1 x <"< xn−1 < xn = b，其中 1 2 1 , , , n x x x " − 是 全部的零点。 则 在 上严格单调增加。从而， 在[ , 上 严格单调增加。 f '(x) f x( ) 1 [ , ] ( 0,1, , 1) i i x x i n + = " − f x( ) a b] 构造函数 ( 2) ( 2) 0, 0; ( ) 1 1 1 3 2 2 cos( ) , , 1, 2, . 1 n n x f x n x n x n n π − + − + ⎧ = ⎪ = ⎨ ⋅ + − < ≤ = ⎪ ⎩ + " 100