●● 第10讲静态场的解(0) 。边值问题的分类 ●唯一性定理 ●镜象原理 VIVERSITY IL.XIDIAN.EDU.C lexu@mail.xidian.edu.cn
lexu@mail.xidian.edu.cn 7 第10讲 静态场的解(I) 边值问题的分类 唯一性定理 镜象原理 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
边值问题的分类 。用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件： 。边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题： 。在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空间 即可通过积分公式计算任意点电位； ● 对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的电 位值（边值）来确定积分常数： ●对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上的 电位边界条件来确定场的分布情况。 lexu@mail.xidian.edu.cn 8
lexu@mail.xidian.edu.cn 8 边值问题的分类 用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件； 边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题； 在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空间 即可通过积分公式计算任意点电位； 对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的电 位值(边值)来确定积分常数； 对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上的 电位边界条件来确定场的分布情况。 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
边值问题的分类 ·边值问题按其边界条件不同可分为三类： 1°已知区域边界上的位函数值： V0=-p/ε（或0） olr=o 荻利克莱(Dirichlet)问题 720=-p/8 2°已知待求函数在区域边界上的法向导数值 00 Neumann问题 onr =Ψ0 3区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 V20=-p8 混合问题 00 Pm证49t =Ψ0 on
lexu@mail.xidian.edu.cn 9 边值问题的分类 边值问题按其边界条件不同可分为三类： 1º已知区域边界上的位函数值： 2º已知待求函数在区域边界上的法向导数值 3º区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 ( ) = −=∇ Γ 0 2 | 0 ϕϕ ερϕ 或 = ∂ ∂ −=∇ Γ 0 2 ψ ϕ ερϕ n = ∂ ∂ = −=∇ Γ Γ 0 2 0 1 2 , ψ ϕ ϕϕ ερϕ n 荻利克莱（Dirichlet）问题 Neumann问题 混合问题 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
唯一性定理 一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证： 。解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解； 。解的惟一性：即看是否只有一个解； 解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应地 只有微小的变动： 。若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的 ·定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。 lexu@mail.xidian.edu.cn 10
lexu@mail.xidian.edu.cn 10 唯一性定理 一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证： 解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解； 解的惟一性：即看是否只有一个解； 解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应地 只有微小的变动； 若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的 定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
唯一性定理 ·格林公式 。再看散度定理 ∫又.fdw=∮F.as 。若令F=0V平，则 V.F=V.(pVΨ)=p72Ψ+V0.7Ψ V-Far=(ov2Ψ+Vo-vyaw 1 w.w-f.w手o器 lexu@mail.xidian.edu.cn
lexu@mail.xidian.edu.cn 11 唯一性定理 格林公式 再看散度定理 若令F =φ▽Ψ, 则 V S ∇⋅ = ⋅ FdV F dS ∫ ∫ 2 ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇Ψ = ∇ Ψ + ∇ ⋅∇Ψ F ( ) ϕϕ ϕ 2 ( ) V V ∇ ⋅ = ∇ Ψ + ∇ ⋅∇Ψ FdV ϕ ϕ dV ∫ ∫ ( ) VS S FdV dS dS n ϕ ϕ ∂Ψ ∇ ⋅ = ∇Ψ ⋅ = ∂ ∫∫ ∫ XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN