《电磁场》课程教学资源（知识点）5-恒定磁场分析

教学基本要求掌握恒定磁场的基本方程与边界条件，熟悉恒定磁场的基本性质，熟练运用安培环路定理求解具有一定对称性分布的磁场。理解介质磁化的概念，对于介质的磁化电流和等效磁荷的概念应有清楚的理解，并会计算磁化电流和等效磁荷分布。矢量磁位和标量磁位对求解磁场分布起着重要作用，应深刻理解失量磁位和标量磁位的定义，掌握它们所满足的微分方程及边界条件，并会利用失量磁位和标量磁位求解一些简单的磁场分布问题。要深刻地理解自感、互感和磁场能量的概念。掌握自感、互感的计算方法，会计算磁场能量以及用安培定律或虚位移法计算磁场力。恒定场的许多公式在形式上与静电场相似，但在物理概念上又存在本质区别。在教学中，应特别注意恒定磁场与静电场的对比，将静电场中分析求解问题的方法和所得到的一些结论推广应用到恒定磁场中。知识脉络恒定磁场+恒定磁场中电感磁场的能量恒定磁场的基本方程的磁介质→+恒定磁场的矢量磁位自感标量磁位互感介质的磁化边界条件+1→.磁化强度标量磁位的纽曼公式 矢量磁位的矢量磁位的微分方程与微分方程边界条件磁化电荷边界条件+矢量磁位的表达式重点、难点解析恒定磁场的内容、分析和求解方法与静电场是相似的。教学过程中，应将这两种场进行对比，指出它们的相似之处，这对学习恒定磁场、掌握它的基本规律和分析方法、提高解题能力有重要作用。同时，也应分清它们的区别，避免出现概念和计算上的错误

教学基本要求 掌握恒定磁场的基本方程与边界条件，熟悉恒定磁场的基本性质，熟练运用安培环路定 理求解具有一定对称性分布的磁场。 理解介质磁化的概念，对于介质的磁化电流和等效磁荷的概念应有清楚的理解，并会计 算磁化电流和等效磁荷分布。 矢量磁位和标量磁位对求解磁场分布起着重要作用，应深刻理解矢量磁位和标量磁位的 定义，掌握它们所满足的微分方程及边界条件，并会利用矢量磁位和标量磁位求解一些简单 的磁场分布问题。 要深刻地理解自感、互感和磁场能量的概念。掌握自感、互感的计算方法，会计算磁场 能量以及用安培定律或虚位移法计算磁场力。 恒定磁场的许多公式在形式上与静电场相似，但在物理概念上又存在本质区别。在教学 中，应特别注意恒定磁场与静电场的对比，将静电场中分析求解问题的方法和所得到的一些 结论推广应用到恒定磁场中。 知识脉络 重点、难点解析 恒定磁场的内容、分析和求解方法与静电场是相似的。教学过程中，应将这两种场进行 对比，指出它们的相似之处，这对学习恒定磁场、掌握它的基本规律和分析方法、提高解题 能力有重要作用。同时，也应分清它们的区别，避免出现概念和计算上的错误。 恒定磁场 矢量磁位的表达式 电感 标量磁位 恒定磁场中 的磁介质 介质的磁化 恒定磁场的基本方程 磁场的能量 恒定磁场的 边界条件 矢量磁位 矢量磁位的 微分方程 矢量磁位的 边界条件 磁化强度 磁化电荷 自感 纽曼公式 互感 感 标量磁位的 微分方程与 边界条件

1.恒定磁场的基本方程①）：恒定磁场的基本方程反映了恒定磁场的基本性质，是分析求解恒定磁场问题的基础。磁通连续性定理B.dS=0及其微分形式V·B=0，反映了恒定磁场的无源性，磁s力线是无头无尾的闭合曲线。H-dl=I及其微分形式V×H=J清楚地表示出恒定磁场C是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的涡旋源。因此，恒定磁场的性质与静电场截然不同：恒定磁场是无源有旋场，是非保守场。与静电场基本方程一样，恒定磁场的基本方程适用于任何磁介质。②由于恒定磁场是无源有旋场，在一般情况下，只能引入矢量磁位A。只有在无电流（J=0）的空间中，由于V×H=0，才能引入标量磁位m。③根据磁介质中B和H之间的普遍关系B=(H+M)，可将基本方程写成为仅含B或仅含H的形式，分别为和(VB=0[.H=-V.M[VxH= J(V×B=(J+V×M)这两组方程是等价的，通过B=Ho(H+M)，可由一组方程的解得到另一组方程的解。但在这两组方程中，磁化介质对B和H产生影响的性质和方式不同。在仅含B的方程中介质的影响以磁化电流的形式出现，而在仅含H的方程中，介质的影响则以磁荷的形式出现，这正反映出介质磁化的分子电流观点和等效磁荷观点。④应用安培环路定理求解磁场。对于某些具有对称性的恒定磁场问题，可应用安培环路定理H.dI=I来求解磁场分布。在已知磁场分布的情况下，V×H=J可求出恒定磁c场中的电流分布。③线性、各向同性媒质中恒定磁场与静电场的对比如下：恒定磁场静电场对偶量VxH=JVxE=0HEBαDV·B=0V.D=pHmP, μα?B=H+HM=μHD=6E+P=6En·(B,-B,)=0n(D -D,)=0

1．恒定磁场的基本方程 ① 恒定磁场的基本方程反映了恒定磁场的基本性质，是分析求解恒定磁场问题的基 础。磁通连续性定理 d 0 S =  B S 及其微分形式 • = B 0 ，反映了恒定磁场的无源性，磁 力线是无头无尾的闭合曲线。 d C = I  H l 及其微分形式  = H J 清楚地表示出恒定磁场 是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的涡旋源。因此，恒定磁场的性质与静电场截然不同： 恒定磁场是无源有旋场，是非保守场。与静电场基本方程一样，恒定磁场的基本方程适用于 任何磁介质。 ② 由于恒定磁场是无源有旋场，在一般情况下，只能引入矢量磁位 A 。只有在无电 流（ J = 0 ）的空间中，由于  = H 0 ，才能引入标量磁位  m 。 ③ 根据磁介质中 B 和 H 之间的普遍关系 0 B H M = +  ( ) ，可将基本方程写成为仅 含 B 或仅含 H 的形式，分别为 0 0  ( )  =   = +  B B J M 和  = −   = H M H J 这两组方程是等价的，通过 0 B H M = +  ( ) ，可由一组方程的解得到另一组方程的解。 但在这两组方程中，磁化介质对 B 和 H 产生影响的性质和方式不同。在仅含 B 的方程中， 介质的影响以磁化电流的形式出现，而在仅含 H 的方程中，介质的影响则以磁荷的形式出 现，这正反映出介质磁化的分子电流观点和等效磁荷观点。 ④ 应用安培环路定理求解磁场。对于某些具有对称性的恒定磁场问题，可应用安培环 路定理 d C = I  H l 来求解磁场分布。在已知磁场分布的情况下，  = H J 可求出恒定磁 场中的电流分布。 ⑤ 线性、各向同性媒质中恒定磁场与静电场的对比如下： 恒定磁场 静电场 对偶量  = H J  = E 0 H E   = B 0   = D  B D  B H M H = + =    0 0 0 D E P E = + =   0M P  ，    1 2 n B B  − = ( ) 0 1 2 n D D  − = ( ) 

nx(H,-H,)=Jsnx(E,-E,)=02.矢量磁位矢量磁位既是恒定磁场的一个重点内有，也是一个难点。在教学中应明确矢量磁位的定义和性质，注意将矢量磁位A与静电位β进行对比。①由于V.B=O是磁场的基本方程，所以矢量磁位A具有普遍意义，即任何恒定磁场都可用矢量磁位A表示，这与静电场都可用静电位?表示是相同的。②矢量磁位A是量，而B=V×A只规定了A的旋度，所以A的分布不是惟一的。事实上，若令A=A+VY，则有V×A=V×A=B。为了确定矢量磁位A的分布，还需给出A的散度。在恒定磁场中规定V·A=0，这个规定称为库仑规范。③：在线性、各向同性的均匀介质中，在库仑规范的条件下，得到矢量磁位A满足泊松方程A=-J，这与静电位满足的泊松方程=-/s在形式上是相似的。矢量磁位A满足的是矢量泊松方程，它可以写成三个标量方程(V"A),=-J,(i=u,uz,us)。但应注意，(VA),与A,一般是不相同的，只有直角分量才有(A),=A,(i=x,J,2)。④一般情况下，矢量磁位A满足的微分方程比较复杂。因此，求解矢量磁位A往往比求解电位β困难得多。但对一些特殊的电流分布，则可将A满足的矢量泊松方程化为标量方程。a，电流沿=方向流动，即J=eJ。由V.J=0，可得aJ/αz=0，所以电流密度与坐标变量2无关。若求解区域的界面是与=轴平行的柱面，则矢量磁位A也只有-方向的分量，且与坐标变量≥无关，即A=e.A。这时矢量磁位A满足二维标量泊松方程VA=-J°边界条件则为4=4:104-124=JsμOnon在这种情况下，A满足的方程和边界条件与静电位β是完全相似的。b.圆环形电流分布，即J=e,J。由V.J=0，可得aJ/op=0，所以电流密度与坐标变量无关。若求解区域的界面是圆柱面或球面，则失量磁位A也只有方向的分量，且与坐标变量§无关，即A=e.A。在这种情况下，矢量磁位A也满足二维标量泊松方程。③量磁位与静电位的公式对比如下：

1 2 ( ) n H H J  − = S 1 2 n E E  − = ( ) 0 2．矢量磁位 矢量磁位既是恒定磁场的一个重点内有，也是一个难点。在教学中应明确矢量磁位的定 义和性质，注意将矢量磁位 A 与静电位  进行对比。 ① 由于  = B 0 是磁场的基本方程，所以矢量磁位 A 具有普遍意义，即任何恒定磁 场都可用矢量磁位 A 表示，这与静电场都可用静电位  表示是相同的。 ② 矢量磁位 A 是矢量，而 B A =  只规定了 A 的旋度，所以 A 的分布不是惟一的。 事实上，若令 A A  = + ，则有  =  = A A B  。为了确定矢量磁位 A 的分布，还 需给出 A 的散度。在恒定磁场中规定  = A 0 ，这个规定称为库仑规范。 ③ 在线性、各向同性的均匀介质中，在库仑规范的条件下，得到矢量磁位 A 满足泊 松方程 2  = − A J ，这与静电位  满足的泊松方程 2  = −    在形式上是相似的。矢量 磁位 A 满足的是矢量泊松方程，它可以写成三个标量方程 2 ( )  = − A J i i  1 2 3 ( , , ) i u u u = 。 但应注意， 2 ( )  A i 与 2  Ai 一般是不相同的，只有直角分量才有 2 2 ( )  =  A i i A ( , , ) i x y z = 。 ④ 一般情况下，矢量磁位 A 满足的微分方程比较复杂。因此，求解矢量磁位 A 往往 比求解电位  困难得多。但对一些特殊的电流分布，则可将 A 满足的矢量泊松方程化为标 量方程。 a . 电流沿 z 方向流动，即 z J e = J 。由  = J 0 ，可得   = J z 0 ，所以电流密度与 坐标变量 z 无关。若求解区域的界面是与 z 轴平行的柱面，则矢量磁位 A 也只有 z 方向的分 量，且与坐标变量 z 无关，即 A e = z A 。这时矢量磁位 A 满足二维标量泊松方程 2  = − A J  。 边界条件则为 A A 1 2 = ， 1 2 1 2 1 1 S A A J   n n   − =   在这种情况下， A 满足的方程和边界条件与静电位  是完全相似的。 b . 圆环形电流分布，即 J =  J e 。由  = J 0 ，可得   = J  0 ，所以电流密度与坐 标变量  无关。若求解区域的界面是圆柱面或球面，则矢量磁位 A 也只有  方向的分量， 且与坐标变量  无关，即 A e = A 。在这种情况下，矢量磁位 A 也满足二维标量泊松方程。 ⑤ 矢量磁位与静电位的公式对比如下：

静电位矢量磁位V.B=0VxE=0B=VxAE=-VpV?A=-Vp=-p/s[J(r)p(r)dt'A(r)=1dtp(r)=4元1-4元:/r-rA=A91 = 02-5.002=-Psnx(二V×A-二V×A)=JsGonan123.标量磁位在恒定磁场中，一般不能用一个标量函数来描述磁场。只有在无电流（J=0）的空间中，由于√×H=0，才能引入标量磁位β.来描述磁场。在教学中应明确应用标量磁位的条件、标量磁位满足的方程和边界条件，并应注意将标量磁位与静电位对比。①静电场中，电位的定义E=-V普遍适用，并且具有明确的物理意义，它与静电场能量有关。而标量磁位g的定义H=-Vpm只适用于不存在传导电流的区域，且。也没有明确的物理意义。引入标量磁位的目的在于使某些磁场问题的求解在数学运算上得以简化。②在恒定磁场中，P、Q两点之间的标量磁位之差也可由H的线积分计算9m(P)-Pm(O)=H·dl但是由于H的环路积分与路径所交链的电流有关，所以P、Q两点之间的标量磁位之差可能会与积分路径有关。由此可见，即使选定参考点后，P仍可能是多值的。只有规定积分路径不与电流交链，则H的线积分才与路径无关，可消除β，的多值性。③在恒定磁场中，标量磁位的边值问题与静电场中电位β的边值问题相似，可借用静电场的方法求解。差别在于没有自由磁荷与自由电荷相对应，因此在均匀磁化的磁介质中，满足拉普拉斯方程m=0°恒定磁场中有关标量磁位的公式与静电场中有关电位的公式列表对比如下：④

矢量磁位 静电位  = B 0  = E 0 B A =  E = − 2  = − A J 2  = −    ( ) ( ) d 4      =  −   J r A r r r 1 ( ) ( ) d 4       =  −   r r r r A A 1 2 =   1 2 = 1 2 1 2 1 1 ( ) S   n A A J    −   = 1 2 1 2 S n n        − = −   3．标量磁位 在恒定磁场中，一般不能用一个标量函数来描述磁场。只有在无电流（ J = 0 ）的空间 中，由于  = H 0 ，才能引入标量磁位  m 来描述磁场。在教学中应明确应用标量磁位的 条件、标量磁位满足的方程和边界条件，并应注意将标量磁位  m 与静电位  对比。 ① 静电场中，电位  的定义 E = − 普遍适用，并且  具有明确的物理意义，它与 静电场能量有关。而标量磁位  m 的定义 H = − m 只适用于不存在传导电流的区域，且  m 也没有明确的物理意义。引入标量磁位的目的在于使某些磁场问题的求解在数学运算上得以 简化。 ② 在恒定磁场中， P 、Q 两点之间的标量磁位之差也可由 H 的线积分计算 ( ) ( ) d Q m m P   P Q − =   H l 但是由于 H 的环路积分与路径所交链的电流有关，所以 P 、Q 两点之间的标量磁位之差可 能会与积分路径有关。由此可见，即使选定参考点后，  m 仍可能是多值的。只有规定积分 路径不与电流交链，则 H 的线积分才与路径无关，可消除  m 的多值性。 ③ 在恒定磁场中，标量磁位  m 的边值问题与静电场中电位  的边值问题相似，可借 用静电场的方法求解。差别在于没有自由磁荷与自由电荷相对应，因此在均匀磁化的磁介质 中，  m 满足拉普拉斯方程 2 0  =  m 。 ④ 恒定磁场中有关标量磁位的公式与静电场中有关电位的公式列表对比如下：

静电位标量磁位对偶量VxH=0VxE=0HαEE=-VpH=-VommV.B=0V.D=pVPm=-PmV=-(p+ Pp)/60PmPpMAPPm=-VMP,=-V.Pm=n(M,-M,),=n(P-P)0mH0pPml=m20, = (020m=u.C0m001-5,002--PsuA8onianon62on4.恒定磁场解题恒定磁场解题的主要问题包括：由已知电流分布求磁场：②由已知磁场求电流分布、磁化电流分布；③求电感、磁场能量和磁场力。①求解磁场分布主要有以下几种方法：α，直接应用磁场的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电流分布在空间某些特殊位置的磁场：b．应用安培环路定理求解磁场当磁场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称等）时，可应用安培环路定理求解磁场强度，且最为简单。对于某些非对称分布的磁场，若能将其表示为若干个对称分布的磁场的叠加，也能应用安培环路定理求解：当存在介质分界面时，有两种情况适宜用安培环路定理求解：一种情况是在介质分界面上，磁场平行于介质分界面，即磁场只有切向分量。这时H成对称分布，可直接应用安培环路定理求解；另一种情况是在介质分界面上，磁场垂直于分界面，即磁场只有法向分量。根据边界条件，这时应有B,=B,，但H,H,。也就是说，在这种情况下B成对称分布，而H不是对称分布的。应用安培环路定理求解这种问题的关键在于：将B,=B,=B、H,=B/μ和 H,=B,/μ代入ΦH-dI=I:.C

标量磁位 静电位 对偶量  = H 0  = E 0 H E  H = − m E = −   m   = B 0   = D  2  = −   m m 2 0 ( )  = − +     P   m p   m = − M  p = − P M P  2 1 ( )  m = − n M M 2 1 ( )  p = − n P P   m p    m m 1 2 =   1 2 = 1 2 1 2 m m n n       =   1 2 1 2 S n n        − = −      4．恒定磁场解题 恒定磁场解题的主要问题包括：①由已知电流分布求磁场；②由已知磁场求电流分布、 磁化电流分布；③求电感、磁场能量和磁场力。 ① 求解磁场分布主要有以下几种方法： a . 直接应用磁场的计算公式求解。这一方法主要用于计算一些比较简单的电流分布在 空间某些特殊位置的磁场； b . 应用安培环路定理求解磁场 当磁场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称等）时，可应用安培环路定理求 解磁场强度，且最为简单。 对于某些非对称分布的磁场，若能将其表示为若干个对称分布的磁场的叠加，也能应用 安培环路定理求解； 当存在介质分界面时，有两种情况适宜用安培环路定理求解：一种情况是在介质分界面 上，磁场平行于介质分界面，即磁场只有切向分量。这时 H 成对称分布，可直接应用安培 环路定理求解；另一种情况是在介质分界面上，磁场垂直于分界面，即磁场只有法向分量。 根据边界条件，这时应有 B B 1 2 = ，但 H H 1 2  。也就是说，在这种情况下 B 成对称分布， 而 H 不是对称分布的。应用安培环路定理求解这种问题的关键在于：将 B B B 1 2 = = 、 H B 1 1 1 =  和 H B 2 2 2 =  代入 d C = I  H l ；