二、试证明对函数y=px2+gx+r应用拉氏中值定理 时所求得的点总是位于区间的正中间 证明等式 arcsin√1-x2+ arctan 1-x22 (x∈(0,1)) 四、设>b>0,n>1,证明 nb(a-b)<a-b"<na"(a-b) 五、证明下列不等式: 1、 arctan a- arctan b≤a-b 2、当x>,ex>ec 六、证明方程x5+x-1=0只有一个正根 上页
二、试证明对函数y = px + qx + r 2 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式 1 2 arcsin 1 arctan 2 2 = − − + x x x ( x (0,1) ) . 四、设a b 0，n 1，证明 ( ) ( ) 1 1 nb a b a b na a b n n n n − − − − − . 五、证明下列不等式： 1、 arctana − arctanb a − b ； 2、当x 1时，e ex x . 六、证明方程 1 0 5 x + x − = 只有一个正根
七、设函数y=f(x)在x=0的某邻域内且有n阶导数, 且f(0)=f(0)=…=f(m-(0)试用柯西中值定理 证明:f(x)∫(ax),(0<0<1) n 上八设(在[a内上连续,在(a)内可导,若 0<a<b,则在(a,b)内存在一点ξ,使 g(b)-b(a)=f(24)-()(a-b) 工工工 上页
七、设函数 y = f (x) 在 x = 0 的某邻域内且有 n 阶导数， 且 (0) (0) (0) ( −1) = = = n f f f 试用柯西中值定理 证明： ! ( ) ( ) ( ) n f x x f x n n = ，（0 1）. 八、设 f (x)在[a,b]内上连续，在(a,b)内可导，若 0 a b,则在(a,b)内存在一点 ，使 af (b) − bf (a) = [ f ( ) −f ( )](a − b)]
王一。型及型未定式解法洛必达法则 0 王定义如果当→m(或→四时两个函数(x) 与F(x)都趋于零或都趋于无穷大那末极限 imf(x)称为或”型未定式 工工工 x→aF(x) (x→>∞) an In sin ax oo 例如,im lim x→>0y 0 x→>0 In sin bx 上页
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) , ( ) , ( ) ( ) 称 为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那末极限 如果当 或 时 两个函数 → → → → F x f x F x x a x f x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
王 王定理设1)当x→时函数(x)及F(x都趋于零 (2)在a点的某领域内点a本身可以除外,r(x) 及F(x)都存在且F(x)≠0; 王(3)im f(x) 存在(或为无穷大); xaF(c) 那末im f()=lim f(x) 工工工 x→aF(x)x→nF(x) 正义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 当x→∞时,以及x→a,x→∞时,该法则仍然成立 上页 圆
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) ( ) 0; (2) ( ), ( ) (1) 0 , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x F x a a f x x f x F x x a x a x a = → → → → 那 末 存 在 或为无穷大 及 都存在且 在 点的某领域内点 本身可以除外 定理 设 当 时 函 数 及 都趋于零 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 当x → 时,以及x → a, x → 时,该法则仍然成立
证定义辅助函数 f1(x)= ∫f(x),x≠a F1(x)= F(x),x≠a 0,x=a 0. r= a 在U(a,)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f1(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x)f(x)-f(a)f(s) F(x)F(x)-F(a)F(5(在x与a之间) 生当→a时→a=mr(=,:mr(2=A lim f(x)lim/(5=4 x-a F(x) 5aF'(5) 上页
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →