上例4设函数(x)在0让连续,在(0,n可导证明: 王至少存在一点5∈(0,使(5)=2/()-f0 证分析:结论可变形为 f(1)-f(0)f(2)∫(x) 设g(x)=x2 1-0 2ξ(x2) 则∫(x),g(x)在0,1满足柯西中值定理的条件 ∴在(0,1至少存在一点ξ,有 f(1)-f(0)∫(8)即f(5)=2f(1)-f(0) 1-0 25 上页
例4 (0,1), ( ) 2 [ (1) (0)]. ( ) [0,1] , (0,1) , : f f f f x 至少存在一点 使 = − 设函数 在 上连续 在 内可导 证 明 证 分析: 结论可变形为 = − − 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f . ( ) ( ) 2 = = x x f x ( ) , 2 设 g x = x 则 f (x), g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件, 在(0,1)内至少存在一点,有 = − − 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f 即 f () = 2[ f (1) − f (0)]
生四、小结 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系; T Rolle v(=f6) Lagrange F()=x Cauchy 定理 中值定理 中值定理 注意定理成立的条件; 牛注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤 上页
四、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤
思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可 上页
思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可
思考题解答 x2,0≤x<1 f1(x)= 3,x=1 不满足在闭区间上连续的条件; f2(x)=,x∈[,b且ab<0 不满足在开区间内可微的条件; 以上两个都可说明问题 上页
思考题解答 = = 3, 1 , 0 1 ( ) 2 1 x x x f x 不满足在闭区间上连续的条件； , [ , ] 1 ( ) 2 x a b x f x = 且 ab 0 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题
练习题 填空题: 1、函数f(x)=x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理,则!= 2、设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),方程 f∫(x)=0有 个根,它们分别在区间 午3、罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是 4、徼分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 与函数在这区间内某点处的 之 的关系. 5、如果函数f(x)在区间/上的导数 间那 么f(x)在区间I上是一个常数 上页
一、 填空题： 1、函数 4 f (x) = x 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、设 f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) ， 方 程 f (x) = 0有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f (x)在区间I 上的导数__________，那 么 f (x)在区间I上是一个常数. 练 习 题