例2证明 arcsin x+ arccos=(-1≤x≤1 2 证设f(x)= arcsin x+ arccos x,x∈[-1, ∴∫(x)= +2+(1 )=0 f∫(x)≡C,x∈-1,1 又∵:f(0) 兀兀 =arcsin+arccos=0+-= 22 即 C= 2 arcsinx+ arccos= 2 上页
例 2 ( 1 1). 2 arcsin arccos − 证明 x + x = x 证 设 f (x) = arcsin x + arccos x, x [−1,1] ) 1 1 ( 1 1 ( ) 2 2 x x f x − + − − = = 0. f (x) C, x [−1,1] 又 f (0) = arcsin0 + arccos0 2 0 = + , 2 = . 2 即C = . 2 arcsin arccos x + x =
王例证明当x>时, <In(1+x)<x 1+x 证设∫(x)=ln(1+x) 王f(x)在x上满足拉氏定理的条件 f(x)-f(0)=f(2)(x-0),(0<ξ<x) f(0)=0,∫'(x)= 1+x,由上式得n(1+x)= 1+ξ 又0<ξ<x→1<1+ξ<1+x→1+x1+5N < < <X 1+x1+ξ 即 1+x <In(1+x)<x 上页
例3 ln(1 ) . 1 0 , x x x x x + + 证明当 时 证 设 f (x) = ln(1+ x), f (x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件, f (x) − f (0) = f ()(x − 0),(0 x) , 1 1 (0) 0, ( ) x f f x + = = 由上式得 , 1 ln(1 ) + + = x x 又0 x 1 1+ 1+ x 1, 1 1 1 1 + + x , 1 1 x x x x + + ln(1 ) . 1 x x x x + + 即
生三、柯西( Cauchy中值定理 柯西( auchy)中值定理如果函数f(x)及F(x) 在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x) 在(a,b)内每一点处均不为零,那末在(a,b)内至少 工工工 有一点(<号<b),使等式 f(a)-f(b)f(2)成立 F(a)-F(b)F(9) 上页
三、柯西(Cauchy)中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数f (x) 及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少 有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' = − − F f F a F b f a f b 成立
几何解释: X=F c在曲线孤AB上至少有 r=f(r) M B 一点C(F(2),∫(2),在 该点处的切线平行于 D c弦AB 0F(a)F(51)F(x) F(S,Fb r 证作辅助函数 cp(x)=f(x)-f(a) f(b)-∫(a) F(b-F(a F(x)-F(a. 工工 cg(x)满足罗尔定理的条件 则在(a,b)至少存在一点ξ,使得φ'(2)=0 王页下
几何解释: ( ) 1 F ( ) 2 o F x y = = ( ) ( ) Y f x X F x F(a) A F(b) B C D F(x) N M . ( ( ), ( )), AB C F f AB 弦 该点处的切线平行于 一点 在 在曲线弧 上至少有 证 作辅助函数 [ ( ) ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a F b F a f b f a x f x f a − − − = − − (x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 () = 0
则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得φ'(2)=0 即∫( f(b)-f(a).F'(2)=0, F(b-F(a ∫(b)-f(a)_f(5) Fb-F(a F( HF(x)=x, F(6)-F(a=b-a, F'(x)=1, 上f0)-f0)=f()f(b)(=r( F(b)-F(a)F'(号) b-a 上页
( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − F F b F a f b f a 即 f . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − F f F b F a f b f a 则在(a,b)内至少存在一点,使得 () = 0. 当 F(x) = x, F(b) − F(a) = b − a, F(x) = 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − F f F b F a f b f a ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a