例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根 证设∫(x)=x53-5x+1,则f(x)在0,连续, 且f(0)=1,f(1)=-3. 由介值定理 日xo∈(0,1),使∫(x0)=0.即为方程的小于1的正实根 c设另有x∈(0D,x≠x,使fx)=0 f(x)在x,x1之间满足罗尔定理的条件, ∴至少存在一个5(在xnx之间,使得f()=0 但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾,∴为唯一实根 圆[回 上页
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
生三、拉格朗日 Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange,)中值定理如果函数x)在 (2 闭区间a,b上连续在开区间a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 工工工 f(b)-f(a)=f(2)b-a)成立 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=∫(b) 结论亦可写成f)-fa =f(2) b-a 上页
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. (1) (2) 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成
几何解释: y=∫(x) B 在曲线弧AB上至少有 一点C,在该点处的切 D 上线平行于弦A 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b 工工工 弦AB方程为y=f(a)+ f(b)-∫(a X-a b-a c曲线∫(x)减去弦AB, 所得曲线n,b两端点的函数值相等 上页
o a 1 x 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等
作辅助函数 F(x)=∫(x)-[f(a)+ f(b)-∫(a) B_a(x-a) F(x)满足罗尔定理的条件 则在ab内至少存在一点使得P()=0 工工工 即f(5)~J(b)-f(0=0 b-a 拉格朗日中值公式 或f(b)-f(a)=f()(b-a) 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a 即 f 或 f (b) − f (a) = f ()(b − a). 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
设f(x)在在(a,b)内可导,x0,x0+△x∈(a,b,则有 ∫(x0+△x)-∫(x)=f'(x+Ax)△x(0<6<1) 也可写成Ay=f(x+0△x)△x(0<6<1) 增量Ay的精确表达式 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理 推论如果函数∫(x)在区间I上的导数恒为零, 那末∫(x)在区间I上是一个常数 上页
设 f (x)在 在(a,b)内可导, ( ) ( ) ( ) (0 1). f x0 + x − f x0 = f x0 + x x x0 , x0 + x (a,b), 则有 ( ) (0 1). 也可写成y = f x0 + x x 增量y的精确表达式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理 推论 ( ) . ( ) , 那 末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I