2013年中国力学大会：基于几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论研究膜的有限变形振动

动量距守恒 ∑x(pa)do d t ∑x(pV)d+×(-p)T×nd+2×(rxn):(vsv+vsv)d +∑x(6n)d+l∑ x fur do+/Mde 式中M表示面力偶。 微分形式:g2·(Vs+V8V)×91=M∈R3 T 分量形式:「2a3k a2l +isvs Mk∈R一→仅涉及运动及外力偶在切平面上的平衡 (-p)g×g1do 曲面应力t=tg28g+ tigon to 则动量矩守恒具有以下形式 V g(tx gn)=my =-tEig3ny vg( 92+t3g2) 曲面应力表示的 动量矩守恒推论 a÷÷av)4Bn,/va÷)1xdn 曲面应力张量其在切平面上的分量具有对称性(t=t),充分必要于法向面力偶 分量为零(m=0)。曲面应力张量其在法向具有非零分量(t3≠0),充分必要于 面力偶在切平面具有非零分量(m≠0)

微分形式： 分量形式： 曲面应力表示的 动量矩守恒推论 动量距守恒

/能量守恒微分方程 限 控 制 方 (当 +e)=V.(t,V)+Hn·t·V+f·V+q+ KVT 程 于一般运动曲面上的连续介质的有限变形 动能微分方程 d(vI dt dt( 2 +Hn·tV+f 内能微分方程 +q+ VT)=t:(VsV)+q+V·(VT 理将曲面应力分解为t=(-p)I+t 黏性应力 论 d=(7-p)(0-BV3)+t.:(VaH)+g+V·(vT dt 耗散函数

限制于一般运动曲面上的连续介质的有限变形理论 —— 控制方程 能量守恒微分方程 动能微分方程 内能微分方程

典型运动事例—膜的有限变形运动 控制方程 运动刻画:x=x(,1)=2∈R2会=2(x,1)=(52) 亦即 Euler参数坐标为 Lagrange参数坐标的恒等映照 we=p06/ro Re=pU he(y-P)H+m△P e +58VVV3+3bV V+v63V-2bisbis V R ∑ We ax Re g g aV3 +VVS+KV

    3 2 2 3 3 1 1 , , 1 3 2 ij ij j s js i j i j j s js n x t p H P t We We g V b V b V b b V Re                                                   1 , , , 0 i s i s x t x x t g V x t t x x g                               1 2 2 x x t,                  运动刻画： 亦即Euler参数坐标为Lagrange参数坐标的恒等映照。 V x t t  , ,    t t                3 2 2 3 3 1 1 , , 2 3 ij ij l i j l i jl l j t s l j s t l s l s G l p g x t g V g b V t We x Re V b b V b V K V x                                                       典型运动事例 —— 膜的有限变形运动 控制方程 2 0 0 0 We U   / 0 0 0 0 Re U    /

典型运动事例一膜的轴对称有限变形运动 在小振动方程中引入密度关于半径的函数 (G.R. Buchanan Journal of Sound and Vibration 2005, Vo1280 407-414) P= Po[l +r(r/a)cos 0 1/aw 1 aw paw r2002 S at2 大变形情形、但不考虑密度变化 (Zheng Zhou-Lian Mathematical Problems in Engineering 2009 ID634362) a2. a2 十 十 0 ay2 1a2N2 12O H1 aNx 1 a2N 1 a-N a-w aw Enh ay2 E2h ay2 Eth ax2 E2h ax2 Gh Oxy \ axay

典型运动事例 —— 膜的轴对称有限变形运动 在小振动方程中引入密度关于半径的函数 (G.R. Buchanan Journal of Sound and Vibration 2005, Vol280, 407–414) 大变形情形、但不考虑密度变化 （Zheng Zhou-Lian Mathematical Problems in Engineering 2009, ID 634362）

典型运动事例 膜的轴对称有限变形运动 控 (r,)=p 制 p(小(9(- 方 程02.2()=p(0):(0)=-19(ca We a 28(x)=0=-19 a2∑z We a0 (r,O,) r,ttp. at 8 *oe vg V( )-HVi g 参数选 We=PU6/ro=10 择初始条件:z(r.0)=4Cos(zr/2R)R=50 工况选择A=0.5,1.0,2.5,5.0,7.5,10.0,12.5,15.0,17.5,20.0

典型运动事例 —— 膜的轴对称有限变形运动 参 数 选 择 工况选择 A=0.5, 1.0, 2.5, 5.0, 7.5, 10.0, 12.5, 15.0，17.5, 20.0 控 制 方 程           3 2 2 2 , 1 , , 1 , , 1 , tt r z r t n r t p r t H r t t We z r t                             3 2 2 1 , , , , , , r tt r p g r t z r t z r t r t t We r                        3 2 2 1 , , 0 , , p g r t r t t We                        1 , , 0 r n r t g V g V r t H V t r g                                                        p z  2 4 0 0 0 We U / 10   初始条件： z( ,0) cos r A   r / 2R R  50