概念累次积分换元三重积分的累次积分10.3.2定理6设f(,,z)在=I1×I2×I（I=[ai,bil,=1,2,3)上可积1°如果对每个（y,z)EI2×I3,f(c,,z是I上关于的可积函数，则积分py)=bf(a,)da定义了关于变量yz)在Iz×I上的可积函数，并有bf(c, y, z)dcdydz.dydzf(cy,z)da=p(y,z)dydzJaiI2×I3I2xI32°同理，如果对每个aE[aibilf(c,y,z是I×I上关于（y,z）的可积函数，则(a)=rf(a,y，z)dy是关于a在[ai,bi]上的可积函数，并有12×13pbib1f(c, y, z)dydz =daf(a, y, z)dadydz.(α)da =JaialI2×13V返回全屏 关闭退出6/25
Vg \gÈ© 10.3.2 nÈ©\gÈ© ½n 6 f(x, y, z) 3 V = I1 × I2 × I3 (Ii = [ai, bi ], i = 1, 2, 3) þ È. 1 ◦ XJéz (y, z) ∈ I2 × I3, f(x, y, z) ´ I1 þ'u x ȼê, K È© ϕ(y, z) = R b1 a1 f(x, y, z)dx ½Â 'uCþ (y, z) 3 I2 × I3 þÈ ¼ê, ¿k ZZ I2×I3 ϕ(y, z)dydz = ZZ I2×I3 dydz Z b1 a1 f(x, y, z)dx = ZZZ V f(x, y, z)dxdydz. 2 ◦ Ón, XJéz x ∈ [a1, b1], f(x, y, z) ´ I2 × I3 þ'u (y, z) ȼê, K ψ(x) = RR I2×I3 f(x, y, z)dy ´'u x 3 [a1, b1] þȼê, ¿k Z b1 a1 ψ(x)dx = Z b1 a1 dx ZZ I2×I3 f(x, y, z)dydz = ZZZ V f(x, y, z)dxdydz. 6/25 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
概念累次积分换元定理7（累次积分，先一后二）设VCR3是有体积的有界集，f是V上连续函数.设 V在 ay平面上的垂直投影为 D,且当（α,y) E D 时,过这一点且垂直于 acy平面的直线与 V交成一个区间[pi(c,y),P2(ac,y)],那么有42(a,y)fdaf(a,y,z)dz.(10.2)dadyDJpi(a,y)p2(a,y)pi(a,y)y(a,y)返回全屏关闭退出?7/25
Vg \gÈ© ½n 7 (\gÈ©, k) V ⊂ R3 ´kNÈk.8, f ´ V þë Y¼ê. V 3 xy ²¡þRÝK D, (x, y) ∈ D , Lù : Ru xy ²¡ V ¤«m [ϕ1(x, y), ϕ2(x, y)], @ok Z V fdσ = ZZ D dxdy Z ϕ2(x,y) ϕ1(x,y) f(x, y, z)dz. (10.2) O x y z D V (x, y) ϕ1(x, y) ϕ2(x, y) 7/25 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
概念累次积分换元证明因为f在V上连续，所以f在V上可积.作三维区间I=I×Iz×IV,其中II2和I都是R中的闭区间.则fv在I上可积.且fda =fvdo.当 (α,y) E D 时, 函数 f(αc,y,) 在区间[pi(α,y),2(c,y)] 上连续,从而是可积的.因此(p2(c,y)fv(α, y, z)dz =f(α, y, z)dz,pi(a,y)由于当 (ac,y) @ D 时, fv(α, y,z) = 0,这时 J, f(ac,y,z)dz = 0. 因此fd =dadyfv(c, y, z)dzfvdo13IixI21p2(a,y)drdyf(c, y, z)dz.pi(t,y)D返回全屏关闭退出I8/25
Vg \gÈ© y² Ï f 3 V þëY, ¤± f 3 V þÈ. n«m I = I1 × I2 × I3 ⊃ V, Ù¥ I1, I2 Ú I3 Ñ´ R ¥4«m. K fV 3 I þÈ, Z V fdσ = Z I fV dσ. (x, y) ∈ D , ¼ê f(x, y, ·) 3«m [ϕ1(x, y), ϕ2(x, y)] þëY, l ´ È. Ïd Z I3 fV (x, y, z)dz = Z ϕ2(x,y) ϕ1(x,y) f(x, y, z)dz, du (x, y) 6∈ D , fV (x, y, z) = 0, ù R I3 f(x, y, z)dz = 0. Ïd Z V fdσ = Z I fV dσ = ZZ I1×I2 dxdy Z I3 fV (x, y, z)dz = ZZ D dxdy Z ϕ2(x,y) ϕ1(x,y) f(x, y, z)dz. 8/25 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
概念累次积分换元定理8（累次积分.先二后一）设VCR3是有体积的有界集.f是V上连续函数.设 V 在 z轴上的投影为区间[c,d] 且当 z E [c,d] 时,过这一点且垂直于z轴的平面与V交成的图形在&y平面上的投影为D，那么有(10.3)f(c, y, z)dcdy.fdadzJD返回全屏关闭退出19/25
Vg \gÈ© ½n 8 (\gÈ©, k) V ⊂ R3 ´kNÈk.8, f ´ V þë Y¼ê. V 3 z ¶þÝK«m [c, d] z ∈ [c, d] , Lù: Ru z ¶²¡ V ¤ã/3 xy ²¡þÝK Dz, @ok Z V fdσ = Z d c dz ZZ Dz f(x, y, z)dxdy. (10.3) O x y z c d z V Dz 9/25 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ