多元函数极限无穷小连续性$9.2多元函数及其连续性多元函数，向量值函数9.2.1函数就是量与量之间的一种关系（或一种对应）.可以将函数看成是映射1°映射设有两个集合X，Y，及一个规则f.若任意给定X中一个元素c都可以按照规则 f,找到Y中唯一确定的元素 y(记成 = f(α))与 α对应则称f 是 X到Y的一个映射,记成f: X→Y.y称为是α在f下的像，α称为y的原像.记f(X) = (f(α)/ E X)称为X的像集.显然，f(X）CY返回全屏关闭退出II1/15
õ¼ê 4 á ëY5 §9.2 õ¼ê9ÙëY5 9.2.1 õ¼ê, þ¼ê ¼êÒ´þþm«'X (½«éA). ±ò¼êw¤´N. 1 ◦ N kü8Ü X, Y, 95K f. e?¿½ X ¥ x, ѱUì5K f, é Y ¥(½ y (P¤ y = f(x)) x éA, K¡ f ´ X Y N, P¤ f : X → Y. y ¡´ x 3 f e, x ¡ y . P f(X) = {f(x)| x ∈ X} ¡ X 8. w, f(X) ⊂ Y. 1/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
多元函数极限无穷小连续性如果映射是一个单射，即，一个像只有一个原像，那么可以定义一个从f(X) 到 X 的映射:f-1 : f(X) → X.它的映射规则 f-1 是:任给 y E f(X), 必有唯一 E X 使 y = f(α). 这个 α就是 y在 f-1 下的象. 即是说如果 y = f(α),则 α = f-l(y).这时称 f 为可逆映射，f-1称为f的逆映射.它相当于一元函数的反函数f返回全屏关闭退出2/15
õ¼ê 4 á ëY5 XJN´ü, =, k, @o±½Âl f(X) X Nµ f −1 : f(X) → X. §N5K f −1 ´: ? y ∈ f(X), 7k x ∈ X ¦ y = f(x). ù x Ò´ y 3 f −1 e. =´`XJ y = f(x), K x = f −1 (y). ù¡ f _N, f −1 ¡ f _N. §u¼ê¼ê. X Y f 2/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
极限多元函数无穷小连续性2°多元函数设DCRn则从D到实数集R的映射f：DR称为一个n元函数因为Rn中的点有坐标（α1,a2，·.·&n)，所以可以写成z=f(ci,·.·,an).因为 Rn 的点对应一个 n维向量=aiéi +.·+anen所以多元函数是向量到数量的一个映射（对应关系)，这里éi，.：，én为Rn的坐标向量特别，当n=2时，就是二元函数(a,y) E D C R2.z = f(c,y),把 z所在的数轴的原点与（α,y)平面 R2的原点放在一起，并垂直于平面，这样我们就有了一个三维空间，而点集E = {(c,y, f(c, y))l (α,y) E D)就是一张空间曲面.这张曲面也可看成有三个自由度的三维空间中的点(c,y,z)受到一个约束 z= f(α,y) 所形成的返回全屏关闭退出3/15
õ¼ê 4 á ëY5 2 ◦ õ¼ê D ⊂ Rn. Kl D ¢ê8 R N f : D → R ¡ n ¼ê. Ï Rn ¥:kI (x1, x2, · · · xn), ¤±±¤ z = f(x1, · · · , xn). Ï Rn :éA n þ ~x = x1~e1 + · · · + xn~en, ¤±õ¼ê´þêþN (éA'X), ùp ~e1, · · · , ~en Rn Iþ. AO, n = 2 , Ò´¼ê z = f(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R 2 . r z ¤3ê¶: (x, y) ²¡ R2 :3å, ¿Ru²¡, ù·Ò k nm, :8 E = {(x, y, f(x, y))| (x, y) ∈ D} Ò´Üm¡. ùÜ¡w¤kn gdÝnm¥: (x, y, z) É å z = f(x, y) ¤/¤. x y z D E 3/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
极限多元函数无穷小连续性3°向量值函数向量值函数是一个从 n 维空间 Rn 到 m维空间 Rm 的映射f: D→Rm, DCRn即a = aiei +... + anen → y= f(a) = yiei +... + ymem或者记为(c1, a2, ..· , an) → (y1, y2, ... , Ym),这里Yi = fi(a1,... , an),Ym = fm(a1,... ,&n)都是 n元函数,yi称为向量值函数的第 i个分量函数.当 m = n时向量值函数也可称为变换返回全屏关闭退出I4/15
õ¼ê 4 á ëY5 3 ◦ þ¼ê þ¼ê´l n m Rn m m Rm N f~ : D → R m, D ⊂ R n = ~x = x1~e1 + · · · + xn~en 7−→ ~y = f~(~x) = y1~e1 + · · · + ym~em ½öP (x1, x2, · · · , xn) 7−→ (y1, y2, · · · , ym), ùp y1 = f1(x1, · · · , xn), · · · ym = fm(x1, · · · , xn) Ñ´ n ¼ê, yi ¡þ¼ê1 i ©þ¼ê. m = n , þ ¼ê¡C. 4/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
极限无穷小多元函数连续性如果分量函数都是线性的，即Yi = a11ai + a12a2 +..: + ainCnsy2 = a211 +a22C2 +.++ a2nang.....Ym = am11+ am22 +...+amnCn其中αii都是常数，则映射是线性的a11 a122...aina21 a22 ..a2nA = (aij)mxn =:(aml am2:.. amn)就是线性映射的矩阵．记a=（a1,a2,··，an)T,y=(y1,y2，··，ym)T，（这里T表示转置），则线性映射可以简单表为y = Ar.返回全屏关闭退出-5/15
õ¼ê 4 á ëY5 XJ©þ¼êÑ´5, =, y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn, y2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn, · · · · · · ym = am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn, Ù¥ aij Ñ´~ê, KN´5, A = (aij)m×n = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn Ò´5NÝ . P x = (x1, x2, · · · , xn) T , y = (y1, y2, · · · , ym) T , (ù p T L«=), K5N±{üL y = Ax. 5/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ