3.设A是n阶实对称矩阵秩(4)=n,A是4中元素a的代数余子式,记x=(x1,x2,…,xn),设二次 型f(x)= (1)写出二次型f(x)的矩阵形式,并求该二次型的矩阵 (2)二次型g(x)=xAx二与f(x)的规范型是否相同?说明理由.(2015年北京工业大学) 4.已知二次型f(x1,x2,x3)=+3n2+3x3+2ax2x3(其中a>0)经过正交替换X=TY化为标准 型f(v,y2,)=2+v+5 (1)求参数a及所用的正交替换X=TY; (2)求在条件x2+x2+3=1下f的最大值.(2018年北京工业大学) 5.二次型f(Xx)=f(x1,x2,x3)=1+n2+3-4x1x2-4x1x3+2ax2x3经过正交变换化为标准型f 3v2+3v2+by2 (1)求ab及所用的正交变换矩阵 (2)若XTX=2,求f的最大值.(2009年北京交通大学) 6.求以下二次型的矩阵 2011年北京交通大学 7.用正交线性替换化下面二次型为标准型: x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3 (2012年北京交通大 s.用正交线性替换化f=21x2+2m3x1为标准型,(2013年北京交通大学) f(x1,x2,x3)=r+n++2r1x2+2ax1x3+2Br2x3 经过正交变换后可化为标准型(,mm)=的+2层,求,风并求出该正交变换(20年北京交通 大学 10.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x1+(1-a)2+2x3+2(1+a)x1x2的秩为2 (1)求a的值 (2)求正交变换X=QY把f(x1,x2,x3)化成标准型.(2016年北京交通大学) 1.已知二次型XAX经正交变换化为2--3,又已知Aa=a其中a=(1,1,-1),A·为A的伴 随矩阵,求此二次型的表达式.(2017年北京交通大学)
3. A¥n ¢È°› , ù(A) = n, Aij¥|A|•ÉaijìÍ{f™, Px = (x1, x2, · · · , xn) 0 , g .f(x) = 1 |A| Pn i=1 Pn j=1 Aijxixj . (1)—g.f(x)› /™, ø¶Tg.› . (2)g.g(x) = x 0 AxÜf(x)5â.¥ƒÉ”? `²nd. (2015cÆÛíåÆ) 4. Æg.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 3x 2 2 + 3x 2 3 + 2ax2x3(Ÿ•a > 0) ²LOÜX = T Y zèIO .f(y1, y2, y3) = y 2 1 + y 2 2 + 5y 2 3 . (1)¶ÎÍa9§^OÜX = T Y ; (2)¶3^áx 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1efÅåä. (2018cÆÛíåÆ) 5. g.f(X) = f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 4x1x3 + 2ax2x3 ²LCÜzèIO.f = 3y 2 1 + 3y 2 2 + by2 3 . (1)¶a,b9§^CÜ› ; (2)eXT X = 2, ¶fÅåä. (2009cÆœåÆ) 6. ¶±eg.› : f(x1, · · · , xn) = Pm i=1 (ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn) 2 . (2011cÆœåÆ) 7. ^Ç5OÜze°g.èIO.: x 2 1 + 2x 2 2 + 3x 2 3 − 4x1x2 − 4x2x3. (2012cÆœåÆ) 8. ^Ç5OÜzf = 2x1x2 + 2x3x4èIO.. (2013cÆœåÆ) 9. eg. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + 2αx1x3 + 2βx2x3 ²LCÜåzèIO.f(y1, y2, y3) = y 2 2 + 2y 2 3 , ¶α, β, ø¶—TCÜ. (2014cÆœ åÆ) 10. Æg.f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2 ùè2. (1)¶aä. (2)¶CÜX = QY rf(x1, x2, x3)z§IO.. (2016 cÆœåÆ) 11. Æg.XT AX²CÜzè2y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 , qÆA∗α = αŸ•α = (1, 1, −1)T , A∗ èA ä ë› , ¶dg.Là™. (2017cÆœåÆ) 6 厦门大学《高等代数》
1设>阶实方阵A=|x (1)求矩阵An的秩 (2)矩阵An何时是正定的?(2011年北京科技大学) 13.设二次型f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cr3-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2 (1)求参数c使得该二次型的秩等于2 (2)写出该二次型的矩阵A (3)求一个正交矩阵P和一个对角矩阵A使得P-1AP=A; (4)求一个非退化线性替换x=Cvy把该二次型化为标准形.(2012年北京科技大学) 14.设实对称矩阵A -3-1-33 (1)求可逆矩阵T,使得TA成对角矩阵,并写出该对角矩阵 (2)求一个非退化线性替换把二次型f(x)=xAx化为标准形.(2013年北京科技大学 15.已知f(x1,x2,x3)=2+2n2+2n3+2x1x2+2x1x3+2x2x3 (1)写出二次对应的矩阵; (2)用正交变换将二次型化为标准形,并写出对应的正交变换.(2016年北京科技大学) 16.求一正交变换x=Q将二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准型,并写出相应的的标 准型.(2012年大连理工大学) 17.设二次型f(x1,x2,…,xn)=∑x2+∑x1x (1)判断二次型f(x1,x2,…,xn)的正定性 (2)用正交线性替换把二次型f(x1,x2,x3)=+n2+3+x1x2+x1x3+x2x3化为标准型.(2018年 大连理工大学) 18.设A为n阶实对称矩阵,b=(b1,b2…,bn)为n维实的列向量,证明 (1)若A>0,则A-1>0,这里A>0表示A为正定矩阵 (2)若A-b>0,则A>0且bA-1b<1.(20年湖南大学) 19.用正交线性替换化二次型 ∫(x)=-r1+2r2+2r3+4x1x2-4x1x3-8x2x3 7
12. n > 1 ¢ê An = x a a · · · a a x a · · · a a a x · · · a . . . . . . . . . . . . . . . a a a · · · x (1)¶› Anù; (2)› An¤û¥½? (2011cÆâEåÆ) 13. g.f(x1, x2, x3) = 5x 2 1 + 5x 2 2 + cx2 3 − 2x1x2 + 6x1x3 − 6x2x3 ùè2 (1)¶ÎÍc¶Tg.ù u2; (2)—Tg.› A; (3)¶òá› P⁄òáÈ› Λ¶P −1AP = Λ; (4)¶òáöÚzÇ5OÜx = CyrTg.zèIO/. (2012cÆâEåÆ) 14. ¢È°› A = −1 −3 3 −3 −3 −1 −3 3 3 −3 −1 −3 −3 3 −3 −1 , (1)¶å_› T, ¶T 0 AT§È› , ø—TÈ› ; (2)¶òáöÚzÇ5OÜrg.f(x) = x 0 AxzèIO/. (2013cÆâEåÆ) 15. Æf(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3. (1)—gÈA› ; (2)^CÜÚg.zèIO/, ø—ÈACÜ. (2016 cÆâEåÆ) 16. ¶òCÜx = QyÚg.f(x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 zèIO., ø—ÉAI O.. (2012cåÎnÛåÆ) 17. g.f(x1, x2, · · · , xn) = Pn i=1 x 2 i + P 1≤i≤j x1xj . (1)‰g.f(x1, x2, · · · , xn)½5; (2)^Ç5OÜrg.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x1x2 + x1x3 + x2x3 zèIO.. (2018c åÎnÛåÆ) 18. Aèn ¢È°› , b = (b1, b2, · · · , bn) 0èn ë¢ï˛, y²: (1)eA > 0, KA−1 > 0, ˘pA > 0L´Aè½› ; (2)eA − bb0 > 0, KA > 0Öb 0 A−1 b < 1. (2011c HåÆ) 19. ^Ç5OÜzg. f(x) = −x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 + 4x1x2 − 4x1x3 − 8x2x3. 7 厦门大学《高等代数》
为标准型,求出相应的正交变换矩阵T.(2013年湖南大学 20.设二次型f(x1,x2)=ar1+2bx1x2+cn2,求二次型 0 的矩阵并证明,x)是正定的当且仅当x2)是定的(20年湖师大学 1.设A=(an)nxn是实对称矩阵,证明:二次型 x1a11a12 f(ar En an1 an2 的矩阵是A的伴随矩阵A·.(2009年湖南师范大学) 2.设n(n≥3)元实二次型 ∫(x1,x2,……,xn) +x1x3+ lIn+I2I3 (1)当n=3时,用非退化线性替换化f(x1,x2,…,xn)为规范型 (2)当n>3时,用非退化线性替换化f(x1,x2…,xn)为规范型.(2013年湖南师范大学) 3.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=(1+t)r2+2n2+(1+t)x3+x1x2+2(1-t)x1x3 的秩为 (1)求t的值 (2)求正交线性替换,使二次型f(x1,x2,x3)为标准型.(2016年湖南师范大学) 24.设4元二次型 f(x1,x2,x3,x4)=2∑x2-2(x1x2+x2x3+x3x4+x4x1) i=1 试用正交线性替换化二次型为标准型,并求它的正、负惯性指数以及符号差.(2009年华东师范大学) ∫(x1;,x2,…,xn)=∑∑aj工;
èIO., ¶—ÉACÜ› T. (2013c HåÆ) 20. g.f(x1, x2) = ax2 1 + 2bx1x2 + cx2 2 , ¶g. g(x1, x2) = 0 x1 x2 −x1 a b −x2 b c › , øy²f(x1, x2)¥½Ö=g(x1, x2)¥½. (2009c HìâåÆ) 21. A = (aij )n×n¥¢È°› , y²: g. f(x1, x2, · · · , xn) = 0 x1 x2 · · · xn x1 a11 a12 · · · a1n x2 a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . xn an1 an2 · · · ann › ¥Aäë› A∗ . (2009c HìâåÆ) 22. n(n ≥ 3)¢g. f(x1, x2, · · · , xn) = x1x2 + x1x3 + · · · + x1xn + x2x3. (1)n = 3û, ^öÚzÇ5OÜzf(x1, x2, · · · , xn) è5â.; (2)n > 3û, ^öÚzÇ5OÜzf(x1, x2, · · · , xn) è5â.. (2013c HìâåÆ) 23. Æ¢g. f(x1, x2, x3) = (1 + t)x 2 1 + 2x 2 2 + (1 + t)x 2 3 + x1x2 + 2(1 − t)x1x3 ùè2. (1)¶tä; (2)¶Ç5OÜ, ¶g.f(x1, x2, x3)èIO.. (2016c HìâåÆ) 24. 4g. f(x1, x2, x3, x4) = 2 P 4 i=1 x 2 i − 2(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1) £^Ç5OÜzg.èIO., ø¶ß!K.5çͱ9Œ“ . (2009cu¿ìâåÆ) 25. f(x1, x2, · · · , xn) = Pn i=1 Pn j=1 aijxixj 8 厦门大学《高等代数》
是一个实二次型,其中A=(a1)是实对称矩阵.将二次型看作n元实函数,用代数的方法确定它在 S={X=(x1,x2,…,xn)∈R叫++…+x2=1} 上的取值范围.(2011年华东师范大学) 6.用正交替换化下列二次型为标准 22+4x1x2-4x1x3+5x2-8x2x3+5x3(2013年华东师范大学) 27.设A∈Mn(C)是半正定矩阵,且存在整数m>1,使得Am=En,求A 若将上述“半正定”的条件改为“半负定”,你能得出什么结论?.(2014年华东师范大学 28.已知二次型 f(x1,x2,x3)=2r2+2+3n3+2Ax1x2+2r1x3 正定,求的取值范围.(2017年华东师范大学) 9.设二次型 f(x1,x2,x3)=x1+x2+x3+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 经正交变换X=PY化标准型f=v2+2v3,其中X=(x1,x2,x3),Y=(y,y2,y)是3维列向量 P是3阶正交矩阵, (1)求常数a,b的值 (2)求正交矩阵P.(2014年华南理工大 0.设实二次型 f(x1,x2,x3)=XAX=ax2+2n2+2n3+2bx1x2(b>0, 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,之积为-12 (1)求a,b的值; (2)利用正交变换将二次型化为标准型,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.(2015年华南理工 大学) 1.设二次型 f(x1,x2,x3)=x2+x2+n3-4x1x2-4x1x3+2ax2x3
¥òá¢g., Ÿ•A = (aij )¥¢È°› . Úg.wän ¢ºÍ, ^ìÍê{(½ß3 S = {X = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n|x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n = 1} ˛äâå. (2011cu¿ìâåÆ) 26. ^OÜzeg.èIO. 2x 2 1 + 4x1x2 − 4x1x3 + 5x 2 2 − 8x2x3 + 5x 2 3 . (2013cu¿ìâåÆ) 27. A ∈ Mn(C)¥å½› , Ö3Ím > 1, ¶Am = En, ¶A. eÚ˛„/å½0^áUè/åK½0, \U—üo(ÿ?. (2014 cu¿ìâåÆ) 28. Æg. f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + x 2 2 + 3x 2 3 + 2λx1x2 + 2x1x3 ½, ¶λäâå. (2017cu¿ìâåÆ) 29. g. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2ax1x2 + 2x1x3 + 2bx2x3 ²CÜX = P Y zIO.f = y 2 2 + 2y 2 3 , Ÿ•X = (x1, x2, x3) 0 , Y = (y1, y2, y3) 0 ¥3ëï˛, P¥3 › , (1)¶~Ía, bä; (2)¶› P. (2014cuHnÛåÆ) 30. ¢g. f(x1, x2, x3) = X 0 AX = ax2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 + 2bx1x2(b > 0), Ÿ•g.› AAäÉ⁄è1, É»è−12. (1)¶a, bä; (2)|^CÜÚg.zèIO., ø—§^CÜ⁄ÈA› . (2015cuHnÛ åÆ) 31. g. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 4x1x3 + 2ax2x3 9 厦门大学《高等代数》