第1章货币时间价值方法7 NPV进行分析。一般地，若CF,>0,则当折现率k,增大时， 例如，以A和B两个投资项目为例，在两种折现率25%和10% NPV减小：反之k,减小时，NPV增大，即NPV与k,反向变化。 的情形下，计算结果见表1-1-4。 表1-1-4 折现率为10%和25%时的现值 投资A 投资B 时间 现金流量 10%时的PV 25%时的PV 时间 现金流量 10%时的PV 25%时的PV s500 454.55 400.00 1 8900 818.18 720.00 2 600 495.87 384.00 2 600 495.87 384.00 3 700 525.92 358.40 3 500 375.66 256.00 4 800 546.41 327.68 4 400 273.21 163.84 总计 82600 S2022.75 s1470.08 总计 82400 s1962.92 81523.84 NPV 822.75 270.08 NPV 762.92 323.84 从NPV看，k=10%时，A投资的NPV高于B投资的NPV。 NP。 但是，k=25%时，A投资的NPV(s270.08)低于B投资的NPV 随着折现率的变化，A投资先优于B投资，后劣于B。这 (S323.84)。所以，当机会成本为10%时，A投资优于B投 种情形并不是一种普遍现象。一个典型的例子是：若对于每 资，当机会成本为25%时，B投资优于A投资。由此可见，不 期期末，投资C的现金流均低于投资A的现金流，则无论折现 仅单个项目对折现率的变化敏感，而且在对两个项目进行比 率怎么变化，A投资总是优于C投资。这种情形称为A投资后 较时，其结果对折现率变化也是敏感的。 优于C投资。 进一步讨论当折现率从0连续变到40%时，将结果在图 图1-1-4中的曲线是向下倾斜的。如果CF,不恒为正 中描出可得到如图1-1-4的净现值曲线。 值，NPV关于折现率k的曲线有可能不是向下倾斜的，见表1 -1-5和图1-1-5。 NPV 表1-1-5 投资D的现金流序列 1600 时 间 现金流 项目A 1400 0 -s1600 1200 项目B 1 10000 1000 2 -10000 800 600 NPV 400 200 1000 0 500 0.050.10.150.20.250.30.35 0.4k 折 200 0 -500 图1-1-4NPV对折现率的敏感性 从图1-1-4中可以看出，当折现率约为15%时，两者的 -1000 NPV相等。当折现率低于15%时，A投资的NPV高于B投资 -1500 的NPV,从而A投资就优于B投资：当折现率高于15%时，则 刚好相反。 产生上述结果的原因可从对两者现金流序列的结构 图1-1-5NPV对折现率的敏感性 的分析中得出。对于投资A,其现金流随时间的后移呈增 大趋势，而投资B刚好相反。当我们考虑时间价值时，随 复贴现法(Compound Discount Method)】 着折现率的增加，离现期近的现金流在NPV中占的比重逐 复贴现法是计算现值的方法，分复利率贴现法和复贴现 渐增加，离现期远的现金流在NPV中占的比重逐渐减少， 率贴现法。 同样是使NPV下降，A投资的NPV下降速度高于B投资的 复利率贴现法(Compound Interest Rate Discount Meth- od)由复利终值公式F=P(1+)'可得计算贴现值公式： 速度，从而自某一点开始，A投资的NPV低于B项目的
8第一篇金融定量分析方法 P=- F 式中，P一贴现额； (1+i) F一票面金额： 式中，P—贴现额： —复贴现率： F—票面金额： t一计息期数。 一复利率： 显然，分别用以上两种方法求得的票据的贴现额相等时，定有 t一计息期数： r=io 1 一复利贴现系数。 (1+) 复利计息期数的计算(Interest Period of Compound 复贴现率贴现法(Discount Method of Compound Discount Rate)以到期值为准，以此数额用复利法计息，并先扣除的 Interest) 方法为复贴现率贴现法。其计算公式是： 如果已知复利终值F,现值P,利率i,则可由复利终值公 P=F(1-r)' 式F=P(1+i)'得到计算期数的公式： 式中，P一贴现额： IgF-IgP 1= 1g(1+i) F一票面金额； 例如，终值F=1000,现值P=900,月利率i=10%c,每月 一复贴现率； 复利一次，则计息期数为： t一计息期数。 1=000-1900=10.5886个月（即10个月18天） 1g(1+10%c) 复贴现法等值率(Equivalence Rate of Compound Discount Method)】 计息期数为非整数的复利终值和现值(Compound 设票据的到期值为F,贴现日至到期日的计息期数为t。 Final and Present Value of Non-integral Interest Pe- 如果分别用复利率贴现法和复贴现率贴现法求得的贴现额都 riod) 是P,那么这时的复利率i和复贴现率，对贴现息来说是等价 当计息期数t为非整数时，复利终值公式F=P(1+i)'和 的，我们称这种率值等价关系为复贴现法等值率，其数学表达 式是： 复利现值公式P= F1十)也是适用的。这种计算计息期数为 i二1-r 非整数的终值与现值的方法称为终值与现值的准确算法。例 如，若年利率为10%，每年复利一次，则两2零3个月后1000 i r二1+i 元的终值是： 由上式可看出，总有： F=1000×(1+10%)25=1239.18(元) 2年零3个月前的现值是： F(1-r）'=(1+i订 1000 P=0+10%25=806.9(元) i>r 实际上，准确法并不常用。常用的方法是复利法计算最接 连续复贴现法(Continuous and Compound Discount 近的整数计息期部分，再用单利法计算不足一个计息期以内 的部分利息。这种计算计息期数为非整数的终值与现值的方 Method) 法称为终值与现值的近似算法或实用算法。其计算公式是： 计算现值的方法，分连续复利率贴现法和连续复贴现率 贴现法。 F=P(1+i)0[1+(t-[t])] 连续复利率贴现法(Continuous and Compound Interest Rate F P=a+i1+(0+1-) Discount Method)由连续复利终值公式F=Pe可得连续复利 式中，F一终值： 率贴现法计算贴现值公式： P一贴现值： P=Fe-h 一利率： 连续复贴现率贴现法(Continuous and Compound Discount —一非整数计息期数； Rate Discount Method)由复贴现率贴现法计算现值公式P= [t]一1的整数部分： F(1-r)'可知，若每年复贴现m次，则贴现值为： t-[]一t的正纯小数部分，0<t-[]<1。 P=-) 用实用算法可算得上例中，两年零三个月后1000元的终 当每年贴现次数m→∞时，则贴现值为： 值是： F=1000×(1+10%)2×(1+0.25×10%）=1240.25(元) P-limp-im()=Fe 2年零3个月前1000元的现值是：
第1章货币时间价值方法9 (1+10%)×(1+0.75×10%)=807.66(元) 1000 P= 称为年金额。自第一次支付期间开始到最后一次支付期间终 了的时期，称为年金时期。每期末支付的年金，称为普通年 金，或期末付年金。每期初支付的年金，称为期初年金。 特殊现金流评价(Specific Cash Flow Evaluation) 我们在时间价值分析模型中得到了一般现金流的评价 年金终值(Final Value of Annuity)】 计算方法。为了便于使用，人们编制了在不同折现率下1个 即各期支付的年金在年金时期终了时的终值之和，称为 单位期末值所对应的现值表，即现值系数表。尽管如此，当 年金终值。有单利年金终值和复利年金终值两种情况。 较大时，人工计算仍然十分麻烦。因此，便引出了年金的概 单利年金终值(Simple Interest Final Value of Annuity) 念。 若每期发生年金额为A,每期利率为i,共1期，以单利计息，则 所谓年金(Annuity)是指满足下列4个条件的现金流序列： 各期支付的年金在年金时期终了时的本利和总额称为单利年 1.现金流量大小固定不变，时间间隔固定（一般指每年支 金终值。单利年金终值又可分为单利普通年金终值和单利期 付一次现金)： 初年金终值两种情况： 2.支付期限为有限期： (1)单利普通年金终值。每期年金的本利和如表1-1-6 3.从第一期末开始支付，每期期末支付现金： 所示。 4.对所有的现金流，其折现率相同。 表中最后一行是各期年金终值，其和就是单利普通年金 根据以上条件，用等比级数求和公式不难算出期限为n 终值： 期，折现率为k,现金流量为CF(因为CF,为常数，故省去t)的 F=A+A(1+i)+…+A[1+(t-2)i]+A[1+(t-1)i] 年金现值，记为PVA: PVA CF.I-(1+k) =4[1+专(t-1)i] (1) k 表1-1-6 相应地，在利率为r的条件下，年金的未来值(FVA)可用 期 数 1 2 公式(2)计算： FTA=CF.1+)"-1 每期末年金 A A (2) t期末终值 4[1+(t-1)]4[1+(t-2)i] A(1+i) 最后，考虑一个特殊情形：某项投资预期有无限期的现金 流，而且其现金流以一固定增长率g增长，现金流的产生时间 (2)单利期初年金终值。每期年金的本利和如表1-1-7 间隔固定，所有的现金流用同一折现因子进行折现，则由无穷 所示。 等比级数求和公式可求得其现值为： 表中最后一行是各期年金终值，其和就是单利期初年金 WV.C (3) 终值： F=A(1+i)+A(1+2i)+…+A[1+(t-1)]+A(1+i) 这就是所谓的固定增长模型(The Constant Growth Mod- l)。因为由第一期现金流CF,和增长率g可推得所有其他各 =41++1)月 期的现金流，因此(3)中只出现CF,。 表1-1-7 在公式(3)中，当g为零时，即是“零增长模型”(The Zero 乡 华 2 Growth Model)。当g取零值时，相应的现金流是终身年金 (Perpetual Annuity),此时，现值可由(l)式取n趋于无穷大或 每期初年金 A A A 由(3)式取g=0相应地得出： t期末终值 A(1-t) M[1+(t-1)i] 4(1+2)M(1+i) Py =CF k (4) 复利年金终值(Compound Interest Final Value of Annuity) 这个公式虽然十分简单，但它具有深刻的经济意义。它 若每期发生年金额为A,每期利率为i,共t期，以复利计息，则 对评价诸如固定红利的优先股之类的终身年金十分有用，同 各期支付的年金在年金时期终了时的本利和总额称为复利年 时也广泛地用于对永久性固定附息息票债券的定价。 金终值。又可分为复利普通年金终值和复利期初年金终值两 种情况。 年金(Annuity) 1.复利普通年金终值。每期年金的本利和如表1-1-8 在一定时期，每间隔相等时间支付的金额，称为年金。例 所示。 如每月支付的房租，水电费、债券利息、股息、购货的分期付款 表中最后一行是各期年金终值，其和就是复利普通年金 等，都可称为年金。年金一般按固定利率计算利息。相邻两 终值： 个支付日的期间，称为支付期间。每一支付期间支付的金额， F=A(1+i)-1+A(1+i)-2+…+A(1+i)+A
10 第一篇 金融定量分析方法 =41+-1 表1-1-10 i 乡 数 2 t-1 表1-1-8 每期末年金 A A A A 乡 数 -1 各期年金 A A A 现值 1+i 1+2i 1+(t-1)i 1+ 每期末年金 A A +… A 2.单利期初年金现值。各期年金的现值如表1-1-11 :期末终值 A(1+i)- A(1+i)-2 A(1+i) 所示。 常把上式中1+'-山的称为年金终值系数，亦称等额分 表中最后一行是各期年金现值，其和就是单利期初年金 i 现值： 付本利和系数。由复利普通年金终值计算公式F=A A■ A (1+i)‘-1可得如下公式： i 表1-1-11 A=F)-1 i 期 数 2 4-1 此式的经济意义是，假如要在t年末筹集一笔款F,若 每期初年金 A A A A 利率为i,则按复利计算时每年应等额存入银行的款额应为 各期年金 A A A 现 1+i 1+(t-2)i 1+(t-1)i 4。式中的1+一称为年金储存系数，亦称资金存储系 复利年金现值(Compound Interest Present Value of Annui- 数。 y)若每期发生的年金额为A,每期利率为i,共t期，复利计 2.复利期初年金终值。每年年金的本利和如表1-1-9 息，则各期支付的年金在年金时期初的现值之和称为复利年 所示。 金现值。复利年金现值又可分为复利普通年金现值和复利期 表中最后一行是各期年金终值，其和就是复利期初年金 初年金现值两种情况。 终值： 1.复利普通年金现值。各期年金现值如表1-1-12 F=A(1+i)”+A(1+i)-1+…+A(1+i)2+A(1+i) 所示。 =A(1+)1+i)-1 表中最后一行是各期年金现值，其和就是复利普通年金 现值： 表1-1-9 A A A A 期 数 2 P=++++…+1+)++) ++4+ =A1-1+) 每期初年金 A i 1期末终值 A(1+i)t A(1+i)t-1 1(1+i)2A(1+i) 表1-1-12 期 数 1 2 t-1 年金现值(Present Value of Annuity)】 每期末年金 A 年金现值即各期支付的年金在年金时期初的现值之和。 A A A 各期年金现值 分为单利年金现值和复利年金现值两种情况。 1+i (1+i) (1+)可 (1+i) 单利年金现值(Simple Interest Present Value of Annuity) 若每期发生年金额为A,每期利率为i,共1期，单利计息，则各 常把上式中】-(1+)二的称为年金现值系数，亦称等额 期支付的年金在年金时期初的现值之和，称为单利年金现值。 支付现值系数。 单利年金现值可分为单利普通年金现值和单利期初年金现值 两种情况。 由复利普通年金现值计算公式P=AL-(1+),得投资 i 1.单利普通年金现值。各期年金的现值如表1-1-10 回收值公式： 所示。 i 表中最后一行是各期年金现值，其和就是单利普通年金 A=P1-(1+i) 现值： 此式的经济意义是：假如为实施某技术方案需向银行贷 P=+中2+…+14d丽+=名 A A 款P,利率i,按协议要在t年等额偿还，则每年应偿还额为A。 白1+m 投资回收值公式中的， -(1+)称为资金回收系数，亦称资 金还原系数
第1章货币时间价值方法11 2.复利期初年金现值。各期年金现值如表1-1-13所示。 求年金支付期数t。根据复利普通年金终值公式F=A 表中最后一行是各期年金现值，其和就是复利期初现值： 1+-或复利普通年金现值公式P=A-口+)，利用 i A A A A i P=A+++++…+0+0+1+)四 对数，即可求得年金支付期数t和年金期限。一般地，由F或 =A(1+)1-(1+) P,I求得的支付期：不是整数。因此，需要调整最后一次支付 的年金金额，以使总和相等。常用下面两种方法调整： 表1-1-13 1.在最后一笔年金金额上加上一定数量的金额，使得各 期 数 0，。+ t-1 次支付的年金总和恰好等于年金终值F或现值P。 2.在最后一次正规支付之后，再求解出一笔较少的收尾 每期初年金 A A …… A 付款，并让它另占用一个新的计息期支付。在新增加的这个 A A A 各期年金现值 A (1+i) 0+)1+) 计息期里，因为原来已积累的年金终值能够再生息且此利息 总是超过结算金额，所以设想的那笔较少收尾付款就不必支 付了。 复利普通年金利率的计算(Compound Interest Ordi- nary Annuity Rate) 变额年金(Variable Annuity) 在许多投资活动中，真实利率往往是隐蔽的。为了比较 每期发生的年金不是常量，这样的年金称为变额年金。企 几个不同的投资方案，很有必要确定每个投资方案的实际利 业采用的分期分批不等额投资方式，即属变额年金。年金额 率水平，并据此做出投资决策。 的变动可分为下面3种情形： 在复利普通年金终值公式F=AL+'-上中，常要由F、 1.等差变动。每期发生的年金分别是A,A+d、A+2d, i :当d>0时，年金是递增的：当d<0时，年金是递减的。此 A和1来确定利率i,显然，用解高次方程F=A①+)'-山的 时普通年金复利现值和终值的计算方法是： 方法计算利率1是较为困难的，通常用线性插值法求出它的近 似解。具体步骤如下： ++0++ (1+) 1.选择适当的利率并由年金A进行试算，如果试算得到 ++4*…*4小 A 的年金终值小于实际终值F且差额较大，就用高利率再试算， *4+*+别 2d 3d 直到试算出一个小于且接近于实际终值F的终值F,把确定 F,的利率记为i1 2.再选择比i,大的利率并由年金A进行试算，如果试算 设 n=+a+a可*…*a时 A A 得到的年金终值大于实际终值且差额较大，就降低利率再试 算，直到试算出一个大于且接近于实际终值F的终值F:,把确 则B=A1-(1+i) 定F2的利率记为2： 设+华粉+分++名，提 d 2d 3d 3.把试算得到的马F,F代入线性插值公式： (1+i) 于 i=i*F+3(-4) 1+04+a+a++名：鼎 2d 求出利率i。 (1+i)回 为了使求得的利率i较为准确，常要求i2-i小于1%。 上面两式相减，得： 例如，若每月末存款250元，连续16个月，要使终值达到 识=4+a中+a可+…+ū++ d d d_(t-1)d 5000元时，则月利率应是多少？按以上方法可求得： i1=2.8%时，F,=4960.46 =d1-(1+)--1)4 (1+i) i2=3.0%时，F2=5039.22 则月利率为： 从而 B=d-*i)-d-1 “i(1+i) 4960.46 i=28%+4960.46+5039.22×(3.0%-28%） 所以 P=P +P2 =2.9% =A-1+出+a-+)-d,- i (1+i) 年金期限的计算(Calculation of Annuity Term) 有时要由年金终值F或年金现值P、年金金额A、利率i来 -++d+）