好玩的数学几乐在其中的数学1849-43=1806根据《数学大百科全书》的记载，德·摩根出生于1806年6月27日，1871年3月18日死于伦敦，活了大约65岁。朋友们，你们要善于独立思考，在不少场合，你们自己会找到比现成的书本上更好的解法。栗子糖炒栗子纷纷上市，香甜可口，街头巷尾，到处有售。前几年，笔者到天津去出差，发现那里的正宗良乡栗子，价钱不到上海的一半。怪不得上海的老字号，只能关起门来在上海市区称王，不能越出雷池一步。而且所占的市场份额也逐年递减。这真是咎由自取，谁叫你们的毛利定得如此之高呢？所以，近年来许多老顾客只好消极抵制，大喊吃不起了！闲话少说。我们不妨去买些糖炒栗子来，用它们做游戏的道具。可以先把八只栗子排成一行·abcdefgh两人轮流来拿取栗子，规定如下：（1）每次可以取走三只相邻的栗子，换句话说；在取中间的一颗栗子时，一定要把它的左邻、右舍同时取走，不得违反。（2）取两只相邻栗子时，其中的一只必须“靠边”16
第一童古算题·逻辑·游戏·竞赛abcdbcd6可以取走a，b栗子不准取走b，c或者c，d栗子栗子因b，c都不靠边（3）可以取走一只孤立的栗子，但此种情况在开局时不会出现，在中局或残局时有可能碰到。令人惊的是：如果双方都采取正确着法，这种八栗游戏竟是后发制人、后走者一定能赢的游戏。你知道其中的奥妙吗？现在让我们简要地提示一下本问题的答案。对于初始布局bcdhaetg来说，先走者有两大类走法，拿两只与拿三只。先讲第一种，先走者取走α，b两只（取g，h时，出现的情况是完全对称的，不必再讨论了），剩下联成一气的六只栗子hdetg后走者的正确对策是取走c，d（或者g，h也行)，使之留下四只相邻的栗子hefg到此地步，明眼人已经一望而知，无论先走者取三只还是取两只，后走者是一定可以收尾的。事实上，这时再相应地拿取一只或两只，则栗子被全部拿光，再轮到先走者下手时，他已无栗可取，只得认输了。再讲第二种，先走者取三只栗子，这时情况比较复杂，可17
好玩的数学1乐在其中的数学以根据表1-2的不同情况分别处理。表 1-2先走者取后走者取先走者取后走者取dh(1)abcsshd(2)bed留下efgh（上面已讨论过了）aabf(3)adeghfabcgh(4)defabghC其实，明眼人可以看出，表1-2中情况（3）与情况（4）是互相对称的。无论属于何种情况，都是后走者稳操胜券。因此，对本游戏来说，“先下手为强”的说法是不对的。1.11查脚印巴黎郊外有一座中世纪留下的古老城堡，其年代几乎与著名的“巴黎圣母院”同样久远，因而成了旅游观光的胜地，吸引了来自世界各地的游客。下面这则故事就是出自一位导游之口：古堡的顶层有一座尘封的钟楼，里面住着一个怪人，唯一的对外通道是个走起路来嘎嘎响的、陡峭异常的木质楼梯，大约有几十级，但肯定不到一百级。某日黄昏，怪人的四位互不相识的朋友阿列克赛（A）、巴顿（B)、克林（C)、杜邦（D)，几乎在同一时间先后来访。他们发现怪人已经被人杀害了，房间里面尽是血水。当下四人大惊失色，争先恐后地拼命逃走。从脏乱不堪的18
第一章古算题·逻辑·游戏·竞赛狭窄楼梯（一次只能通过一人）跑下来，阿列克赛一步下2级台阶，巴顿一步下3级台阶，克林一步下4级台阶，而杜邦的本事最大，竟是一步能下5级台阶。出事以后，盗亚森罗宾乔装成一名体面的上流社会绅士，自告奋勇地前来侦破此案。他发现，同时印下四个人脚印的台阶仅在最高处和最低处。为了追查凶手，脚印混乱了就不好办，于是亚森罗宾特别重视只留有一个人脚印的台阶。后来的结果充分证明他的看法是正确无误的，最后终于抓获凶手，把他绳之以法。现在要问你的是，通向钟楼的木楼梯上有多少级台阶印下了一个人（不问是谁的）的脚印？由于4的倍数肯定是2的倍数，所以克林的情况可以不必考虑，这就省掉了个人，2，3，4，5的最小公倍数是60，而60又小于100，所以钟楼的木楼梯共有60级台阶。阿列克赛的脚印落在第2，4，6，8，10，12，…，58，60级台阶上，但应排除2×3及其倍数的各级阶梯；同理，还需要排除4的倍数的各级阶梯和5的倍数的各级阶梯。于是剩下第2，14，22，26，34，38，46，58共八级。其一般形式为2×p（其中p=1，以及除去2、3、5以外的素数)。巴顿的脚印落在第3，6，9，12，，60级阶梯上，但应排除混有别人脚印的第6，12，15，18，………级阶梯，剩下第3，9，21，27，33，39，51，57，共八级。前面已经说过克林的情况可以不考虑了，最后再来看一下杜邦的情况。很明显，只留下他一个人脚印的阶梯是第5，25，35，55级，共四级。所以，问题的答案是8+8+4=20级。-19
好玩的数学乐在其中的数学本题自然也可以用其他办法来解决，例如用“奥数”培训教材中所讲的“容斥原理”等，真是条条道路通罗马，所以说它是一一道很有趣味的好题。11Z葫芦里卖的什么药有三只葫芦，每只葫芦里装着两样中药。其中的一只葫芦里装着一块白木耳和一块黑木耳（以下简称黑、白），另一只装的是黑、黑；还有一只装的是白、白。后来，不知什么人把葫芦外面的标签全给贴错了。现在允许你从任何一只葫芦里拿出一块药来，并判定三只葫芦里所装的药材。试问，这种抽取样品的过程至少要进行几次，才能完全搞清楚三只葫芦里所装的各是哪种药？办法是：只要从贴有“黑、白”那张标签的芦里摸出一块药就够了。如果取出的是黑木耳，那么你马上可以判定这只葫芦里的另外一块药也是黑木耳。否则，如果是白木耳的话，标签岂不是贴对了吗？其次，你立刻就能判断出，贴着“白、白”标签的那只葫芦，它装的药当然不会全部都是白木耳，那么，难道它会装两块黑木耳吗？肯定也不会，因为，“黑、黑”的情况，上面已经有过了。所以，这只葫芦里装的药，只能是一块黑木耳和一块白木耳。于是，最后剩下来的也只有一种可能性了。即贴着“黑、黑”的那只葫芦，实际上所装的是“白、白”。如果第一次摸出的是白木耳，也可以仿照上面的办法进行推断。不难发现，其结果是：贴着：“黑、白”标签的葫芦，装的乃是“白，白”；贴着“黑、黑”标签的葫芦，装的实际20