①第一章古算题·逻辑·游戏·竞赛桃三李四橄榄七桃子一个要三文钱，李子一个要四文钱，而橄榄一文钱可以买七个，若拿一百文钱去买这三种果子，每种都得买，又恰好买一百个，问每种应各买几个？这是流传于福建民间的一个古算题。设应各买桃子、李子、橄榄、y、z个，则可列出方程组(1.1)[x+y+z=100[3 + 4y + * = 100(1.2)由(1.1),得z=100-×-y。7y代人（1.2)，得=30--%。因是正整数，故必为20的倍数。令y=20t，则×=30-27t，z=70+7t，其中t为正整数。又因 x、y、z均为正整数，所以0<t≤1，即 t=1。从而得（，y，z）=（3，20，77）。也就是说，应买桃子3个，李子20个，橄榄77个。上述解法中，方程组有三个未知数，却只有两个方程，称为不定方程组，不定方程组一般有无限多组解，但其整数解、正整数解，往往是有限的。像此题只有唯一一组正1
好玩的数学乐在其中的数学整数解。4.韩信立马分油江苏省徐州市是个历史名城，自古以来为兵家必争之地，该地古称彭城，楚霸王项羽曾在这里建都。清朝康熙年间，有位诗人路过，写了一首非常有名的诗批评汉高祖刘邦杀载功臣的罪过，造成了匈奴入侵，国防空虚的局面：天子依然归故乡，大风歌罢转苍茫。当时何不怜功狗，留取韩、彭守四方。诗中提到的韩信是帮助刘邦打败项羽的主角，立了大功，与张良、萧何号称“汉初三杰”，曾被刘邦封为楚王，后来降为准阴侯。民间流传，韩信具有极高的智慧和军事才能，“立马分油”就是很突出的例子。据说有一天，身为主将的韩信骑了马，走在路上，看见路边有两个人为分油而发愁。原来，他们有一只容量为10斤的篓子，里面盛满着油，还有一只空罐和一只空葫芦，可以分别装7斤和3斤油。两个家伙想把10斤油平分，每人得5斤。但是准备工作没有做好，谁也没有带秤，只能在三个容器里倒来倒去，于是感到束手无策。韩信听了，便立即表态说：“这有何难？”他随即指出了窍门：“葫芦归罐罐归篓，分好油来回家走。”两个人心领神会，按照韩信所教的办法倒来倒去，果然把油平均分成两半，高高兴兴地打道回府去了。如果用言语来叙述倒进倒出，那是很繁琐的，我们可以用表1-1来说明三种容器内油量的变化情况。2
第一章古算题·逻辑·游戏·竞赛表 1-1篓1741041188550罐0336067225葫芦03030203230韩信所说的“葫芦归罐”，意思是把葫芦里的油倒进罐里。“罐归篓”是把罐里的油倒往篓里。通常分油要把油从大容器往小容器里倒，现在却把小容器里的油往大容器里“归”。向葫芦里倒油，可以得出3斤的油量，而把葫芦里的油往罐里“归”，“归”到第三次，葫芦里就出现2斤的油量。再把满满一罐油“归”到篓子里，腾出空来，把葫芦里的2斤油“归”到空里，最后再倒满一葫芦3斤油，“归”到縫里，就圆满地完成了分油的任务。本题还可以用“打弹子”的办法来解决，那又同物理学的弹性碰撞与反射现象联系起来了。2嘉庆皇帝出妙题清朝嘉庆皇帝爱新觉罗·题在位25年，社会比较安定，科技也有一定的发展，通晓古算的人才也不断涌现，其详情请参看《畴人传》这本专著（“畴人”是古人对数学家的称呼）。嘉庆曾编过一道数学趣题：有人花100两银子买了100头牛，大牛每头值10两，小牛每头值5两，牛犊每头值半两。试问：此人买了大牛、小牛与牛犊各多少头？这是一道不定方程问题，但它在解题中有一些独特技巧，得出来的答案是唯一的。3
好玩的数学乐在其中的数学设大牛、小牛与牛犊分别买了α、y、z头，则据题意可列出方程x+y+z=100(1.3)110x + 5y + #= = 100(1.4)把（1.4）式乘以2以后减去（1）式，我们可得出19x + 9 = 100(1.5)从（1.5）式可知，×的值不能超过5。把（1.5）式变形，改写为x - 1 = 9(11 - 2x - y)(1.6)于是马上可以看得出，一1必定是9的倍数，于是只能等于1，代人后，马上就可算出y=9，z=90。所以此人买了1头大牛，9头小牛，90头牛犊。总而言之，便是：一百两银子买一百头牛。（1.6）式的技术处理是相当关键的一步，它可以省掉繁琐的列表与讨论。4阶下之囚“我真发愁，”监狱看守员说，“警察帕金斯留了个条子说，昨天晚上他逮捕了两个牧师打扮的流氓。但我今早上班时却发现一共有三个牧师打扮的人，现在看来其中有一名是个真正的牧师，他是前来探望两个误人歧途的“羔羊，的。问题是我现在分不清谁真谁假了。”“这有何难？想办法问问他们嘛，”警官建议，“真人不说假话，真正的牧师一定是讲真话的。”“你说得倒不错，但我也许正好问到那个骗子呢？帕金斯4
第一章古算题·逻辑·游戏·竞赛说过，这家伙是个撒谎老手，从来不讲真话。而那个赌棍则是个见风使舵的角色，他说起话来，时真时假，要看形势对他是否有利而定。”警官走到单人牢房前。“你是谁？”他问一号牢房里的囚犯。“我是赌棍。”其人答道。警官又走到二号牢房前问：“一号牢房里关着的那个人是谁？”“骗子！”警官又问三号牢房里的人：“你说一号牢房里的那人是谁？”三号牢房里的人答道：“牧师。”警官转身对看守员说：“很明显，你应该释放…”该放谁？本题有许多解法，最直截了当的是，相信二号牢房囚犯的回答，他说的是真话，于是所有的说法就都是相容与无矛盾的，答案如下：骗子关在一号牢房，牧师关在二号牢房，赌棍关在三号牢房。逻辑趣题总是有着无穷的魅力，历来受到读者的喜爱。本文是根据美国著名作家巴纳德的一本畅销书译出的，原文写得非常谈谐有趣，令人喷饭。多看这类作品，不但可以提高自已的智商，而且能写出一手漂亮而流利的英语，幽默大师兼英文专家林语堂先生就特别赞赏这种英、汉对照的做法，但为了保持本书前后体例一致与节省篇幅，此处就不刊出英文的原作了。5