也可以对δ函数作 Laplace变换 8(t-to)e-ptdt=e-pto, to>0 ★6函数也可以表示成初等函数的 Fourier积分.因为 所以,根据 Fourier变换的反演公式,有 维或三维δ函数 ★在平面上(xo,3)点处有一个单位点电荷,那么,它的密度分布函数就是b(x-xo)6(y-o) ★在三维空间(xo,3,)处有一个单位点电荷,它的密度分布函数就是6(x-ro)6(y-)6(2 ★从三维空间来看,所谓一维点电荷应该是三维空间内的面电荷;二维点电荷就是三维空间内 的线电荷 例10.1证明 V2-=-46(r) 其中 ax2 ay 2 a22 称为 Laplace算符,r=√r2+y2+z2,6(x)=6(a)6(y)6(2) 证正像前面指出的,凡是涉及δ函数的等式都应该从积分意义下去理解,即应该去证明 rydz 当r=0gV; 当r=0∈V 当r≠0时,直接微商可得 ax√m+y2+2(x2+y2+2)3/2 x2m2+y2+2(x2+y2+2)y2 同理, y2r2+y2+2z (x2+y2+2)5/2 r2+y2+2 22.215/2
✁✂ δ ✄ ☎ 5 F ❊✕❀➬ δ ➘➴Ý Laplace ✡❴✔ δ(t − t0) ; Z ∞ 0 δ(t − t0)e−ptdt = e−pt0 , t0 > 0. F δ ➘➴❊✕❀ ✒✓✿❬❲➘➴➭ Fourier Ö➳ ✕❪ ➻ Z ∞ −∞ δ(x)e−ikxdx = 1, ✙❀✔❰Ï Fourier ✡❴➭❵❛❜❑ ✔➨ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ e ikxdk. ❝❞❡❢❞ δ ❣❤ F ➞✐❥➤ (x0, y0) ä❂➨ ❐ ➼➽➾ä ➯➲✔●❦✔☎ ➭➶➹➳➵➘➴ÜÙ δ(x− x0)δ(y − y0) ✕ F ➞❧♠♥➦ (x0, y0, z0) ❂➨ ❐ ➼➽➾ä ➯➲✔☎ ➭➶➹➳➵➘➴ÜÙ δ(x − x0)δ(y − y0)δ(z − z0) ✕ F ✧❧♠♥➦✪✫✔✙♦❐♠ ä ➯➲☞✥Ù❧♠♥➦ ➧➭❥ ➯➲♣q♠ ä ➯➲ÜÙ❧♠♥➦ ➧ ➭ ➢ ➯➲✕ r 10.1 s t ∇2 1 r = −4πδ(r), ✉ Ð ∇2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 ✈ ➻ Laplace ✛✇✔ r = p x 2 + y 2 + z 2, δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) ✕ ① ② ❋③❥④✞➭✔▲Ù⑤⑥ δ ➘➴➭❲ ❑ ◆ ☞✥✧Ö➳ ✃✁✂❳Ó✦✔✯☞✥❳s t Z ZZ V ∇ 2 1 r dxdydz = ( 0, ➷ r = 0 6∈ V ; −4π, ➷ r = 0 ∈ V. ➷ r 6= 0 á✔➡⑦✖❭✕â ∂ ∂x 1 p x 2 + y 2 + z 2 = − x (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 , ∂ 2 ∂x2 1 p x2 + y 2 + z 2 = 3x 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2 . ⑧ Ó✔ ∂ 2 ∂y2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3y 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2 , ∂ 2 ∂z2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3z 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2
三式相加,即得 0,r≠0. 这样就证得:当积分体积V内不包含原点r=0时,积分恒为0 当积分体积V内包含原点r=0时,由于函数1/r在r=0点不可导,上面的结果不成立.这 时不妨将V就取为整个(三维)空间.容易得到 dzdydz a→0 / +a2)a2r2 dr sin eded 127 lim 令r=atanθ,即可证明上面的积分与a无关,且 an 6 V--dzdydz =-127T (1+tan2) 12丌 sin e cos ede -127.-sing 4丌.口
§10.1 δ ✄ ☎ 6 ❧❑⑨⑩✔✯â ∇2 1 r = 0, r 6= 0. ✤ ❈ Üsâ✄➷Ö➳❶Ö V ➧Ø❷❸❹ä r = 0 á✔Ö➳❺➻ 0 ✕ ➷Ö➳❶Ö V ➧❷❸❹ä r = 0 á✔✷➮ ➘➴ 1/r ➞ r = 0 äØ ✕ ❅✔➤❥ ➭❻❼Ø✿❽✕ ✤ áØ❾❿ V Ü✴ ➻➀➼ (❧♠) ♥ ➦ ✕➁➂âã ZZ Z ∇2 1 r dxdydz = lim a→0 Z ZZ ∇2 1 √ r 2 + a 2 dxdydz = − lim a→0 ZZ Z 3a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr sin θdθdφ = − 12π lim a→0 Z ∞ 0 a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr, ➃ r = a tan θ ✔✯✕ s t➤❥ ➭Ö➳✟ a ➟✌ ✔ç ZZ Z ∇2 1 r dxdydz = −12π Z π/2 0 tan2 θ 1 + tan2 θ 3/2 dθ = −12π Z π/2 0 sin2 θ cos θdθ = −12π · 1 3 sin3 θ π/2 0 = −4π.
第十章函数 810.2利用6函数计算定积分 利用δ函数的常用积分表达式 cos kzk I cos krak 也可以计算定积分.下面通过几个例题来说明一般的计算步骤 例10.2计算积分 解考虑辅助积分 sin ar F 显然有 F()= cos Ar dr=2no(A) 所以 F(A)=2m()+C 其中C为积分常数,待定.故当λ>0时, F(A)=2+C 考虑到F()是A的奇函数, 即可定出C 因此 入>0; F 入<0. 特别是,当入 就有 dr=7 sin 2 例10.3计算积分I x2+x+1 解引进辅助积分 F(入) 它满足微分方程 ()-iF(A)+F(A)=276(入)
✁✂ δ ✄ ☎ 7 §10.2 ➄➅ δ ❿➀➆➇➈➉➊ ➋➌ δ ➘➴➭➌ Ö➳✒ ❏❑ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ e ikxdk, ✎ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ cos kxdk = 1 π Z ∞ 0 cos kxdk, ❊✕❀★ ✛ÒÖ➳ ✕✂❥ ÿ✵➍➼ ❨➎✪ ✑ t ❐➏ ➭ ★ ✛➐➑✕ r 10.2 ★ ✛Ö➳ Z ∞ −∞ sin x x dx ✕ ➒ ➓➔→➣Ö➳ F(λ) = Z ∞ −∞ sin λx x dx, ↔↕➨ F 0 (λ) = Z ∞ −∞ cos λx dx = 2πδ(λ). ✙❀ F(λ) = 2πη(λ) + C, ✉ Ð C ➻Ö➳➴✔➙Ò✕➛ ➷ λ > 0 á✔ F(λ) = 2π + C, F(−λ) = C. ➓➔ã F(λ) Ù λ ➭➜➘➴✔ F(−λ) = −F(λ), F(0) = 0, ✯✕ Ò✞ C = −π ✕❪❫ F(λ) = π, λ > 0; 0, λ = 0; −π, λ < 0. ✢✣Ù✔➷ λ = 1 ✔Ü➨ Z ∞ −∞ sin x x dx = π. r 10.3 ★ ✛Ö➳ I = Z ∞ −∞ sin 2x x 2 + x + 1 dx ✕ ➒ ✬✭→➣Ö➳ F(λ) = Z ∞ −∞ e iλx x 2 + x + 1 dx, ☎➝✹ ✖ ➳➞✶ −F 00(λ) − iF 0 (λ) + F(λ) = 2πδ(λ). (F)
§10.2利用δ函数计算定积分 这是一个特殊的二阶常微分方程:其非齐次项含有δ函数.这种特殊性表现在两方面 当A≠0时,()=0,方程是齐次的 当入=0时,F(川)是连续的, im[F(0-)-F(0+E)=0 但F(λ)并不连续, P"()+iF(x)-F()dx=-2x/6(x 一E 由于F(入)在λ=0点连续,故当ε→+0时,上式左 端第二项和第三项的积分均趋于0,于是 lim F() 2. F'(λ)在λ=0点的不连续性,即F(λ)在λ=0点的左右极限存在但不相等,恰好反映 了二阶微分方程(★)的非齐次项为δ函数 现在回到微分方程(★)的求解上.因为当入≠0时6(X)=0,所以 考虑到F()有界,A和D必为0;再因为F(入)在A=0点连续, B=C: F()在入=0点不连续 因此求得 √3 所以 2-√3M/2e-i/2 F(入 所要求的积分即为 I=Im F(2)=--
§10.2 ➟➠ δ ✄☎➡➢➤➥➦ 8 ✤Ù❐ ➼✢➧➭q✔ ✖ ➳➞✶✄✉➨➩➫➭❸➨ δ ➘➴✕ ✤➯✢➧✼✒➲➞➳ ➞ ❥ ✄ • ❇ λ 6= 0 ✿ ✔ δ(λ) = 0 ✔❚❯✖➵➸✎✔ • ❇ λ = 0 ✿ ✔ F(λ) ✖ ôõ✎✔ limε→+0 [F(0 − ε) − F(0 + ε)] = 0, ➺ F 0 (λ) ➻➼ôõ✔ Z 0+ε 0−ε h F 00(λ)+iF 0 (λ)−F(λ) i dλ = −2π Z 0+ε 0−ε δ(λ)dλ = −2π. ✗ ✲ F(λ) ✥ λ = 0 ✶ôõ✔➽ ❇ ε → +0 ✿ ✔❆➾➚ ➪ ➶➹➘▲ ➶➴➘✎▼❑➷➬✲ 0 ✔✲ ✖ limε→+0 F 0 (λ) 0+ε 0−ε = −2π. F 0 (λ) ✥ λ = 0 ✶✎➼ôõ➮✔➱ F 0 (λ) ✥ λ = 0 ✶✎➚✃❣ú❐✥➺ ➼❒❁ ✔❮❰ÏÐ Ñ➹Ò❏❑❚❯ (F) ✎ Ó ➵➸➘❫ δ ✑✒✕ ➲ ➞ Ô ã✖ ➳➞✶ (F) ➭Õ✦➤✕❪ ➻➷ λ 6= 0 á δ(λ) = 0 ✔✙❀ F(λ) = Ae λe −π i/6 + Be λe −5π i/6 , λ > 0; Ce λe −π i/6 + De λe −5π i/6 , λ < 0. ➓➔ã F(λ) ➨Ö✔ A × D Ø➻ 0 ♣Ù❪ ➻ F(λ) ➞ λ = 0 ä❒❮✔ B = C; F 0 (λ) ➞ λ = 0 äØ❒❮✔ −i − √ 3 2 B − −i + √ 3 2 C = −2π, ❪❫Õâ B = C = 2π/ √ 3. ✙❀ F(λ) = 2π √ 3 e − √ 3λ/2 e −iλ/2 , λ > 0; 2π √ 3 e √ 3λ/2 e −iλ/2 , λ < 0. ✙Û Õ➭Ö➳✯➻ I = Im F(2) = − 2π √ 3 e − √ 3 sin 1