x:°=g"(a1 ),(i=1,,) (5) 因为这些未知数必须满足均衡条件。对(1)式的每一个方程求 关于a1的微分,这时记住把所有其他参数都当作常量,而所有的 未知数都是变量,得② dd a da 十 aa 0x2)+…+f= da (6) ax : dx da 式中 afc a:0 而其他所有的变量和参数都被当作常量。同样, afc Cn,a 应该指出,这些偏导数的数值在所讨论的均衡点上是完全确定 的。因此,我们有m个未知数〔(ax/oa1)°,…,(x-/0x1)0 的n个常系数线性方程。这些方程的解的值取决于系数的值,因 此,表示应变量与参数之间关系的偏导数就由均衡系统的结构性 质来决定。 由于(6)式表示线性方程,所以,在非奇异情况下,它们 的解可以用行列式形式来表示: ∑f。4△ k=1,,n) (7) da
式中 而4;k表示第第k列的元素的余子式。或者用矩阵形式来表 dx)° 〔fm)-1Cf1m〕 (8) 以税金问题为例来说明 为了具体起见,让我们将前面的分析应用于两个简单的例 子。考虑某厂商,具有一条给定的表示价格与产量之间关系的需 求曲线,和一本给定的表示总成本与产量之间关系的生产成本明 细表。另外,假设厂商被征收每单位产品t美元的税金。厂商的 利润可以写成 π=总收益一总生产成本一总税金支出 =up(x)C(x)-#x 式中 xp(x)=以产量的函数表示的总收益 C(x)=最低总生产成本 tx=总税金支出 很清楚,对任何给定的税率例如,厂商都将决定要去生产和销 售的产量,即 g =g(to) (9) 式中函数关系g对应于(2)式的函数。然而,我们不能让问题停 留在这样一种不确定的状态。我们希望知道比对于每一种税率都 存在着一个均衡产量更多的事情。变量对被当成参数的税率的依
赖性是什么?税金的增加将引起产量的增加还是减少?一个理论 如果不能回答如此简单的问题,那就实在太拙劣了。让我们看看 用均衡条件的公式化是否能够回答这些问题。 通常假定厂商将选择使其净收益达到极大的那个产量。这就 是说,产量的均衡值就变成了一个简单极大值问题的解。特别 地,在给定税率的条件下,利润对产量x正则极大值的必要条 件是③ 丌(x,t) 0 (10) d 2s(x, t) <0 第一个条件只是说明,在极大值处,利润函数的切线必颁是水平 的,或者换个说法,切线的斜率等于零。第二个条件保证该处不 是极小值。 对于我们的税金问题,均衡条件可以用简单的微分法推导出 来,变成 〔xp(x)-C(x)〕-t=0 dr (11) 这里为简单起见,假定(10)式中的不等式对于有关变量的所有 值都成立。现在,方程(11)相当于均衡方程组(1),由于只 有一个末知数的值有待确定,所以在这里只包含一个方程。 对于每一个t值,都对应地有x合成方程的一个根,这个根 就是均衡值。因此,函数(9)可以被当作是这个隐方程的显 解。 通过引入厂商极大值问题,我们现在得到了什么呢?这使我 们能够回答产量对税率的依赖性的问题吗?让我们应用上面所描 述的一般方法,来计算均衡产量对参数变化率。将(11)对 扌求微分,得 82[式p(x)-c(x9)(Da 2 : 1 (12) 13
式中 2)0 at =g"(# 在这个简单例子中,求解时不必依靠行列式,因为 0x)0 ot (13 d22〔x"p(x)-C(xp) 这给我们提供了我们所寻找的答案。作为相对极大值的充分条 件,有 2 _2)〔xp(x0)-C(:0))<0 (14) dr 所以, d t <0或g(t9< (15) 这就是直觉告诉我们的这种税金所导致的结果。应该指出,我们 假定厂商在征税前后总是处于均衡状态,而且税金对均衡的影响 仅如方程(11)所示。在任何实际情况中,在实际应用所得到的结 论之前,必须对证明这些假定的正确性的问题给予相当的关注。 以市场为例来说明⑨ 让我们来考虑作为另一个例子的货物或劳务市场,在这里, 价格和数量由假设的供给曲线和需求曲线的交点来决定。我们把 移位參数a(例如嗜好、税金、竞争价格,等等)引入需求曲 线。这样,我们有二个变量,一个参数,二个通过参数来定义变 量均衡值的方程。在数学上表示为 D〔x,a)-p=0 (16) S(x)一力=0 其解为 14
x=g1(a0) (17) 假定a的增加使需求曲线向右上方移动,那么,变量将如何随a 的变化而变化呢?跟前面一样,将均衡关系对参数求微分,得到 二个线性方程, D/x10_/0p dx da da (18) p da 通过简单的代入,得 D dr o da dD S (19) d S da dD 根据移位参数的定义,现在我们知道D/0a>0。因此,(ox da)00取决于S′会0D/0x乍看起来,这似乎只是推迟困 难,由一个方程代替另一个方程。但是如果我们考察所研究的市 场的种类,那么就会发现,市场在初始情况下处于稳定均衡状态 这一事实将会消除所有的不确定。因为,如果市场是常见的马歇 尔消费品市场,根据定义,均衡的稳定性要求供给曲线从下面切 割需求曲线(即使在由于外部经济性而引起成本减少的情况下也 是这样)。⑥ 所以, OD (20) 因此 15