黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 重积分（9.3）二重积分的应用

同理可得 王2·设曲面的方程为:x=8(y) 曲面积公式为:4=∫1+()+()d; D 3.设曲面的方程为:y=h(,x) 曲面面积公式为:A= ∫1+()+()d dzdx D 上页

３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y      = + + ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dy z z x y x      = + + 同理可得

例1求球面x2+y2+x2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=4A1 D1:x2+y2≤ax(x,y≥0) 工工工 曲面方程z=√a2-x2-y, 2 0.5 于是1+(A)+(=x二 上页

例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1 , D1：x + y  ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z     + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y  0)

面积A=4√1+x2+xn2xd 中y DI 4 del rdr √a2-r =2ma2-4a

面积A z z dxdy D =  + x + y 1 2 2 4 1  − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a    − =   cos 0 0 2 2 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = a − a

例2求由曲面x2+y2=0z和z=2a-√x2+y2 (a>0)所围立体的表面积 解解方程组 x ty =az z=2a-x2+y2 2 2 2 得两曲面的交线为圆周 r ty=a Z=( 在x平面上的投影域为Dy:x2+y2≤a2, 由z=(x2+y2)得x 2x y 上页

例 2 求由曲面x + y = az 2 2 和 2 2 z = 2a − x + y (a  0)所围立体的表面积. 解 解方程组 , 2 2 2 2 2    = − + + = z a x y x y az 得两曲面的交线为圆周 , 2 2 2    = + = z a x y a 在 xy 平面上的投影域为 : , 2 2 2 Dxy x + y  a 由 ( )得 1 2 2 x y a z = + , 2 a x zx = , 2 a y z y =

2x 2 2 1 y 1 √a+4x+4y, 由z=2a-x2+y2知1+zx2=2 故S= 1 √a2+4x2+4y2dxo d+∫√2dd D y 2兀 de a2+4r2.rlbr+√2ma2 0 0 2 =(62+55-1 6 上页

+ + = 2 2 1 x y z z 2 2 2 2 1        +      + a y a x 4 4 , 1 2 2 2 a x y a = + + 由z = 2a − x 2 + y 2知 + + = 2 2 1 x y z z 2, a x y dxdy a S Dxy  = + + 2 2 2 4 4 1 故 dxdy Dxy  + 2 a r rdr a d a =  +     0 2 2 2 0 4 1 2 + 2a (6 2 5 5 1). 6 2 + −  = a