§7.5函数的幂级数展开式 通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间 内,均可表示成一个函数(即和函数).但在实际中为了便于 研究和计算,常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂 级数这正好和原来“求一个幂级数的和函数”问题相反 下面将解决这样一些问题 (1)对于给定的函数f(x),在什么条件下它才能展开成幂 级数? (2)如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数an(n=0,1 2,…)? (3)展开后的幂级数是否唯一?
1 通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间 内,均可表示成一个函数(即和函数).但在实际中为了便于 研究和计算, (3) 展开后的幂级数是否唯一? 2, )？ §7.5 函数的幂级数展开式 级数.这正好和原来 常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂 “求一个幂级数的和函数”问题相反. 下面将解决这样一些问题: (1) 对于给定的函数ƒ(x),在什么条件下它才能展开成幂 级数? (2) 如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数 ( 0,1 n a n =
定义5若一个函数(x)能表示成一个幂级数∑anx", 称为此函数的幂级数展开;称此幂级数为该函数的幂 级数展开式 由第四章定理4(泰勒 aylor中值定理)知,若函数f(x) 在x0的某邻域内具有直到(n+1)阶导数,则对于x∈(a,b 均有 ∫(x)=f(x)+f(x(x-x0) (x-x0)2…+ (x-x0)"+Rn(x) 2! 其中R(x) f+(5 (x-x0)(介于x与x之间) (n+1) 我们称此等式为函数f(x)在x=x0处的m阶泰勒 aylor公式或泰勒/alor展开式
2 称为此函数的幂级数展开; 称此幂级数为该函数的幂 级数展开式. 0 n n n a x = 由第四章定理4 (泰勒Taylor中值定理)知,若函数ƒ(x) 在x0 的某邻域内具有直到(n+1)阶导数, 则对于 均有 ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2! ! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n = + − + − + − + x a b ( , ), 0 我们称此等式为函数ƒ(x)在 x x = 处的n阶泰勒 Taylor公式或泰勒Taylor展开式. ( 1) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ( 1)! n n n f R x x x x x n + + = − + 其中 介于 与 之 间). 定义5 若一个函数ƒ(x)能表示成一个幂级数
显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似 之处.故为了讨论函数的幂级数展开先来讨论泰勒级数 泰勒级数 由泰勒中值定理知,当f(x)在x的某邻域内内具有 直到n+1)阶导数,那么在该邻域内必有f(x)=P(x)+R(x) 从而当f(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有 f(x)=limp (x)+r,(x) 若imR2(x)=0,必有f(x)=∑ f(x n1→0 k! 函数f(x)在x处的泰勒级数或泰勒展开式 特别地,在x=0时,上式即为f(x)=∑ f(0) k=0k! 函数f(x)在处的马克劳林级数或马克劳林展开式
3 显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似 之处. 故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数. 由泰勒中值定理知, 当ƒ(x)在 x0 的某邻域内内具有 直到(n+1)阶导数, 那么在该邻域内必有 ( ) ( ) ( ), n n f x P x R x = + ( ) lim[ ( ) ( )] n n n f x P x R x → = + lim ( ) 0, n n R x → 若 必有 = ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! k k k f x f x x x k = = − ——函数ƒ(x)在x0 处的泰勒级数或泰勒展开式. 特别地, 在 x0 = 0 时, 上式即为 一. 泰勒级数 从而当ƒ(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有 ( ) 0 (0) ( ) ! k k k f f x x k = = ——函数ƒ(x)在 处的马克劳林级数或马克劳林展开式
定义6称马克劳林级数的前(n+1)项的和 ∫(0)+f(0)x+ ∫"(0) 为f(x)的n阶泰勒多项式f(x)与n阶泰勒多项式的差值 R(x)=f(x)-f(0)+f(0)x+(0 0) n 叫做f(的n阶泰勒余项.常见的R(x)的形式是 (n+1) R (x)= (2) x(介于0与x之间) (n+1) (n+1) 或R(x) (x) n+1 (0<6<1) (n+1)! 称为泰勒余项R(x)的拉格朗目型 当n=0时,就是拉格朗日中值公式
4 定义6 称马克劳林级数的前(n+1)项的和 ( ) 2 (0) (0) (0) (0) 2! ! n n f f f f x x x n + + + ƒ(x)与n阶泰勒多项式的差值 ( ) 2 (0) (0) ( ) ( ) [ (0) (0) ] 2! ! n n n f f R x f x f f x x x n = − + + + 叫做ƒ(x)的n阶泰勒余项. ( ) 常见的 R x n 的形式是 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 0 ( 1)! n n n f R x x x n + + = + 介于 与 之 ( 1) 1 ( ) ( ) (0 1) ( 1)! n n n f x R x x n + + = + 或 ——称为泰勒余项 ( ) R x n 当n=0时, 就是拉格朗日中值公式. 间). 为ƒ(x)的n阶泰勒多项式. 的拉格朗日型
函数展开成幂级数的充要条件 定理18若函数f(x)在(-R,R内有任意阶导数,则f(x)可 展成马克劳林级数的充分必要条件是f(x)泰勒余项R(x) 满足imRn(x)=0 证因余项为R(x)=f(x)-∑ k! 而级数收敛,则当x∈(-R,R,时 f(r) k! 所以f(x)=im2 ∫(0) x' e limlf(x)-∑ 0 k! n k! slim (x)=0
5 二.函数展开成幂级数的充要条件 定理18 若函数ƒ(x)在 (-R, R)内有任意阶导数, 则ƒ(x)可 展成马克劳林级数的充分必要条件是ƒ(x)的泰勒余项 满足 ( ) R x n lim ( ) 0. n n R x → = ( ) 0 (0) ( ) ( ) ! n k k n k f R x f x x = k = − x R R −( , ), ( ) 0 (0) ( ) lim ! n k k n k f f x x → = k 所以 = ( ) 0 (0) lim[ ( ) ] 0 ! n k k n k f f x x → = k − = lim ( ) 0 n n R x → = 证 因余项为 而级数收敛,则当 ( ) 0 (0) ( ) ! k k k f f x x k = = 时