§7.4幂级数 在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每 项都是x的幂函数,即an=anx(n∈N).我们称这种函数 项级数为幂级数 幂级数的概念 定义4形如∑anx”=a+ax+…+anx"+ 1) 与∑a(x-x)=a+a1(x-x)+…+a1(x-x) 的级数,分别称为x的幂级数与(x-x)的幂级数其中 称为幂级数的系数
1 在函数项级数中, 有一类十分特殊的级数, 它的每一 项都是 x 的幂函数, 即 ( ) . n u a x n N n n = 一.幂级数的概念 0 1 0 (1) n n n n n a x a a x a x = 形如 = + + + + 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (2) n n n n n a x x a a x x a x x = 与 − = + − + + − + §7.4 幂级数 定义4 的级数, 分别称为 0 1 , , , , n a a a 称为幂级数的系数. 项级数为幂级数. 我们称这种函数 x的幂级数与(x - x0 )的幂级数. 其中
注1因经变换后幂级数(1)与(2)可相互转化故下面 主要讨论形式(1)的幂级数 同常数项级数相类似,有如下定义: 称函数Sn=∑a1x为幂级数∑x的部分和; 并称函数R=∑ax为幂级数∑nx“的余项 k=n+1 注2对于任何幂级数∑anx",在(,+∞内任取一点x, 均可得一个常数项级数 ∑ x0=a0+a1x0+…+anx+
2 注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下面 主要讨论形式(1)的幂级数. 同常数项级数相类似, 有如下定义: 0 n n n a x = 的部分和; 0 n k n k k S a x = 称函数 = 为幂级数 0 n n n a x = 的余项. 1 k n k k n R a x = + 并称函数 = 为幂级数 0 0 , ( , ) , n n n a x x = 注2 对于任何幂级数 在 内任取一点 − + 均可得一个常数项级数 0 0 1 0 0 0 n n n n n a x a a x a x = = + + + +
定义4若幂级数∑nx”收敛,则称x为幂级数1)的 收敛点.若幂级数∑x"发散,则称x为幂级数(1) 的发散点在幂级数∑nx中,称全部收敛点构成的集 H=0 合为幂级数(1)的收敛区域称全部发散点构成的集合为 幂级数发散区域 注3对于任何幂级数在其收敛域内任取一点均可得一 个收敛的数项级数从而有一个确定的和故在幂级数的 收敛域上幂级数的和是一个关于x的函数,这个函数称 为幂级数的和函数并记为S(x) 即S(x)=∑
3 定义4 若幂级数 0 0 n n n a x = 收敛, 则称 x0 为幂级数(1)的 若幂级数 0 0 n n n a x = 发散, 则称 x0 为幂级数(1) 在幂级数 0 中, 称全部收敛点构成的集 0 n n n a x = 合为幂级数(1)的收敛区域. 幂级数发散区域. 为幂级数的和函数.并记为 S x( ). 收敛点. 的发散点. 称全部发散点构成的集合为 注3 对于任何幂级数在其收敛域内任取一点,均可得一 个收敛的数项级数,从而有一个确定的和. 故在幂级数的 收敛域上,幂级数的和是一个 关于x 的函数, 这个函数称 0 ( ) . n n n S x a x = 即 =
∠注4若幂级数∑ax的收敛域为D则对收敛域中任意 的x,恒有 lim s(x)=S(x) n→>0 注5怎样确定幂级数∑q的收敛域呢? 若幂级数∑满足m .,x 且lim lim n→∞.(x) n1→0 则由比值判别法有 (1若1x<1即x<7(≠0∑x”则绝对收敛; ()若x>1即x>,(≠0),∑anx”发散;
4 的收敛域为D,则对收敛域中任意 0 n n n a x = lim ( ) ( ). n n S x S x → = 注5 怎样确定幂级数 的收敛域呢? 0 n n n a x = 1 lim n n n a l a + → 若幂级数 满足 = 0 n n n a x = 1 1 1 ( ) lim lim , ( ) n n n n n n n n u x a x l x u x a x + + + → → 且 = = 则由比值判别法有 0 1 (1) 1 ( 0), n n n l x x l a x l = 若 即 则绝对收敛; 0 1 (2) 1 ( 0), n n n l x x l a x l = 若 即 发散; 注4 若幂级数 的x, 恒有
3若|x=1即x=(≠0,∑anx敛散性待定 则幂级数∑的收敛区域为x<7即 n=0 即是一个以原点为中心,以,长为半径且有可能 包含端点±的区域 发散做散待定 绝对收敛 做散待定发散
5 0 1 (3) 1 ( 0), n n n l x x l a x l = 若 即= = 敛散性待定. 1 1 1 x ( , ) l l l − 即 1 l 则幂级数 的收敛区域为 0 n n n a x = 长为半径且有可能 1 l 0 ο ο 1 l − 1 l 绝对收敛 发散 敛散待定 敛散待定 发散 x 即是一个以原点为中心, 以 包含端点 的区域