第二节常用统计分布 取得总体的样本后,通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断,为此须进 步确定相应的统计量所服从的分布,除在概率论中所提到的常用分布外,本节还要介绍几个 在统计学中常用的统计分布 x2分布 分布 F分布 分布图示 ★引言 ★分位数 ★x2分布 ★例2 t分布 ★例3 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题5-2 ★返回 内容要点 分位数 设随机变量X的分布函数为F(x),对给定的实数a(0<a<1),若实数F满足不等式 PIX>Fi=a 则称F为随机变量X的分布的水平a的上侧分位数 若实数T满足不等式 P{|x卜Ta}=a 则称T为随机变量X的分布的水平a的双侧分位数 x2分布 定义1设x12…,Xn是取自总体N(0,1)的样本,则称统计量 XI+X2 (1) 服从自由度为n的x2分布记为x2~x2(m) 这里,自由度是指(1)式右端所包含的独立变量的个数 x2(n)分布的概率密度 fo 2r(n/2) 0 ≤0 其中r()为 Gamma函数,f(x)的图形如5-2-3 1.x2分布的数学期望与方差 右 (n),则E(x2)=n,D(x2)= 2.x2分布的可加性 若x2~x2(m,x2~x2(n),且x2,x2相互独立,则x2+2~x2(m+m) 3.x2分布的分位数 设x2~x2(n),对给定的实数a(0<a<1,称满足条件 P(x'>xa(n))=m/(dr=a 的点x2(m)为x2(m)分布的水平a的上侧分位数,简称为上侧a分位数对不同的a与n,分
第二节 常用统计分布 取得总体的样本后, 通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断, 为此须进一 步确定相应的统计量所服从的分布, 除在概率论中所提到的常用分布外, 本节还要介绍几个 在统计学中常用的统计分布: 2 分布 t 分布 F 分布 分布图示 ★ 引言 ★ 分位数 ★ 例 1 ★ 2 分布 ★ 例 2 ★ t 分布 ★ 例 3 ★ F 分布 ★ 例 4 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 5-2 ★ 返回 内容要点 一、分位数 设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 对给定的实数 (0 1), 若实数 F 满足不等式 P{X F} = , 则称 F 为随机变量 X 的分布的水平 的上侧分位数. 若实数 T 满足不等式 P{| X |T}= , 则称 T 为随机变量 X 的分布的水平 的双侧分位数. 二、 2 分布 定义 1 设 X X Xn , , , 1 2 是取自总体 N(0,1) 的样本, 则称统计量 2 2 2 2 1 2 = X + X ++ Xn (1) 服从自由度为 n 的 2 分布,记为 ~ ( ). 2 2 n 这里, 自由度是指(1)式右端所包含的独立变量的个数. ( ) 2 n 分布的概率密度: = − − 0, 0 , 0. 2 ( / 2) 1 ( ) 2 1 1 2 / 2 x x e x n f x x n n 其中 () 为 Gamma 函数， f (x) 的图形如 5-2-3. 1. 2 分布的数学期望与方差: 若 ~ ( ) 2 2 n , 则 ( ) , ( ) 2 . 2 2 E = n D = n 2． 2 分布的可加性: 若 ~ ( ), ~ ( ), 2 2 2 2 2 1 m n 且 2 2 2 1 , 相互独立，则 ~ ( ). 2 2 2 2 1 + m + n 3． 2 分布的分位数: 设 ~ ( ) 2 2 n ，对给定的实数 (0 1), 称满足条件 = = + ( ) 2 2 2 { ( )} ( ) n P n f x dx 的点 ( ) 2 n 为 ( ) 2 n 分布的水平 的上侧分位数. 简称为上侧 分位数. 对不同的 与 n, 分
位数的值已经编制成表供查用(参见附表) 三、t分布 定义2设X~N(0,1,y~x2(mn),且x与Y相互独立则称 服从自由度为n的t分布,记为t~(n) r(n)分布的概率密度 f(x)I(+/211x2 ∞<【<+0 t分布具有如下性质 1.f(x)的图形关于y轴对称,且imf(x)=0; 2.当n充分大时,t分布近似于标准正态分布; 3.t分布的分位数 设T~la(n),对给定的实数a(0<a<1,称满足条件 f(x)ax=a 的点(m)为(n)分布的水平a的上侧分位数.由密度函数f(x)的对称性,可得 -a(n)=-ta(n) 类似地,我们可以给出t分布的双侧分位数 P{|T卜tan2(m)}= f(x)dx+ f()dx=a, 显然有 PT>t,(m}=a;P{T<-t(m)}=" 对不同的a与n,t分布的双侧分位数可从附表查得 四、F分布 定义3设X~x2(m),Y~x2(m),且X与Y相互独立,则称 X/m nX 服从自由度为(m,n)的F分布,记为F~F(m,n) F(m,n)分布的概率密度 f(x)=1T(m2)(n/4八(0今x12(×2s F分布具有如下性质 1.若X~t(n),则X2~F(1,n) 若F~F(m,n),则 3.F分布的分位数 设F~F(n,m),对给定的实数a(0<a<1),称满足条件 PF>F 的点F(n,m)为F(n,m)分布的水平a的上侧分位数F分布的上侧分位数的可自附表查得
位数的值已经编制成表供查用(参见附表). 三、t 分布 定义 2 设 ~ (0,1), ~ ( ) 2 X N Y n ,且 X 与 Y 相互独立,则称 Y n X t / = 服从自由度为 n 的 t 分布, 记为 t ~ t(n) , t(n) 分布的概率密度: − + + + = + − t n x n n n f x n 1 , ( / 2) [( 1)/ 2] ( ) 2 1 2 t 分布具有如下性质： 1． f (x) 的图形关于 y 轴对称，且 lim ( ) = 0 → f x x ; 2．当 n 充分大时，t 分布近似于标准正态分布; 3．t 分布的分位数: 设 T ~ t (n) ，对给定的实数 (0 1), 称满足条件 = = + ( ) { ( )} ( ) t n P T t n f x dx 的点 t (n) 为 t(n) 分布 的水平 的上 侧分 位数. 由密度 函数 f (x) 的对称 性， 可得 ( ) ( ). t1− n = −t n 类似地，我们可以给出 t 分布的双侧分位数 {| | ( )} ( ) ( ) , ( ) ( ) / 2 / 2 / 2 = + = − + − t n t n P T t n f x dx f x dx 显然有 . 2 ; { ( )} 2 { ( )} / 2 / 2 P T t n = P T −t n = 对不同的 与 n, t 分布的双侧分位数可从附表查得. 四、F 分布 定义 3 设 ~ ( ), ~ ( ), 2 2 X m Y n 且 X 与 Y 相互独立, 则称 mY nX Y n X m F = = / / 服从自由度为 (m,n) 的 F 分布, 记为 F ~ F(m,n). F(m,n) 分布的概率密度: + + = − − + 0, 0 1 , 0 ( / 2) ( / 2) [( )/ 2] ( ) ( ) 2 1 1 2 x x x n m x n m n m m n m n f x m n m F 分布具有如下性质: 1．若 X ~ t(n) ，则 ~ (1, ); 2 X F n 2．若 F ~ F(m,n), 则 ~ ( , ). 1 F n m F 3．F 分布的分位数: 设 F ~ F (n,m) ，对给定的实数 (0 1), 称满足条件 = = + ( , ) { ( , )} ( ) F n m P F F n m f x dx 的点 F (n,m) 为 F(n,m) 分布的水平 的上侧分位数. F 分布的上侧分位数的可自附表查得
4.F分布的一个重要性质 E(m以)=~1 此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上侧分位数 例题选讲 分位数 例1(E01)设a=0.05,求标准正态分布的水平005的上侧分位数和双侧分位数 解由于d(0o5)=1-0.05=0.95,查标准正态分布函数值表可得lo5=1.645, 而水平005的双侧分位数为a03,它满足:Φ(l025)=1-0025=0.975, 查标准正态分布函数值表可得025=196 注:今后,分别记un与uan2为标准正态分布的上侧分位数与双侧分位数 x2分布 例2(E02)设x1…,X6是来自总体N(0,1)的样本,又设 y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+x6)2, 试求常数C,使Cy服从x2分布 解因为x+x2+X3N(O38=(0且相互独立,于是 +X5+X6~N(0,3) 所以 x1+X2+X3~NO1) X+x,+x x4+X5+X6 ~x2(2) 故应取C=1,则有y~x2(2 t分布 例3(E03)设随机变量X~N(2,1),随机变量F1,H2,3,F均服从N(04),且 x,H(=1,2,34)都相互独立,令 r=4x-2 试求T的分布,并确定t。的值,使P{Tpt0}=0.01 解由于X-2~N(0,1),/2~N(0,1),i=12,3,4, 故由t分布的定义知 4(X-2)X 2
4．F 分布的一个重要性质: . ( , ) 1 ( , ) F1 n m F m n − = 此式常常用来求 F 分布表中没有列出的某些上侧分位数. 例题选讲 分位数 例 1 (E01) 设 = 0.05, 求标准正态分布的水平 0.05 的上侧分位数和双侧分位数. 解 由于 ( ) 1 0.05 0.95, u0.05 = − = 查标准正态分布函数值表可得 1.645, u0.05 = 而水平 0.05 的双侧分位数为 , u0.025 它满足: ( ) 1 0.025 0.975, u0.025 = − = 查标准正态分布函数值表可得 1.96. u0.025 = 注: 今后, 分别记 u 与 / 2 u 为标准正态分布的上侧分位数与双侧分位数. 2 分布 例 2 (E02) 设 1 6 X , , X 是来自总体 N(0,1) 的样本, 又设 2 4 5 6 2 1 2 3 Y = (X + X + X ) + (X + X + X ) , 试求常数 C, 使 CY 服从 2 分布. 解 因为 ~ (0,3) X1 + X2 + X3 N ~ (0,3) X4 + X5 + X6 N 所以 ~ (0,1), 3 1 2 3 N X + X + X ~ (0,1), 3 4 5 6 N X + X + X 且相互独立, 于是 ~ (2), 3 3 2 2 4 5 6 2 1 2 3 + + + X + X + X X X X 故应取 , 3 1 C = 则有 ~ (2). 3 1 2 Y t 分布 例 3 (E03) 设随机变量 X ~ N(2,1) , 随机变量 1 2 3 4 Y ,Y ,Y ,Y 均服从 N(0,4) , 且 X,Y (i =1,2,3,4) i 都相互独立, 令 , 4( 2) 4 1 2 = − = i Yi X T 试求 T 的分布, 并确定 0 t 的值, 使 {| | } 0.01. P T t0 = 解 由于 X − 2 ~ N(0,1), Y / 2 ~ N(0,1), i =1,2,3,4, i 故由 t 分布的定义知 ~ (4), 4 2 2 4 4( 2) 2 4 1 4 2 1 4 2 1 2 t Y X Y X Y X T i i i i i i = = = − = − = − =
即T服从自由度为4的t分布:T~1(4) 由PTpl0}=001.对于n=4,a=001查附表4,得lan2=1o05(4)=46041 F分布 例4(E04)设总体X服从标准正态分布,X1,X2…,Xn是来自总体X的一个简单随机样 本,试问统计量 n>5 服从何种分布? 解因为x~NO,∑x2-x(5),∑x2~x2(m-5) ∑￥/5 且∑x2与∑X2相互独立,所以一 ~F(5,n-5),再由统计量Y的表达式, ∑x2/ 即得Y~F(5,n-5) 课堂练习 1设x1,X2,x3,X4,X5是来自正态总体N022)的样本 (1)求C使统计量yC(X1+x2)=服从(m)分布 X+x4+x (2)求2=(+x2)2 所服从的分布
即 T 服从自由度为 4 的 t 分布: T ~ t(4). 由 {| | } 0.01. P T t0 = 对于 n = 4, = 0.01 查附表 4, 得 (4) 4.6041. t / 2 = t0.005 = F 分布 例 4 (E04) 设总体X 服从标准正态分布, X X Xn , , , 1 2 是来自总体 X 的一个简单随机样 本, 试问统计量 1 , 5 5 6 2 5 1 2 = − = = X X n n Y n i i i i 服从何种分布? 解 因为 X ~ N(0,1), i ~ (5), 5 1 2 2 i= Xi ~ ( 5), 6 2 2 = − n i Xi n 且 = 5 1 2 i Xi 与 = n i Xi 6 2 相互独立, 所以 ~ (5, 5), ( 5) 5 6 2 5 1 2 − − = = F n X n X n i i i i 再由统计量 Y 的表达式, 即得 Y ~ F(5,n − 5). 课堂练习 1.设 1 2 3 4 5 X , X , X , X , X 是来自正态总体 (0,2 ) 2 N 的样本. (1) 求 C 使统计量 2 5 2 4 2 3 1 2 1 ( ) X X X C X X Y + + + = 服从 t(m) 分布; (2) 求 2 4 3 2 1 2 2 ( ) ( ) X X X X Y − + = 所服从的分布