第五节分布拟合检验 本章前四节所介绍的各种检验法,是在总体分布类型已知的情况下,对其中的未知参数 进行检验,这类统计检验法统称为参数检验.在实际问题中,有时我们并不能确切预知总体 服从何种分布,这时就需要根据来自总体的样本对总体的分布进行推断,以判断总体服从何 种分布.这类统计检验称为非参数检验.解决这类问题的工具之一是英国统计学家K.皮尔 逊在1900年发表的一篇文章中引进的——x2检验法,不少人把此项工作视为近代统计学的 开端 分布图示 ★引言 ★引例 x2检验法的基本思想 ★x2检验法的基本原理和步骤 ★x2检验法一总体含未知参数的情形 ★例1 ★例2 例3 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题7-5 返回 内容要点 、引例 例如,从1500到1931年的432年间,每年爆发战争的次数可以看作一个随即变量,据 统计,这432年间共爆发了299次战争,具体数据如下 厂战争次数Ⅹ发生X次战争的年数 48 根据所学知识和经验,每年爆发战争的次数X,可以用一个泊松随机变量来近似描述,即可 以假设每年爆发战争次数分布X近似泊松分布.于是问题归结为:如何利用上述数据检验X 服从泊松分布的假设 二、z2检验法的基本思想 x2检验法是在总体X的分布未知时,根据来自总体的样本,检验总体分布的假设的 种检验方法.具体进行检验时,先提出原假设 H0:总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设 这种检验通常称作拟合优度检验.它是一种非参数检验.一般地,我们总是根据样本观 察值用直方图和经验分布函数,推断出总体可能服从的分布,然后作检验 x2检验法的基本原理和步骤 1)提出原假设 H0:总体X的分布函数为F(x) 如果总体分布为离散型,则假设具体为 H0:总体X的分布律为P{X=x}=P,i=12, 如果总体分布为连续型,则假设具体为
第五节 分布拟合检验 本章前四节所介绍的各种检验法, 是在总体分布类型已知的情况下, 对其中的未知参数 进行检验, 这类统计检验法统称为参数检验. 在实际问题中, 有时我们并不能确切预知总体 服从何种分布, 这时就需要根据来自总体的样本对总体的分布进行推断, 以判断总体服从何 种分布. 这类统计检验称为非参数检验. 解决这类问题的工具之一是英国统计学家 K. 皮尔 逊在 1900 年发表的一篇文章中引进的—— 2 检验法，不少人把此项工作视为近代统计学的 开端。 分布图示 ★ 引言 ★ 引例 ★ 2 检验法的基本思想 ★ 2 检验法的基本原理和步骤 ★ 2 检验法－总体含未知参数的情形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 7-5 ★ 返回 内容要点 一、引例 例如, 从 1500 到 1931 年的 432 年间, 每年爆发战争的次数可以看作一个随即变量, 据 统计, 这 432 年间共爆发了 299 次战争, 具体数据如下: 战争次数 X 发生 X 次战争的年数 0 223 1 142 2 48 3 15 4 4 根据所学知识和经验, 每年爆发战争的次数 X, 可以用一个泊松随机变量来近似描述, 即可 以假设每年爆发战争次数分布 X 近似泊松分布. 于是问题归结为：如何利用上述数据检验 X 服从泊松分布的假设. 二、 2 检验法的基本思想 2 检验法是在总体 X 的分布未知时, 根据来自总体的样本, 检验总体分布的假设的一 种检验方法. 具体进行检验时，先提出原假设: H0 : 总体 X 的分布函数为 F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设. 这种检验通常称作拟合优度检验. 它是一种非参数检验. 一般地, 我们总是根据样本观 察值用直方图和经验分布函数, 推断出总体可能服从的分布, 然后作检验. 三、 2 检验法的基本原理和步骤 1) 提出原假设: H0 :总体 X 的分布函数为 F(x) 如果总体分布为离散型, 则假设具体为 H0 :总体 X 的分布律为 P{X = xi } = pi ,i =1,2, 如果总体分布为连续型, 则假设具体为
H0:总体X的概率密度函数f(x) 2)将总体X的取值范围分成k个互不相交的小区间,记为A,…4,如可取为 (ao, a,(a,,a2],--(ak-2ak-IL(ak-,ak) 其中a可取-∞,a可取+∞:区间的划分视具体情况而定,使每个小区间所含样本值个数 不小于5,而区间个数k不要太大也不要太小 3)把落入第i个小区间A的样本值的个数记作f,称为组频数所有组频数之和 f+f2+…+f6等于样本容量n 4)当H0为真时,根据所假设的总体理论分布,可算出总 体x的值落入第i个小区间A的概率P1,于是m,就是落入第i个小区间A的样本值的理论 频数 5)当H为真时,n次试验中样本值落入第i个小区间A的频率fn与概率p2应很接 近,当H不真时,则∫/n与P相差较大,基于这种思想,皮尔逊引进如下检验统计量 ∑)并证明了下列结论 定理1当n充分大(n≥50)时,则统计量x2近似服从x2(k-1)分布 根据该定理,对给定的显著性水平a,确定1值,使 Pix>=a 查x2分布表得,l=x2(k-1),所以拒绝域为 x2>x2(k-1) 若由所给的样本值x,x2…,xn算得统计量x2的实测值落入拒绝域,则拒绝原假设H, 否则就认为差异不显著而接受原假设H 四、总体含未知参数的情形 在对总体分布的假设检验中,有时只知道总体X的分布函数的形式,但其中还含有未知 参数,即分布函数为 F(x,B1,B2,…,O), 其中B,B2…,O为未知参数.设x1,X2,…Xn是取自总体X的样本,现要用此样本来检验假 设 H0:总体X的分布函数为F(x,,B2,…,O,) 此类情况可按如下步骤进行检验: l)利用样本x1,X2,…,Xn,求出1,B2…,的最大似然估计B,B,…,, 2)在F(x,B1,O2,…O,),中用代替O(=1,2…,r),则F(x,B1,O2,…O,),就变成完全已知 的分布函数F(x,O,2…O) 3)计算p1时,利用F(x,B1,B2…,).计算P2的估计值户(=1,2,…,k) 4)计算要检验的统计量 x2=∑(1-m)/m 当n充分大时统计量x2近似服从z2(k-r-1分布 5)对给定的显著性水平a,得拒绝域 ∑(-m)/m>z2(k-r-1 注:在使用皮尔逊x2检验法时,要求n≥50,以及每个理论频数m1≥5(i=1,…,k),否 则应适当地合并相邻的小区间,使m1满足要求
H0 :总体 X 的概率密度函数 f (x). 2) 将总体 X 的取值范围分成 k 个互不相交的小区间, 记为 A A Ak , 1, 2, ，如可取为 ( , ],( , ], ,( ],( , ); a0 a1 a1 a2 ak−2, ak−1 ak−1 ak 其中 0 a 可取 −， k a 可取 + ；区间的划分视具体情况而定，使每个小区间所含样本值个数 不小于 5，而区间个数 k 不要太大也不要太小; 3) 把落入第 i 个小区间 Ai 的样本值的个数记作 i f , 称为组频数,所有组频数之和 k f + f ++ f 1 2 等于样本容量 n ; 4) 当 H0 为真时，根据所假设的总体理论分布,可算出总 体 X 的值落入第 i 个小区间 Ai 的概率 i p , 于是 i np 就是落入第 i 个小区间 Ai 的样本值的理论 频数. 5) 当 H0 为真时, n 次试验中样本值落入第 i 个小区间 Ai 的频率 f i / n 与概率 i p 应很接 近, 当 H0 不真时, 则 f i / n 与 i p 相差较大. 基于这种思想, 皮尔逊引进如下检验统计量 . ( ) 1 2 2 = − = k i i i i np f np 并证明了下列结论. 定理 1 当 n 充分大 (n 50) 时, 则统计量 2 近似服从 ( 1) 2 k − 分布. 根据该定理, 对给定的显著性水平 , 确定 l 值, 使 { } = 2 P l , 查 2 分布表得, ( 1), 2 l = k − 所以拒绝域为 ( 1). 2 2 k − 若由所给的样本值 n x , x , , x 1 2 算得统计量 2 的实测值落入拒绝域, 则拒绝原假设 H0 , 否则就认为差异不显著而接受原假设 H0 . 四、总体含未知参数的情形 在对总体分布的假设检验中, 有时只知道总体X 的分布函数的形式, 但其中还含有未知 参数, 即分布函数为 ( , , , , ), 1 2 r F x 其中 r , , , 1 2 为未知参数. 设 X X Xn , , , 1 2 是取自总体 X 的样本, 现要用此样本来检验假 设: H0 :总体 X 的分布函数为 ( , , , , ), 1 2 r F x 此类情况可按如下步骤进行检验： 1) 利用样本 X X Xn , , , 1 2 ,求出 r , , , 1 2 的最大似然估计 r ˆ , , ˆ , ˆ 1 2 , 2) 在 ( , , , , ), 1 2 r F x 中用 i ˆ 代替 (i 1,2, ,r), i = 则 ( , , , , ), 1 2 r F x 就变成完全已知 的分布函数 ). ˆ , , ˆ , ˆ ( , 1 2 r F x 3) 计算 i p 时, 利用 ). ˆ , , ˆ , ˆ ( , 1 2 r F x 计算 i p 的估计值 p ˆ (i 1,2, , k); i = 4) 计算要检验的统计量 = = − k i i npi npi f 1 2 2 ( ˆ ) / ˆ , 当 n 充分大时,统计量 2 近似服从 ( 1) 2 k − r − 分布; 5) 对给定的显著性水平 , 得拒绝域 ( ˆ ) / ˆ ( 1). 2 1 2 2 = − − − = f np np k r k i i i i 注: 在使用皮尔逊 2 检验法时，要求 n 50 ，以及每个理论频数 np 5(i 1, , k) i = ，否 则应适当地合并相邻的小区间，使 npi 满足要求
例题选讲 例I(Eo1)将一颗骰子掷120次,所得数据见下表 点数 23456 出现次数/1232621201516 问这颗骰子是否均匀、对称(取α=0.05)? 解若这颗骰子是均匀的、对称的,则1-6点中每点出现的可能性相同,都为1/6.如果 用A表示第i点出现(=12,…6),则待检假设H:P(A4)=1/61=1.2…6 在H成立的条件下,理论概率p=p(A1)=1/6,由n=120得频率n;=20. 计算结果如下表 f P 四(/-m,)2/m) 36/20 21 6 20 1/20 4 20 l/6 20 15 l/6 20 25/20 25/20 因此分布不含未知参数,又k=6a=005,查表得x2(k-1)=x205(5)=11071 由上表,知x2= (1- 48<11071,故接受H,认为这颗骰子是均匀对称的 例2(E02)检验引例中对战争次数X提出的假设H0:X服从参数为A的泊松分布 根据观察结果,得参数λ的最大似然估计为λ=x=0.69.按参数为0.69的泊松分布,计 算事件X=i的概率P,P1的估计是问=e0690.69/l,i=01234 根据引例所给数表,将有关计算结果列表如下 战争次数x 实测频数f223142 P 0.580.310.18 216.7149.551.612.02.16 14.16
例题选讲 例 1(E01) 将一颗骰子掷 120 次, 所得数据见下表 23 26 21 20 15 16 1 2 3 4 5 6 i f i 出现次数 点数 问这颗骰子是否均匀、对称 (取 = 0.05 )？ 解 若这颗骰子是均匀的、对称的, 则 1~6 点中每点出现的可能性相同, 都为 1/6. 如果 用 Ai 表示第 i 点出现 (i =1,2, ,6), 则待检假设 H0 : P(Ai ) =1/ 6 i =1,2 ,6. 在 H0 成立的条件下, 理论概率 = ( ) =1/ 6, pi p Ai 由 n =120 得频率 = 20. npi 计算结果如下表. i i f i p npi ( ) /( ) 2 i npi npi f − 1 23 1/6 20 9/20 2 26 1/6 20 36/20 3 21 1/6 20 1/20 4 20 1/6 20 0 5 15 1/6 20 25/20 6 15 1/6 20 25/20 合计 120 4.8 因此分布不含未知参数, 又 k = 6, = 0.05, 查表得 ( 1) (5) 11.071. 2 0.05 2 k − = = 由上表, 知 4.8 11.071, ( ) 6 1 2 2 = − = i= i i i np f np 故接受 , H0 认为这颗骰子是均匀对称的. 例 2 (E02) 检验引例中对战争次数 X 提出的假设 H0 : X 服从参数为 的泊松分布. 根据观察结果, 得参数 的最大似然估计为 0.69. ˆ = x = 按参数为 0.69 的泊松分布, 计 算事件 X = i 的概率 , i p i p 的估计是 ˆ 0.69 / !, 0.69 p e i i i − = i = 0,1,2,3,4 根据引例所给数表, 将有关计算结果列表如下: 战争次数 x 0 1 2 3 4 实测频数 i f 223 142 48 15 4 i p ˆ 0.58 0.31 0.18 0.01 0.02 npi ˆ 216.7 149.5 51.6 12.0 2.16 14.16
(1-m)m0.1830.3760.251 1.623 ∑=2433 将m<5的组予以合并,即将以生3次及4次战争的组归并为一组因H0所假设的理论 分布中有一个未知参数,故自由度为4-1-1=2 按a=005,自由度为2查x2分布表得x205(2)=5991 因统计量x2的观察值x2=2433<591未落入拒绝域故认为每年发生战争的次数 X服从参数为069的泊松分布 例3一农场10年前在一鱼塘里按比例20:154025投放了四种鱼:鲑鱼,鲈鱼竹夹鱼 和鲇鱼的鱼苗.现在在鱼塘里获得一样本如下 种类 鲑鱼鲈鱼竹夹鱼鲇鱼 数量(条) 600 试取a=0.05检验各类鱼数量的比例较10年前是否有显著改变 解以X记鱼种类的序号,按题意需检验假设 H0X的分布律为 P 0.25 所需计算列在下表中.现在 x=614600=4,k=4,r=0 np,//np A11320.20120145.20 但x605(k-r-1)=x0(3)=7815<11.14 A21000.15901111 42000402401667 故拒绝H0,认为各鱼类数量之比较10年前 44168|025|15018816 611.14 有显著改变 例4在一次实验中,每隔一定时间时观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的a粒 子数X,共观察了100次,得结果如下表所示 铀放射的到达计数器上的a粒子数的实验记录 i|012345678 1011≥12 15161726119921210 A, Ao A, A2 A3 A4 As A6 A, AgAg A1o4uau 其中/是观察到有个a粒子的次数从理论上考虑知X应服从泊松分布 n e PIX=i= ,l=0,,2, 试在水平0.05下检验假设H0:总体Y服从泊松分布 PX=i= n,=0,1,2,… 解因在H0中参数未具体给出,所以先估计
i npi npi ( f − ˆ )/ ˆ 0.183 0.376 0.251 1.623 = 2.433 将 np ˆ i 5 的组予以合并, 即将以生 3 次及 4 次战争的组归并为一组.因 H0 所假设的理论 分布中有一个未知参数, 故自由度为 4 −1−1 = 2. 按 = 0.05, 自由度为 2 查 2 分布表得 (2) 5.991, 2 0.05 = 因统计量 2 的观察值 2.433 5.991, 2 = 未落入拒绝域. 故认为每年发生战争的次数 X 服从参数为 0.69 的泊松分布. 例 3 一农场 10 年前在一鱼塘里按比例 20:15:40:25 投放了四种鱼: 鲑鱼, 鲈鱼, 竹夹鱼, 和鲇鱼的鱼苗. 现在在鱼塘里获得一样本如下: 序号 1 2 3 4 种类 鲑鱼 鲈鱼 竹夹鱼 鲇鱼 数量(条) 132 100 200 168 = 600 试取 = 0.05 检验各类鱼数量的比例较 10 年前是否有显著改变. 解 以 X 记鱼种类的序号, 按题意需检验假设: H0 :X 的分布律为 所需计算列在下表中. 现在 611.14 600 2 = − =11.14, k = 4, r = 0, 但 ( 1) 2 0.05 k− r− (3) 7.815 11.14 2 = 0.05 = 故拒绝 , H0 认为各鱼类数量之比较 10 年前 有显著改变. 例 4 在一次实验中, 每隔一定时间时观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的 a 粒 子数 X , 共观察了 100 次, 得结果如下表所示 铀放射的到达计数器上的 粒子数的实验记录 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A A A A A A A A A A A A A f i i i 其中f i是观察到有i个粒子的次数.从理论上考虑知X应服从泊松分布 , 0,1,2, . ! { = } = = − i i e P X i i 0.05 : : 试在水平 下检验假设H0 总体X服从泊松分布, 0,1,2, . ! { = } = = − i i e P X i i 解 因在 H0 中参数 未具体给出, 所以先估计 . X 1 2 3 4 i p 0.20 0.15 0.40 0.25 611.14 168 0.25 150 188.16 200 0.40 240 166.67 100 0.15 90 111.11 132 0.20 120 145.20 ˆ ˆ / ˆ 4 3 2 1 2 = A A A A Ai f i pi npi f i npi
由最大似然估计法得A=x=42.在H假设下,即在X服从泊松分布的假设下,x所有 可能取的值为{0,1,2…},将其分成如表所示的两两不相交的子集将其分成如表所示的两两 不相交的子集A4,41…,A42,则P{X=1}有估计 P i一,=0,1 计算结果如表所示,其中有些m<5的组予以适当合并,使得每组均有m<5,如表中 第四列花括号所示.此处,并组后k=8,但因在计算概率时,估计了一个参数λ,故r=1 2的自由度为8-1-1=6.查表得xa0(8-1-1)=x205(6)=12592 现在x2=106.281-100=6281<12.592,故在水平005下接受H0,即认为样本来自泊松布 总体 例5(E03)为检验棉纱的拉力强度(单位:公斤服从正态分布,从一批棉纱中随机抽取 300条进行拉力试验,结果列在下表中,我们的问题是检验假设 H0:X~N(,a2)(a=001) 表7-5-5棉纱拉力数据 10.5~0.64 8148~1.6253 20.64~07829162~1.762 3078~0.92910176~1.9019 4092~1062511190~20416 5106~12037122.04~2183 6120~13453|132.18~2381 71.34~14856 解可按以下四步来检验 (1)将观测值x分成13组:a0=-∞,a1=0.64,a2=0.78,…,a12=2B8,a13= 但是这样分组后,前两组和最后两组的mP2比较小,故把它们合并成为一个组(见分组数 据表) (2)计算每个区间上的理论频数这里F(x)就是正态分布N(,a2)的分布函数,含有两 个未知数和σ2,分别用它们的最大似然估计正=X和G2=∑(X,-X)加来代替关于R 的计算作如下说明:因拉力数据表中的每个区间都很狭窄,我们可认为每个区间内x1都取 这个区间的中点,然后将每个区间的中点值乘以该区间的样本数,将这些值相加再除以总样 本数就得具体样本均值X,计算得到:山=141,G2=0.262
由最大似然估计法得 4.2. ˆ = x = 在 H0 假设下, 即在 X 服从泊松分布的假设下, X 所有 可能取的值为 {0,1,2, }, 将其分成如表所示的两两不相交的子集将其分成如表所示的两两 不相交的子集 , , , , A0 A1 A12 则 P{X = i} 有估计 , ! 4.2 ˆ 4.2 i e p i i − = i = 0,1, 计算结果如表所示, 其中有些 np ˆ i 5 的组予以适当合并, 使得每组均有 ˆ 5, npi 如表中 第四列花括号所示. 此处, 并组后 k = 8, 但因在计算概率时, 估计了一个参数 , 故 r =1, 2 的自由度为 8 −1−1 = 6. 查表得 (8 1 1) (6) 12.592 2 0.05 2 0.05 − − = = 现在 106.281 100 6.281 12.592, 2 = − = 故在水平 0.05 下接受 , H0 即认为样本来自泊松布 总体. 例 5(E03) 为检验棉纱的拉力强度(单位: 公斤)X 服从正态分布, 从一批棉纱中随机抽取 300 条进行拉力试验, 结果列在下表中, 我们的问题是检验假设 : H0 ~ ( , ) ( 0.01) 2 X N = . 表 7-5-5 棉纱拉力数据 7 1.34 ~ 1.48 56 6 1.20 ~ 1.34 53 13 2.18 ~ 2.38 1 5 1.06 ~ 1.20 37 12 2.04 ~ 2.18 3 4 0.92 ~ 1.06 25 11 1.90 ~ 2.04 16 3 0.78 ~ 0.92 9 10 1.76 ~ 1.90 19 2 0.64 ~ 0.78 2 9 1.62 ~ 1.76 25 1 0.5 ~ 0.64 1 8 1.48 ~ 1.62 53 i i i x f i x f 解 可按以下四步来检验: (1) 将观测值 i x 分成 13 组: , a0 =− 0.64, a1= 0.78, a2 = , 2.18, a12= , a13= 但是这样分组后, 前两组和最后两组的 i np 比较小, 故把它们合并成为一个组(见分组数 据表) (2) 计算每个区间上的理论频数. 这里 F(x) 就是正态分布 ( , ) 2 N 的分布函数, 含有两 个未知数 和 , 2 分别用它们的最大似然估计 ˆ =X 和 = = − n i Xi X n 1 2 2 ˆ ( ) / 来代替. 关于 X 的计算作如下说明: 因拉力数据表中的每个区间都很狭窄, 我们可认为每个区间内 Xi 都取 这个区间的中点, 然后将每个区间的中点值乘以该区间的样本数, 将这些值相加再除以总样 本数就得具体样本均值 X , 计算得到: ˆ = 1.41, ˆ 0.26 . 2 2 =