第五节随机变量函数的分布 分布图示 ★随机变量的函数 ★离散型随机变量函数的分布 ★例1 ★连续型随机变量函数的分布 ★例2 ★例3 ★例5 ★有关直接确定密度函数的一个定理 ★例6 ★例8 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题2-5 ★返回 内容要点 随机变量的函数 定义如果存在一个函数g(Y),使得随机变量X,}满足: Y=g(X) 则称随机变量Y是随机变量X的函数. 注:在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时,主要研究函数关系的确定性特征,例如 导数、积分等而在概率论中,我们主要研究是随机变量函数的随机性特征,即由自变量X的 统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律 一般地,对任意区间I,令C={x|g(x)∈l},则 {Y∈l}={g(x)∈l}={X∈C P{Y∈l}=P{g(x)∈l}=P{X∈C} 注:随机变量Y与X的函数关系确定,为从X的分布出发导出Y的分布提供了可能 二、高散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X=x2}=P2,i=1,2,… 易见,X的函数Y=g(X)显然还是离散型随机变量 如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布?其一般方法是:先根据自变量X的可能 取值确定因变量γ的所有可能取值,然后对Y的每一个可能取值y,i=12…,确定相应的 C={x|g(x)=y}于是 {=y}={g(x)=y}={X∈C} PY=y}=PX∈C}=∑PX=x} x∈C 从而求得y的概率分布
第五节 随机变量函数的分布 分布图示 ★ 随机变量的函数 ★ 离散型随机变量函数的分布 ★ 例1 ★ 连续型随机变量函数的分布 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 有关直接确定密度函数的一个定理 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2-5 ★ 返回 内容要点 一、随机变量的函数 定义 如果存在一个函数 g(X) , 使得随机变量 X,Y 满足: Y = g(X) , 则称随机变量 Y 是随机变量 X 的函数. 注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如: 导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量 X 的 统计规律性出发研究因变量 Y 的统计性规律. 一般地, 对任意区间 I , 令 C ={x | g(x)I}, 则 {Y I}={g(x)I}={X C}, P{Y I} = P{g(x)I}= P{X C}. 注: 随机变量 Y 与 X 的函数关系确定,为从 X 的分布出发导出 Y 的分布提供了可能. 二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量 X 的概率分布为 P{X = xi } = pi ,i =1,2, 易见, X 的函数 Y = g(X) 显然还是离散型随机变量. 如何由 X 的概率分布出发导出 Y 的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量 X 的可能 取值确定因变量 Y 的所有可能取值, 然后对 Y 的每一个可能取值 y ,i =1,2, , i 确定相应的 { | ( ) }, i j j i C = x g x = y 于是 { } { ( ) } { }, i i i X Ci Y = y = g x = y = { } { } { }. = = = = j Ci x i i j P Y y P X C P X x 从而求得 Y 的概率分布
三、连续型随机变量函数的分布 一般地,连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量,但我们主要讨论连续型随机 变量的函数还是连续型随机变量的情形,此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数 而且还希望求出其概率密度函数 设已知X的分布函数F(x)或概率密度函数f1(x),则随机变量函数y=g(X)的分布 函数可按如下方法求得 Fy(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y=P{X∈C 其中C,={xl8(x)≤y 而PX∈Cy常常可由X的分布函数F2(x)来表达或用其概率密度函数fx(x)的积分来 表达 P(XeC,)=S/(x)dr 进而可通过y的分布函数F(x),求出Y的密度函数 定理1设随机变量X具有概率密度f1(x),x∈(-∞,+∞),又设y=g(x)处处可导且恒有 (x)>0(或恒有g(x)<0),则Y=g(X)是一个连续型随机变量其概率密度为 fh()h)b a<y<B f(y)= 其它 其中x=h(y)是y=g(x)的反函数,且 a=mn(g(∞),g(+∞).B=max(g(-∞),g(+∞) 例题选讲 离散型随机变量函数的分布 例1(E01)设随机变量X具有以下的分布律,试求Y=(X-1)2的分布律 X|-1012 P|020.30104 解Y所有可能的取值0,1,4,由 P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2, 既得Y的分布律为 P010702 连续型随机变量函数的分布 例2(E02)设随机变量X~N(0,1,y=ex,求Y的概率密度函数
三、连续型随机变量函数的分布 一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机 变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数. 设已知 X 的分布函数 F (x) X 或概率密度函数 f (x) X , 则随机变量函数 Y = g(X) 的分布 函数可按如下方法求得: ( ) { } { ( ) } { }. Y P X Cy F y = P Y y = P g X y = 其中 C {x | g(x) y}. y = 而 { } P X Cy 常常可由 X 的分布函数 F (x) X 来表达或用其概率密度函数 f (x) X 的积分来 表达: = Cy P{X Cy } f X (x)dx 进而可通过 Y 的分布函数 F (x) Y , 求出 Y 的密度函数. 定理 1 设随机变量 X 具有概率密度 f (x), x(−,+) X ,又设 y = g(x) 处处可导且恒有 g (x) 0 (或恒有 g (x) 0 ), 则 Y = g(X) 是一个连续型随机变量,其概率密度为 = 0, 其它 [ ( )| ( )|, ( ) f h y h y y f y Y 其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数, 且 = min(g(−),g(+)), = max(g(−),g(+)). 例题选讲 离散型随机变量函数的分布 例 1(E01) 设随机变量 X 具有以下的分布律, 试求 2 Y = (X −1) 的分布律. 0.2 0.3 0.1 0.4 1 0 1 2 pi X − 解 Y 所有可能的 取值 0,1,4,由 { 4} { 1} 0.2, { 1} { 0} { 2} 0.7, { 0} {( 1) 0} { 1} 0.1, 2 = = = − = = = = + = = = = − = = = = P Y P X P Y P X P X P Y P X P X 既得 Y 的分布律为 Y 0 1 4 Pi 0.1 0.7 0.2 连续型随机变量函数的分布 例 2 (E02) 设随机变量 ~ (0,1), , X X N Y = e 求 Y 的概率密度函数
解设F(y),f(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数 则当y≤0时,有F(y)=P{F≤y=Pe≤y}=P}=0 当y>0时,因为g(x)=e是x的严格单调增函数,所以有{e≤y}={X≤hy}, 因而F(1)=Pyy=Pey=Pxhy==」 再由f1(y)=F()、得f(y)=12c y 0, 0 通常称上式中的Y服从对数正态分布,它也是一种常用寿命分布 例3(E03)设X~fx(x)= /8,0<x<4 0.其它,求Y=2X+8的概率密度 解设Y的分布函数为F(y),则 F(y)=P{Y≤y=P{2X+8≤y}=P{X≤(y-8)/2}=Fx(y-8)/2] 于是Y的密度函数()F(=/y-8)1 dy 注意到0<x<4时,f1(x)≠0,即8<y<16时,fx28≠0,且f2-8)y-8 16 故fy(y) -8)/32,8<y<16 其它 例4设X~N(01),求Y=X2的密度函数 解记y的分布函数为F1(x),则F(x)=P{≤x}=P(X2≤x 显然,当x<0时,F(x)=P(X2≤x=0, 当x≥0时,F1(x)=P(x2≤x}=P{√x<X<√x}=20(√x)-1 从而y=x2的分布函数为F(x)=20yx)-bx20 x<0 (x),x≥0 1x12x≥0 于是其密度函数为f(x)=F(x)={Jx √2m x<0 x<0 注:以上述函数为密度函数的随机变量称为服从x(1)分布,它是一类更广泛的分布 x2(n)在n=1时的特例关于x2(m)分布的细节将在第五章中给出 例5已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从 [0,]上的均匀分布
解 设 F (y), f (y) Y Y 分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函数. 则当 y 0 时, 有 F (y) P{Y y} Y = P{e y} X = = P{} = 0. 当 y 0 时, 因为 x g(x) = e 是 x 的严格单调增函数, 所以有 {e y} {X ln y}, X = 因而 F (y) P{Y y} Y = P{e y} X = = P{X ln y} . 2 1 ln 2 2 − − = y x e dx 再由 ( ) ( ), ' f y F y Y = Y 得 . 0, 0 , 0 2 1 ( ) 2 (ln ) 2 = − y e y f y y Y 通常称上式中的 Y 服从对数正态分布, 它也是一种常用寿命分布. 例 3 (E03) 设 ， 其它 = 0, / 8, 0 4 ~ ( ) x x X f x X 求 Y = 2X + 8 的概率密度. 解 设 Y 的分布函数为 F ( y), Y 则 F (y) P{Y y} P{2X 8 y} Y = = + = P{X ( y − 8)/ 2} = F [(y − 8)/ 2] X 于是 Y 的密度函数 2 1 2 ( ) 8 ( ) − = = y f dy dF y f y X Y Y 注意到 0 x 4 时， f (x) 0, X 即 8 y 16 时， 0, 2 8 y − f X 且 16 8 2 8 − = y − y f X 故 . 0, ( 8)/ 32, 8 16 ( ) − = 其它 y y f y Y 例 4 设 X ~ N(0,1) , 求 2 Y = X 的密度函数. 解 记 Y 的分布函数为 F (x), Y 则 ( ) { } { }. 2 F x P Y x P X x Y = = 显然, 当 x 0 时， ( ) { } 0; 2 FY x = P X x = 当 x 0 时, ( ) { } 2 F x P X x Y = = P{− x X x} = 2( x) −1. 从而 2 Y = X 的分布函数为 − = 0, 0 2 ( ) 1, 0 ( ) x x x F x Y 于是其密度函数为 = = 0, 0 ( ), 0 1 ( ) ( ) x x x x f x F x Y Y . 0, 0 , 0 2 1 / 2 = − x e x x x 注: 以上述函数为密度函数的随机变量称为服从 (1) 2 分布, 它是一类更广泛的分布 ( ) 2 n 在 n = 1 时的特例. 关于 ( ) 2 n 分布的细节将在第五章中给出. 例 5 已知随机变量 X 的分布函数 F(x) 是严格单调的连续函数, 证明 Y = F(X) 服从 [0,1] 上的均匀分布
证明设Y的分布函数是G(y),由于0≤y≤1,于是对y<0,G()=0,对 y>1,G()=1,又由于x的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数F存在且严格 递增对0≤y≤1 G()=PY≤y}=PF(X)≤y}=PX≤F(y)}=F(F-(y)=y 即y的分布函数是G(y)={y,0≤y≤1 求导得Y的密度函数8以)≈10≤y≤1可见,y服从0]上的均匀分布证毕 0,其它 注:本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 例6(E04)设随机变量X~N(山,.2)试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态 分布 证x的概率密度为fx(x)=√2a 0<x+∞ 由y=g(x)=ax+b解得x=M()2=y=b,且有从而y=ax+b的概率密度为 fr 0<y< 即f(y) a|a√2x (-∞<y<+∞) 即有Y=aX+b~N(ap+b、a)2) 特别地,若在本例中取a=1,b=-2,则得y=x-N0 这就是上节中一个已知定理的结果 例7设随机变量X服从参数为A的指数分布,求Y=mn{X,2}的分布函数 解根据已知结果,X的分布函数 Fr(x) x≤0 Y的分布函数 Fr()=P(Y sy)=P(min(X, 2)sy)=l-P(min(X, 2 >y)=l-P(X>y, 2>y) 当y<2时,F(y)=1-P{X>y=P{X≤y}=Fx(y)
证明 设 Y 的分布函数是 G(y), 由于 0 y 1, 于是对 y 0, G(y) = 0; 对 y 1, G(y) =1; 又由于 X 的分布函数 F 是严格递增的连续函数, 其反函数 −1 F 存在且严格 递增. 对 0 y 1, G(y) = P{Y y}= P{F(X) y} = P X F y = F F y = y − − { ( )} ( ( )) 1 1 即 Y 的分布函数是 = 1, 1 , 0 1 0, 0 ( ) y y y y G y 求导得 Y 的密度函数 = 0, 其它 1, 0 1 ( ) y g y 可见, Y 服从[0,1]上的均匀分布. 证毕. 注：本例的结论在计算机模拟中有重要的应用. 例 6 (E04) 设随机变量X ~ N(, 2 ).试证明X的线性函数 Y = aX + b (a 0) 也服从正态 分布. 证 X 的概率密度为 , 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) − − = x X f x e − x +. 由 y = g(x) = ax + b 解得 ( ) , a y b x h y − = = 且有从而 Y = aX + b 的概率密度为 , | | 1 ( ) − = a y b f a f y Y X − y +, 即 2 2 2 2 1 | | 1 ( ) − − = a y b Y e a f y 2 2 2( ) [ ( )] | | 2 1 a y b a e a − + − = (− y +) 即有 ~ ( ,( ) ). 2 Y = aX + b N a + b a 特别地, 若在本例中取 , 1 a = , b = − 则得 ~ N(0,1). X Y − = 这就是上节中一个已知定理的结果. 例 7 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布, 求 Y = min{X,2} 的分布函数. 解 根据已知结果, X 的分布函数 − = − 0, 0 1 , 0 ( ) x e x F x x X Y 的分布函数 F ( y) P{Y y} P{min{X,2} y} Y = = =1− P{min{X,2} y} =1− P{X y,2 y}. 当 y 2 时， F ( y) 1 P{X y} P{X y} F ( y), Y = − = = X
当y≥2时 代入x的分布函数中可得F(y)={1-e-,0<y<2 ≥2 注:在本例中,虽然X是连续型随机变量,但Y不是连续型随机变量,也不是离散型 随机变量,Y的分布在y=2处间断 例8(E05)设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布,求Y=-2hX的概率密度 解在区间(0,1)上,函数lnx<0,故y=-2hx>0,y=--<0 于是y在区间(,+∞)上单调下降,有反函数x=H(y)=ey2 从而 cu 其它 已知X在在(0,1)上服从均匀分布 fx(r) o.其它 代入()的表达式中,得f(y2=2m2,y0 0.其它 即Y服从参数为1/2的指数分布 课堂练习 1.设X的分布列为 25/2 P1|1/51/101/101/103/10 试求:(1)2X的分布列;(2)X2的分布列 2.设随机变量X的概率密度为 f(r) 其它 求Y=siX的概率密度
当 y 2 时， F ( y) =1. Y 代入 X 的分布函数中可得 . 1, 2 1 , 0 2 0, 0 ( ) − = − y e y y F y y Y 注：在本例中, 虽然 X 是连续型随机变量, 但 Y 不是连续型随机变量, 也不是离散型 随机变量, Y 的分布在 y = 2 处间断. 例 8 (E05) 设随机变量 X 在 (0,1) 上服从均匀分布, 求 Y = −2ln X 的概率密度. 解 在区间 (0,1) 上, 函数 ln x 0, 故 y = −2ln x 0, 0 2 = − x y 于是 y 在区间 (0,+) 上单调下降, 有反函数 / 2 ( ) y x h y e − = = 从而 = − − − 0, 其它 , 0 1 ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 / 2 y y y X Y e dy d e f e f y 已知 X 在在(0,1)上服从均匀分布, = 0, 其它 1, 0 1 ( ) x f x X 代入 f ( y) Y 的表达式中, 得 = − 0, 其它 , 0 2 1 ( ) / 2 e y f y y X 即 Y 服从参数为 1/2 的指数分布. 课堂练习 1. 设 X 的分布列为 1/ 5 1/10 1/10 1/10 3 /10 1 0 1 2 5 / 2 pi X − 试求: (1) 2X 的分布列; (2) 2 X 的分布列. 2. 设随机变量 X 的概率密度为 = 0, . 2 / , 0 , ( ) 2 其它 x x f x 求 Y = sin X 的概率密度