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《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义，理工类）第三章多维随机变量及其分布（3.1）多维随机变量及其分布

在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述例如,研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高H、体重W,这里,H和W 是定义在同一个样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量.又如,考察某次射击中弹着点的位置时,就要同时考察弹着点的横坐标X和纵坐标Y.在这种情况下,我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律,而且还要研究它们之间的统计相依关系,因而还需考察它们的联合取值的统计规律,即多为随机变量的分布.

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联合分布函数的性质: （1） 0  F(x, y) 1, 且对任意固定的 y, F(−, y) = 0, 对任意固定的 x,F(x,−) = 0, F(−,−) = 0,F(+,+) =1; (2) F(x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数, 即对任意固定的 y, 当 , ( , ) ( , ), 2 1 2 1 x  x F x y  F x y 对任意固定的 x, 当 , ( , ) ( , ); 2 1 2 1 y  y F x y  F x y (3) F(x, y) 关于 x 和 y 均为右连续, 即 F(x, y) = F(x + 0, y),F(x, y) = F(x, y + 0). 三、二维离散型随机变量及其概率分布定义 3 若二维随机变量 (X,Y) 只取有限个或可数个值, 则称 (X,Y) 为二维离散型随机变量. 结论： (X,Y) 为二维离散型随机变量当且仅当 X,Y 均为离散型随机变量. 若二维离散型随机变量 (X,Y) 所有可能的取值为 ( , ) i j x y i, j =1,2,  , 则称 P{X = x ,Y = y }= p (i, j =1,2, ) i j ij 为二维离散型随机变量 (X,Y) 的概率分布(分布律), 或 X与Y 的联合概率分布(分布律). 与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定 (X,Y) 取值于任何区域 D 上的概率，即    = x y D ij i j P X Y D p ( , ) {( , ) } , 特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数: ( , ) { , } . ,    =   = x x y y ij i j F x y P X x Y y p 四、二维连续型随机变量及其概率密度定义设 (X,Y) 为二维随机变量, F(x, y) 为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数 f (x, y) , 使对任意实数 (x, y), 有 ( , ) ( , ) , − − = x y F x y f s t dsdt 则称 (X,Y) 为二维连续型随机变量, 并称 f (x, y) 为 (X,Y) 的概率密度(密度函数), 或 X,Y 的联合概率密度(联合密度函数). 概率密度函数 f (x, y) 的性质: (1) f (x, y)  0; (2) ( , ) = (+,+) =1;    −  − f x y dxdy F (3) 设 D 是 xOy 平面上的区域,点 (X,Y) 落入 D 内的概率为

  = D P{(x, y) D} f (x, y)dxdy 特别地, 边缘分布函数 F (x) = P{X  x} = P{X  x,Y  +} X ( , ) ( , ) ,   −  + − − + −       = = x x f s t dsdt f s t dt ds 上式表明: X 是连续型随机变量, 且其密度函数为: ( ) ( , ) ,  + − f x = f x y dy X 同理, Y 是连续型随机变量, 且其密度函数为:  + − f y = f x y dx Y ( ) ( , ) , 分别称 f (x) X 和 f ( y) Y 为 (X,Y) 关于 X 和 Y 的边缘密度函数. (4) 若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续, 则有 ( , ). ( , ) 2 f x y x y F x y =    进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:当 x,y 很小时, 有 P{x  X  x + x, y  Y  y + y}  f (x, y)xy, 即, (X,Y) 落在区间 (x, x + x](y, y + y] 上的概率近似等于 f (x, y)xy. 五、二维均匀分布设 G 是平面上的有界区域,其面积为 A .若二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度函数       = 0, 其它 , ( , ) 1 ( , ) x y G f x y A 则称 (X,Y) 在 G 上服从均匀分布. 六、二维正态分布若二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度                 − +         −         − −         − − − − = 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 2 1 1 ( , )              x x y y f x y e 其中 1 , 2 , 1 , 2 ,  均为常数,且 1  0, 2  0,|  |1 ,则称 (X,Y) 服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 ,  的二维正态分布. 注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数  ，亦即对给定的 1 2 1 2  ,  , , ，不同的  对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于 X 和关于 Y 的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量 (X,Y) 的联合分布的. 例题选讲

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