《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义，理工类）第四章 随机变量的数字特征（4.2）方差

第二节方差 随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价,而随机变量取值的稳定性是 判断随机现象性质的另一个十分重要的指标 分布图示 ★引言 ★方差的定义 ★方差的计算 ★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★方差的性质 ★例7 ★例8 ★例9 ★补充说明 ★例10 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题42 返回 内容要点 、方差的定义 定义1设X是一个随机变量,若E[(X-E(X)2存在,则称它为X的方差,记为 D(X)=ELX -E(XI 方差的算术平方根√D(x)称为标准差或均方差,它与x具有相同的度量单位,在实际 应用中经常使用 方差刻划了随机变量X的取值与数学期望的偏离程度它的大小可以衡量随机变量取值 的稳定性 从方差的定义易见 (1)若X的取值比较集中,则方差较小 (2)若X的取值比较分散则方差较大 (3)若方差D(X)=0,则随机变量X以概率1取常数值,此时X也就不是随机变量了 二、方差的计算 若X是离散型随机变量,且其概率分布为 P{X=x}=P1,i=1,2 则 D(X)=∑[x-E(X)32 若X是连续型随机变量,且其概率密度为∫(x),则 D(X=I-E(X]f(x)dox

第二节 方差 随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是 判断随机现象性质的另一个十分重要的指标. 分布图示 ★ 引言 ★ 方差的定义 ★ 方差的计算 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 方差的性质 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 补充说明 ★ 例 10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 4-2 ★ 返回 内容要点 一、方差的定义 定义 1 设 X 是一个随机变量, 若 2 E[(X − E(X)] 存在,则称它为 X 的方差, 记为 ( ) [ ( )] . 2 D X = E X − E X 方差的算术平方根 D(X ) 称为标准差或均方差, 它与 X 具有相同的度量单位, 在实际 应用中经常使用. 方差刻划了随机变量 X 的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值 的稳定性. 从方差的定义易见: (1)若 X 的取值比较集中,则方差较小; (2)若 X 的取值比较分散,则方差较大; (3)若方差 D(X) = 0 , 则随机变量 X 以概率 1 取常数值,此时 X 也就不是随机变量了. 二、方差的计算 若 X 是离散型随机变量,且其概率分布为 P{X = xi } = pi ,i =1,2,  则 ( ) [ ( )] ; 1 2   = = − i i E X pi D X x 若 X 是连续型随机变量,且其概率密度为 f (x), 则 ( ) [ ( )] ( ) . 2   − D X = x − E X f x dx i

利用数学期望的性质,易得计算方差的一个简化公式 D(X)=E(x2)-[E(X 三、方差的性质 设C常数,则D(C)=0 2.若X是随机变量,若C是常数,则 3.设X,y是两个随机向量,则 DX±Y)=D(X)+D()±2E((X-E(X)(Y-E(Y) 特别地,若XY相互独立,则 注:对n维情形,有:若x1X2…,Xn相互独立,则 ∑=∑DCXD∑CX=∑GD(x 例题选讲 方差的计算 例1(E01)设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=a2≠0.记X E(X)=-E(X-)=-[E(X)-=0, Dx')=E(x")-E(x")=E(x=)2]=1E(x-m21=9=1 即x'=x的数学期望为0.方差为1.x称为x的标准化变量 例2(E02)设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律为 P{X=0}=1-p,P{X=1}=P 求E(X),D(X) 解E(X)=0·(1-p)+1·p=P,E(x2)=02(1-p)+12p=p, 故D(X)=E(x2)-[E(X)2=p-p2=p(1-p) 例3(E03)设X~P(),求E(X),D(X) 解X的分布律为P(x==xC,k=012…,>0 k! 则E(X)=∑

利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式: 2 2 D(X) = E(X ) −[E(X)] . 三、方差的性质 1. 设 C 常数, 则 D(C) = 0 ; 2. 若 X 是随机变量, 若 C 是常数, 则 ( ) ( ); 2 D CX =C D X 3. 设 X,Y 是两个随机向量,则 D(X  Y) = D(X) + D(Y)  2E((X − E(X))(Y − E(Y))); 特别地, 若 X,Y 相互独立, 则 D(X  Y) = D(X) + D(Y). 注: 对 n 维情形, 有: 若 X X Xn , , , 1 2  相互独立, 则 ( ), ( ). 1 2 1 1 1     = = = =  =       =      n i i i n i i i n i i n i D Xi D X D C X C D X 例题选讲 方差的计算 例 1(E01) 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) = , 方差 ( ) 0. 2 D X =  记 , *  −  = X X 则 [ ( ) ] 0; 1 ( ) 1 ( ) * = − = −  =    E X E X E X [( ) ] 1. 1 ( ) ( ) [ ( )] [( ) ] 2 2 2 2 * *2 * 2 2 = − = = − = − =       E X X D X E X E X E 即  −  = X X * 的数学期望为 0, 方差为 1. * X 称为 X 的标准化变量. 例 2 (E02) 设随机变量 X 具有 (0 −1) 分布, 其分布律为 P{X = 0} =1− p,P{X =1} = p, 求 E(X), D(X). 解 E(X) = 0(1− p) +1 p = p, ( ) 0 (1 ) 1 , 2 2 2 E X =  − p +  p = p 故 2 2 D(X) = E(X ) −[E(X)] (1 ). 2 = p − p = p − p 例 3 (E03) 设 X ~ P(), 求 E(X), D(X). 解 X 的分布律为 , ! { } k e P X k k   − = = k = 0,1,2,  ,  0, 则   = − = 0 ! ( ) k k k e E X     = − − − = 0 1 ( 1)! k k k e     ,   =  = − e e

而 E(X2)=EX(x-1)+=EX(X-1)+E(X)=∑k(k-1 (-2)+=ee2+=2+ 故方差D(X)=E(X2)-[E(X)2= 由此可知,泊松分布的数学期望与方差相等,都等于参数.因为泊松分布只含有一个 参数λ,只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了 例4(E04)设X~U(a,b),求E(X),D(X) 解x的概率密度为f(x)={b-a a<x<b 0,其它 而E(X)=⊥x(x)t=px=b 故所求方差为 b D(X)=E(X2)-[E(P=)rkdr-/c+b2(b 例5(E05)设随机变量X服从指数分布,其概率密度为 f(r) 0 其中θ>0,求E(X),D(X) Ex)=/(=xb==+.2xm02 于是D(X)=E(x2)-[E(X)2=202-02=02.即有E(X)=,D(X)=6 例6设随机变量X,Y的联合点分布在以点(0,1),(1,0)(1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布,试求随机变量Z=X+Y的期望与方差 解三角形区域G如图所示,G的面积为1/2,所以 (X,Y)的联合概率密度为 (1,1) f(x, y)= (x,y)∈G (x,y)∈G 方法一分两步进行,第一步先求出函数Z的概率密 x+y=4 度,第二步计算Z的期望与方差设Z的分布函数F2(=)

而 ( ) [ ( 1) ] 2 E X = E X X − + X = E[X(X −1)]+ E(X)   = − = − + 0 ! ( 1) k k k e k k      = − − + − = 2 2 2 ( 2)! k k k e     , 2 2       = + = + − e e 故方差 ( ) ( ) [ ( )] . 2 2 D X = E X − E X =  由此可知, 泊松分布的数学期望与方差相等, 都等于参数 . 因为泊松分布只含有一个 参数 , 只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了. 例 4 (E04) 设 X ~ U(a,b), 求 E(X), D(X). 解 X 的概率密度为 , 0, , 1 ( )       = − 其它 a x b f x b a 而  + − E(X ) = xf (x)dx  − = b a dx b a x , 2 a + b = 故所求方差为 2 2 D(X) = E(X ) −[E(X)]        + − − = b a c b dx b a x 2 2 2 1 . 12 ( ) 2 b − a = 例 5 (E05) 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为 , 0, 0 , 0 1 ( ) /       = − x e x f x x   其中   0, 求 E(X), D(X). 解  + − E(X ) = xf (x)dx  + − = 0 1 / x e dx x   , 0 / 0 /    = − + =  + − + − xe e dx x x  + − E(X ) = x f (x)dx 2 2  + − = 0 2 1 / x e dx x    + − + − = − + 0 / 0 2 / x e 2xe dx x  x  2 , 2 =  于是 2 2 D(X) = E(X ) −[E(X)] 2 . 2 2 2 =  − = 即有 E(X) =, ( ) . 2 D X = 例 6 设随机变量 X ,Y 的联合点分布在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布, 试求随机变量 Z = X + Y 的期望与方差. 解 三角形区域 G 如图所示, G 的面积为 1/2, 所以 (X,Y) 的联合概率密度为 . 0, ( , ) 2, ( , ) ( , )      = x y G x y G f x y 方法一 分两步进行, 第一步先求出函数 Z 的概率密 度, 第二步计算 Z 的期望与方差.设 Z 的分布函数 F (z), Z

(1)当z<1时,F2(=)=0 (2)当1≤z≤2时,有 F()=P{z≤+}=PX+Y≤=f(x,y)dt=2 dxdy 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1,1≤x+y≤z},DcG 故F2(z)=2D的面积= (3)当x>2时,F2(=)=1 于是F2()={1-(2-),1≤=≤2,从而f(c) 1, 其它 E(X+Y)=E(2)=2()d=1=2(2-) (x+12)(k=:2)k D(X+Y)=D(Z)=E(2)-E(Z)2= 18 方法二E(x+)=(x+y)(x)b EICX +)]=f(x+y)2/(x, y)drdy=ar[2(x+y)dy 所以D(x+》)=E(X+y)1-[E(x+)=18 方差的性质 例7(E06)设f(x)=E(X-x)2,x∈R,证明:当x=E(X)时,f(x)达到最小值 证依题f(x)=E(X-x)2=E(X2)-2xE(X) 两边对x求导数,有出(x) a=2x-2E(X),显然当x=E(们时,(x) /,p图入 =2>0,所以当x=E(X)时,∫(x)达到最小值,最小值为 f(E(XD=E(X-E(D)

则 (1) 当 z 1 时, F (z) = 0; Z (2) 当 1 z  2 时, 有 F (z) P{Z z} Z =  = P{X +Y  z}  +  = x y z f (x, y)dxdy 2 ,  = D dxdy 其中 D ={(x, y)| 0  x 1,0  y 1, 1 x + y  z},D  G, 故 FZ (z) = 2  D 的面积       = − − 2 (2 ) 2 1 2 1 2 z 1 (2 ) ; 2 = − − z (3) 当 z  2 时, F (z) =1. Z 于是 , 1, 2 1 (2 ) , 1 2 0, 1 ( ) 2       − −    = z z z z F z Z 从而 , 0, 2(2 ), 1 2 ( )    −   = 其它 z z f z z E(X +Y) = E(Z)  + − = zf z dz Z ( )  =  − 2 1 z 2(2 z)dz 3 4 = [( ) ] ( ) 2 2 E X +Y = E Z  + − = z f z dz Z ( ) 2  =  − 2 1 2 z 2(2 z)dz 6 11 = D(X +Y) = D(Z) 2 2 = E(Z ) −[E(Z)] . 18 1 = 方法二   + − + − E(X +Y) = (x + y) f (x, y)dxdy   − = + 1 1 1 0 2( ) x dx x y dy  = + 1 0 2 (x 2x)dx . 3 4 3 1 0 2 3 =         = + x x   + − + − E[(X + Y) ] = (x + y) f (x, y)dxdy 2 2   − = + 1 1 2 1 0 2( ) x dx x y dy  = + + 1 0 3 2 ( 3 3 ) 3 2 x x x dx 6 11 = 所以 2 2 D(X +Y) = E[(X +Y) ]−[E(X +Y)] . 18 1 = 方差的性质 例 7 (E06) 设 ( ) ( ) , , 2 f x = E X − x xR 证明: 当 x = E(X) 时, f (x) 达到最小值. 证 依题 2 f (x) = E(X − x) ( ) 2 ( ) , 2 2 = E X − xE X + x 两边对 x 求导数, 有 2 2 ( ), ( ) x E X dx df x = − 显然当 x = E(X ) 时, 0. ( ) = dx df x 又因 2 0, ( ) 2 2 =  dx d f x 所以当 x = E(X ) 时, f (x) 达到最小值, 最小值为 ( ( )) ( ( )) ( ). 2 f E X = E X − E X = D X

这个例子又一次说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置,反映了X的平 均值 注:本例子说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置,反映了X的平均值 例8(E07)设X~b(n,p),求E(X),D(X 解X表示n重伯努利试验中“成功”的次数.若设 X 几1如第次试验成功 10如第次试验失败 则X=∑x是n次试验中“成功”的次数,且x服从0-1分布 E(X1)=P{X1=1}=P,E(X2)=P 故D(X)=E(x2)-E(x)2=p-p2=p(1-p)i= 由于x1,X2…,Xn相互独立,于是 E(X)=∑E(X)=m,D(x)=∑ 例9(E08)设X~N(,o2),求E(X),D(X) 解先求标准正态变量2X-的数学期望和方差因为Z的概率密度为 t2/2 ,(-∞<1<+∞) 于是A D(Z)=E(z2) Id(e) 27 其中利用泊松积分e-ax=√丌, 因X=4+z,即得 E(X)=E(+Oz)=2 D(X)=D(+aZ)=Eu+oz-E(+Z)2=E(o22)=a2E(2)=a2D(Z)=a2 这就是说,正态分布的概率密度中的两个参数和a分别就是该分布的数学期望和均方 差,因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定

这个例子又一次说明了数学期望 E(X ) 是随机变量 X 取值的集中位置, 反映了 X 的平 均值. 注：本例子说明了数学期望 E(X) 是随机变量 X 取值的集中位置, 反映了 X 的平均值. 例 8 (E07) 设 X ~ b(n, p) , 求 E(X), D(X). 解 X 表示 n 重伯努利试验中 “成功” 的次数. 若设 i n i i Xi 1,2, , 0, 1, =     = 如第 次试验失败 如第 次试验成功 则 = = n i X Xi 1 是 n 次试验中 “成功” 的次数, 且 Xi 服从 0 −1 分布. E(X ) P{X 1} p, i = i = = ( ) , 2 E Xi = p 故 2 2 ( ) ( ) [ ( )] D Xi = E Xi − E Xi 2 = p − p = p(1− p) i =1,2,  ,n 由于 X X Xn , , , 1 2  相互独立, 于是 ( ) ( ) , 1 E X E X np n i =  i = = = = n i D X D Xi 1 ( ) ( ) = np(1− p). 例 9 (E08) 设 ~ ( , ), 2 X N   求 E(X), D(X). 解 先求标准正态变量  −  = X Z 的数学期望和方差. 因为 Z 的概率密度为 ,( ) 2 1 ( ) / 2 2 = −   + − t e t t   于是  + − − E Z = te dt t / 2 2 2 1 ( )  0, 2 1 / 2 2 = − = + − −t e  ( ) ( ) 2 D Z = E Z  + − − = t e dt 2 t / 2 2 2 1   + − − = − ( ) 2 1 / 2 2 t td e   + − − + − − = − e + te dt t t / 2 t / 2 2 2 2 1 2  1, 2 2 1 2 ( / 2) =        =  + − − t e d t  其中利用泊松积分 , 2 =   + − − e dx x 因 X =  +Z, 即得 E(X) = E( +Z) = , D(X) = D( +Z) 2 = E[ +Z − E( +Z)] ( ) 2 2 = E  Z ( ) 2 2 = E Z ( ) 2 = D Z . 2 =  这就是说, 正态分布的概率密度中的两个参数  和  分别就是该分布的数学期望和均方 差, 因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定