第四节正态总体的置信区间 与其他总体相比,正态总体参数的置信区间是最完善的应用也最广泛。在构造正态总体 参数的置信区间的过程中,t分布、x2分布、F分布以及标准正态分布N(O1)扮演了重要角 本节介绍正态总体的置信区间讨论下列情形: 1.单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2.单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3.单正态总体方差的置信区间 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间 5.双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间 6.双正态总体方差比的置信区间 注:由于正态分布具有对称性,利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为1-a的置 信区间,其区间长度在所有这类区间中是最短的 分布图示 ★引言 ★单正态总体均值(方差已知)的置信区间 ★例1 ★例2 ★单正态总体均值(方差未知)的置信区间 ★例3 ★例4 ★单正态总体方差的置信区间 ★双正态总体均值差(方差已知)的置信区间★例6 双正态总体均值差(方差未知)的置信区间 ★例7 ★例8 ★双正态总体方差比的置信区间 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题6-4 返回 内容要点 、单正态总体均值的置信区间1) 设总体X~N(以a2),其中2已知,而u为未知参数,X1X2…,Xn是取自总体x的 个样本.对给定的置信水平1-a,由上节例1已经得到的置信区间 二、单正态总体均值的置信区间(2) 设总体X~N(a2),其中,a2未知,X1,X2,…,X是取自总体X的一个样本 此时可用σ2的无偏估计S2代替σ2,构造统计量 X 从第五章第三节的定理知T X 给定的置信水平1-a,由 a2(n-1)}=1
第四节 正态总体的置信区间 与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体 参数的置信区间的过程中，t 分布、 2 分布、F 分布以及标准正态分布 N(0,1) 扮演了重要角 色. 本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间; 4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间; 5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间; 6. 双正态总体方差比的置信区间. 注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为 1− 的置 信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的. 分布图示 ★ 引言 ★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4 ★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间 ★ 例7 ★ 例8 ★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 6-4 ★ 返回 内容要点 一、单正态总体均值的置信区间(1) 设总体 ~ ( , ), 2 X N 其中 2 已知, 而 为未知参数, X X Xn , , , 1 2 是取自总体 X 的一 个样本. 对给定的置信水平 1− , 由上节例 1 已经得到 的置信区间 , , / 2 / 2 − + n X u n X u 二、单正态总体均值的置信区间(2) 设总体 ~ ( , ), 2 X N 其中 , 2 未知, X X Xn , , , 1 2 是取自总体 X 的一个样本. 此时可用 2 的无偏估计 2 S 代替 2 , 构造统计量 S n X T / − = , 从第五章第三节的定理知 ~ ( 1). / − − = t n S n X T 对给定的置信水平 1− , 由 = − − − − − ( 1) 1 / ( 1) / 2 t / 2 n S n X P t n
<u<X+Ial 因此,均值μ的1-a置信区间为 X 三、单正态总体方差的置信区间 上面给出了总体均值μ的区间估计,在实际问题中要考虑精度或稳定性时,需要对正态 总体的方差a2进行区间估计 设总体X~N(,a2),其中,a2未知,X1x2…,Xn是取自总体X的一个样本.求方差 a2的置信度为1-a的置信区间.a2的无偏估计为S2,从第五章第三节的定理知 S2~x2(n-1) 对给定的置信水平1-a,由 于是方差a2的1-a置信区间为 (n-1)S2(n-1)S2 而方差σ的1-a置信区间 (n-1)S Vz2(n-1)Vz2n2(n-1) 四、双正态总体均值差的置信区间(1) 在实际问题中,往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异,从而要研究 两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间 设X是总体N(12)的容量为n1的样本均值,F是总体N(422)的容量为n2的样本 均值,且两总体相互独立,其中2,∞2已知 因x与Y分别是A1与μ2的无偏估计,从第五章第三节的定理知 (X-y)-(-2) (0.1) 对给定的置信水平1-a,由 X-)-(=1<4m2}=1-a n1+2/n2 可导出1-42的置信度为1-a的置信区间为 oL+02, X-Y+al2 V nn2 X-Y-" n n2 五、双正态总体均值差的置信区间(2) 设X是总体NA1,O2)的容量为n的样本均值,下是总体N(A2,a2)的容量为n2的样本
即 ( 1) ( 1) 1 , / 2 / 2 = − − − + − n S X t n n S P X t n 因此, 均值 的 1− 置信区间为 ( 1) , ( 1) . / 2 / 2 − − + − n S X t n n S X t n 三、单正态总体方差的置信区间 上面给出了总体 均值 的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态 总体的方差 2 进行区间估计. 设总体 ~ ( , ), 2 X N 其中 , 2 未知, X X Xn , , , 1 2 是取自总体 X 的一个样本. 求方差 2 的置信度为 1− 的置信区间. 2 的无偏估计为 2 S , 从第五章第三节的定理知, ~ ( 1) 1 2 2 2 − − S n n , 对给定的置信水平 1− , 由 1 , ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 , 1 ( 1) 2 1 / 2 2 2 2 / 2 2 2 / 2 2 2 2 1 / 2 = − − − − − = − − − − − − n n S n n S P S n n P n 于是方差 2 的 1− 置信区间为 − − − − − ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2 n n S n n S 而方差 的 1− 置信区间 . ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2 − − − − − n n S n n S 四、双正态总体均值差的置信区间(1) 在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究 两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。 设 X 是总体 ( , ) 2 N 1 1 的容量为 1 n 的样本均值, Y 是总体 ( , ) 2 N 2 2 的容量为 2 n 的样本 均值, 且两总体相互独立, 其中 2 2 2 1 , 已知. 因 X 与 Y 分别是 1 与 2 的无偏估计, 从第五章第三节的定理知 ~ (0,1), / / ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 N n n X Y + − − − 对给定的置信水平 1− , 由 1 , / / ( ) ( ) / 2 2 2 1 2 2 1 1 2 = − + − − − u n n X Y P 可导出 1 − 2 的置信度为 1− 的置信区间为 , . 2 2 2 1 2 1 / 2 2 2 2 1 2 1 / 2 − − + − + + n n X Y u n n X Y u 五、双正态总体均值差的置信区间(2) 设 X 是总体 ( , ) 2 N 1 的容量为 1 n 的样本均值, Y 是总体 ( , ) 2 N 2 的容量为 2 n 的样本
均值,且两总体相互独立,其中,2及σ未知从第五章第三节的定理知 S1/n1+1/ n1 其中S2=n-1 对给定的置信水平1-a,根据t分布的对称性,由 P{|Tkta2(m1+n2-2)}=1-a, 可导出1-42的1-a置信区间为 (-)n(+2-2).S,+,(F+n2(m+n2-2、x Vn, n2 六、双正态总体方差比的置信区间 设S2是总体N(A1G2)的容量为n1的样本方差,S2是总体N(422)的容量为n2的样本 方差,且两总体相互独立,其中A1,2,H2,G2未知.S2与S2分别是a2与a2的无偏估计 从第五章第三节的定理知 (n1-1,n2-1) 对给定的置信水平1-a,由 P{F2(n1-1,n2-1)<F<Fan2(1-1,n2-1)}=1-a Fn2(m1-1,n2-1)S2 F-a2(n1-1,n2-1) 可导出方差比G2/G2的1-a置信区间为 F2(n1-1n2-1)S2’Fan2(1-1,n2-1)S2 例题选讲 单正态总体均值(方差已知)的置信区间 例(Eo1)某旅行社为调査当地一旅游者的平均消费额,随机访问了100名旅游者,得 知平均消费额x=80元根据经验,已知旅游者消费服从正态分布,且标准差σ=12元,求 该地旅游者平均消费额μ的置信度为95%的置信区间 解对于给定的置信度1-a=0.95,a=0.05,a/2=0.025, 查标准正态分布表u0m25=1.96,将数据n=100,x=80,a=12,a05=1.96 代入x土un2千计算得u的置信度为95%的置信区间为(716824,即在已知σ=12情形 下,可以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在76元至824元之间 例2设总体X~N(,2),其中μ未知,a2=4.X1,…,Xn为其样本 (1)当n=16时,试求置信度分别为0.9及0.95的的置信区间的长度 (2)n多大方能使的90%置信区间的长度不超过1? (3)n多大方能使的95%置信区间的长度不超过1? 解(1)记的置信区间长度为A,则
均值, 且两总体相互独立, 其中 1 , 2 及 未知.从第五章第三节的定理知 ~ ( 2). 1/ 1/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 + − + − − − = t n n S n n X Y T w 其中 . 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 S n n n S n n n Sw + − − + + − − = 对给定的置信水平 1− , 根据 t 分布的对称性, 由 {| | ( 2)} 1 , P T t / 2 n1 + n2 − = − 可导出 1 − 2 的 1− 置信区间为 . 1 1 , ( ) ( 2)) 1 1 ( ) ( 2)) 1 2 / 2 1 2 1 2 / 2 1 2 − + + − + − − + − + n n X Y t n n S n n X Y t n n Sw w 六、双正态总体方差比的置信区间 设 2 1 S 是总体 ( , ) 2 N 1 1 的容量为 1 n 的样本方差, 2 2 S 是总体 ( , ) 2 N 2 2 的容量为 2 n 的样本 方差, 且两总体相互独立, 其中 2 2 2 2 1 1 , , , 未知. 2 1 S 与 2 2 S 分别是 2 1 与 2 2 的无偏估计, 从第五章第三节的定理知 ~ ( 1, 1), 2 1 2 2 2 1 2 1 2 − − = F n n S S F 对给定的置信水平 1− , 由 { ( 1, 1) ( 1, 1)} 1 , P F1− / 2 n1 − n2 − F F / 2 n1 − n2 − = − 1 , ( 1, 1) 1 ( 1, 1) 1 2 2 2 1 1 / 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 / 2 1 2 = − − − − − − S S S F n n S F n n P 可导出方差比 2 2 2 1 / 的 1− 置信区间为 . ( 1, 1) 1 , ( 1, 1) 1 2 2 2 1 1 / 2 1 2 2 2 2 1 / 2 1 2 − − − − − S S S F n n S F n n 例题选讲 单正态总体均值（方差已知）的置信区间 例 1(E01) 某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了 100 名旅游者, 得 知平均消费额 x = 80 元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差 =12 元, 求 该地旅游者平均消费额 的置信度为 95%的置信区间. 解 对于给定的置信度 1− = 0.95, = 0.05, / 2 = 0.025, 查标准正态分布表 1.96, u0.025 = 将数据 n =100, x = 80, =12, 1.96, u0.025 = 代入 n x u / 2 计算得 的置信度为 95%的置信区间为 (77.6,82.4), 即在已知 =12 情形 下, 可以 95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在 77.6 元至 82.4 元之间. 例 2 设总体 ~ ( , ), 2 X N 其中 未知, 4. 2 = X X n , , 1 为其样本. (1) 当 n = 16 时, 试求置信度分别为 0.9 及 0.95 的 的置信区间的长度. (2) n 多大方能使 的 90%置信区间的长度不超过 1? (3) n 多大方能使 的 95%置信区间的长度不超过 1? 解 (1) 记 的置信区间长度为 A, 则
于是当1-a=90%时,A=2×165×2/√16=165 时,△=2×1.96×2/√16=196 (2)欲使△≤L,即2una2·a/n≤1,必须n≥(2omn2)2,于是,当1-a=90%时 n2(2×2×1.65)2,即n≥44,即n至少为44时,的90%置信区间的长度不超过1 (3)当1-a=95%时,类似可得n≥62 注:①由(1)知当样本容量一定时,置信度越高,则置信区间长度越长,对未知参数的 估计精度越低 ②在置信区间的长度及估计精度不变的条件下,要提高置信度,就须加大样本的容量 n,以获得总体更多的信息 单正态总体均值(方差未知)的置信区间 例3(E02)某旅行社随机访问了25名旅游者,得知平均消费额x=80元,子样标准差 s=12元,已知旅游者消费额服从正态分布,求旅游者平均消费额μ的95%置信区间. 解对于给定的置信度95%a=0.05),tan2(n-1)=to025(24)=206539, 将x=80,s=12,n=25,1005(24)=2.0639,代入计算得μ的置信度为95%的置信区间为 (7505,8495),即在a2未知情况下,估计每个旅游者的平均消费额在7505元至8495元之 间,这个估计的可靠度是95% 注:与例1相比,在标准差σ未知时,用样本的标准差S给出的置信区间偏差不太大 例4(E03)有一大批袋装糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下: 506508499503504510497512 514505493496506502509496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间 解1-a=0.95,a/2=0025,n-1=15,bo25(15)=21315, 由给出的数据算得x=50375,s=62022.可得到均值μ的一个置信水平为095的置 信区间为50375±21315×62022/√16,即(5004,5071 这就是说,估计袋装糖果重量和均值在5004克与507.1克之间,这个估计的右信程度为 95%.若以此区间内任一值作为μ的近似值,其误差不大于 2×21315×62022/√16=661(克) 这个误差估计的可信程度为95% 单正态总体方差的置信区间 例5(E04)为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一样本,并 测得样本均值x=186,样本标准差s=12.假定所论胆固醇水平X~N(A,a2),与σ2均未
( / ) ( / ) = X + u / 2 n − X − u / 2 n 2 , = u / 2 n 于是当 1− = 90% 时, = 21.652/ 16 =1.65, 当 1− = 95% 时, = 21.96 2/ 16 =1.96. (2) 欲 使 1, 即 2 / 1, u / 2 n 必 须 (2 ) , 2 n u / 2 于 是 , 当 1− = 90% 时 , (2 2 1.65) , 2 n 即 n 44, 即 n 至少为 44 时, 的 90%置信区间的长度不超过 1. (3) 当 1− = 95% 时，类似可得 n 62. 注: ① 由(1)知, 当样本容量一定时, 置信度越高, 则置信区间长度越长, 对未知参数的 估计精度越低. ② 在置信区间的长度及估计精度不变的条件下, 要提高置信度, 就须加大样本的容量 n, 以获得总体更多的信息. 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 例 3(E02) 某旅行社随机访问了 25 名旅游者, 得知平均消费额 x = 80 元, 子样标准差 s =12 元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额 的 95%置信区间. 解 对于给定的置信度 95%( = 0.05), ( 1) (24) 2.0639, t / 2 n − = t0.025 = 将 x = 80, s =12, n = 25, (24) 2.0639, t0.025 = 代入计算得 的置信度为 95%的置信区间为 (75.05, 84.95), 即在 2 未知情况下, 估计每个旅游者的平均消费额在 75.05 元至 84.95 元之 间, 这个估计的可靠度是 95%. 注: 与例 1 相比, 在标准差 未知时, 用样本的标准差 S 给出的置信区间偏差不太大. 例 4 (E03) 有一大批袋装糖果. 现从中随机地取 16 袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值 的置信水平为 0.95 的置信区间. 解 1− = 0.95, / 2 = 0.025, n −1=15, (15) 2.1315, t0.025 = 由给出的数据算得 x = 5.03.75, s = 6.2022. 可得到均值 的一个置信水平为 0.95 的置 信区间为 (503.75 2.13156.2022/ 16), 即 (500.4,507.1). 这就是说, 估计袋装糖果重量和均值在 500.4 克与 507.1 克之间, 这个估计的右信程度为 95%. 若以此区间内任一值作为 的近似值, 其误差不大于 22.13156.2022/ 16 = 6.61 (克) 这个误差估计的可信程度为 95%. 单正态总体方差的置信区间 例 5 (E04) 为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本, 并 测得样本均值 x =186, 样本标准差 s =12 . 假定所论胆固醇水平 ~ ( , ), 2 X N 与 2 均未
知试分别求出a以及a的90%置信区间 解u的置信度为1-a的置信区间为(x±lan2(n-1) 按题设数据a=0.L,x=186,s=12,n=25,查表得lo12(25-1)=1.7109, 于是tn2(n-1)s/√n=1.7109×12/√25=4106,即(18189190. σ的置信度为1-a置信区间为 xa2(n-1)Vx2a2(n-1) 查表得xa1n2(25-1)=3642,x20m2(25-1)=13.85,于是,置信下限和置信上限分别为 24×122/3642=974.√24×122/13.85=15.80 所求a的90%置信区间为(97415:80) 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间 例6(E05)203年在某地区分行业调查职工平均工资情况:已知体育、卫生、社会福利 事业职工工资X(单位:元)~N(12182)文教、艺术、广播事业职工工资Y(单位 元)~N(42272),从总体X中调查30人平均工资12n元,求这两大类行业职工平均工资 之差的99%的置信区间 解由于1-a=099,故a=0.01,查表得0=2.576 又n1=25,n2=30,a2=2182,a2 于是1-2的置信度为99%的置信区间为[-1409168%6],即两大类行业职工平均工 资相差在-14096~16896之间,这个估计的置信度为9% 双正态总体均值差(方差未知)的置信区间 例7(E06)A,B两个地区种植同一型号的小麦.现抽取了19块面积相同的麦田,其中9 块属于地区A,另外10块属于地区B,测得它们的小麦产量(以kg计)分别如下 地区A:100,105,110,125,110,98,105,116,112 地区B:101,100,105,1l5,11,107,106,121,102,92 设地区A的小麦产量X~N(A1,a2),地区B的小麦产量Y~N(42,o2),1,2,a2均未知 试求这两个地区小麦的平均产量之差1-{2的90%置信区间 解由题意知所求置信区间的两个端点分别为(X-1)±tn2(n1+n2-2)Sn 由a=0.1,n1=9,n2=10,查表得tou2(17)=17396,按已给数据计算得 x=109,y=106,2=550/8,s2=606/9
知. 试分别求出 以及 的 90%置信区间. 解 的置信度为 1− 的置信区间为 ( ( 1) / . x t / 2 n − s n 按题设数据 = 0.1, x =186, s =12, n = 25, 查表得 (25 1) 1.7109, t0.1/ 2 − = 于是 ( 1) / 1.7109 12/ 25 4.106, t / 2 n − s n = = 即 (181.89,190.11). 的置信度为 1− 置信区间为 . ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2 − − − − − n n S n n S 查表得 (25 1) 36.42, (25 1) 13.85, 2 1 0.1/ 2 2 0.1/ 2 − = − − = 于是, 置信下限和置信上限分别为 24 12 / 36.42 9.74, 2 = 24 12 /13.85 15.80, 2 = 所求 的 90%置信区间为 (9.74,15.80). 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 例 6 (E05) 2003 年在某地区分行业调查职工平均工资情况: 已知体育、卫生、社会福利 事业职工工资 X (单位: 元) ~ ( ,218 ); 2 N 1 文教、艺术、广播事业职工工资 Y ( 单位: 元) ~ ( ,227 ), 2 N 2 从总体 X 中调查 30 人, 平均工资 1272 元, 求这两大类行业职工平均工资 之差的 99%的置信区间. 解 由于 1− = 0.99, 故 = 0.01, 查表得 2.576, u0.005 = 又 25, n1 = 30, n2 = 218 , 2 2 1 = 227 , 2 2 2 = x =1286, y =1272, 于是 1 − 2 的置信度为 99%的置信区间为 [−140.96,168.96], 即两大类行业职工平均工 资相差在 −140.96 ~ 168.96 之间, 这个估计的置信度为 99%. 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间 例 7 (E06) A, B 两个地区种植同一型号的小麦. 现抽取了 19 块面积相同的麦田, 其中 9 块属于地区 A, 另外 10 块属于地区 B, 测得它们的小麦产量(以 kg 计)分别如下: 地区 A: 100, 105, 110, 125, 110, 98, 105, 116, 112; 地区 B: 101, 100, 105, 115, 111, 107, 106, 121, 102, 92. 设地区 A 的小麦产量 ~ ( , ), 2 X N 1 地区 B 的小麦产量 ~ ( , ) 2 Y N 2 , 1 , 2 , 2 均未知. 试求这两个地区小麦的平均产量之差 1 − 2 的 90%置信区间. 解 由题意知所求置信区间的两个端点分别为 . 1 1 ( ) ( 2) 1 2 / 2 1 2 n n X −Y t n + n − Sw + 由 = 0.1, 9, n1 = 10, n2 = 查表得 (17) 1.7396, t0.1/ 2 = 按已给数据计算得 x =109, y =106, 550/8, 2 s1 = 606/ 9, 2 s2 =