第四章随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数,从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变 量的统计规律性 但在许多实际问题中,人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只要知道它的 某些数字特征即可 例如,在评价某地区粮食产量的水平时,通常只要知道该地区粮食的平均产量; 又如,在评价一批棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,又要注意纤维长度与平均 长度之间的偏离程度,平均长度较大,偏离程度小,则质量就较好.等等 实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重 要的意义,它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质 本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括:数学期望、方差、相关系数、矩 第一节数学期望 分布图示 ★引言 ★离散型随机变量的数学期望 ★例1 ★例2 ★例3 ★连续型随机变量的数学期望★例4 ★例5★例6★例7 ★随机变量函数的数学期望 ★例8 ★例9★例10★例 ★数学期望的性质 ★例12★例13★例14 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题4-1 ★返回 内容要点 、离散型随机变量的数学期望 平均值是日常生活中最常用的一个数字特征,它对评判事物、作出决策等具有重要作用 定义设X是离散型随机变量的概率分布为 P{X=x}=P2=1 如果∑xP绝对收敛,则定义X的数学期望(又称均值)为E(X)=∑xP
第四章 随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变 量的统计规律性. 但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的 某些数字特征即可. 例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量; 又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均 长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等 实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重 要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质. 本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩. 第一节 数学期望 分布图示 ★ 引言 ★ 离散型随机变量的数学期望 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 连续型随机变量的数学期望 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 随机变量函数的数学期望 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 数学期望的性质 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 4-1 ★ 返回 内容要点 一、离散型随机变量的数学期望 平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用. 定义 设 X 是离散型随机变量的概率分布为 P{X = xi } = pi ,i =1,2, 如果 i=1 i i x p 绝对收敛, 则定义 X 的数学期望(又称均值)为 ( ) . 1 = = i i pi E X x
、连续型随机变量的数学期望 定义设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),如果 f(xdx 绝对收敛,定义X的数学期望为E(X)=xf(x)dk 三、随机变量函数的数学期望 设X是一随机变量,g(x)为一实函数,则Y=g(X)也是一随机变量,理论上,虽然可通 过X的分布求出g(X)的分布,再按定义求出g(X)的数学期望Eg(X)].但这种求法一般 比较复杂.下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理 定理1设X是一个随机变量,Y=g(X),且E(Y)存在,则 (1)若X为离散型随机变量,其概率分布为 P{X=x}=P2i=1,2, 则Y的数学期望为 E()=Eg(X=∑g(x)P (2)若X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),则的数学期望为 E(D)=8(x)=8(x)/(xk 注:()定理的重要性在于求Eg(O时,不必知道g(X)的分布,只需知道X的分布即可 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便 (i)上述定理可推广到二维以上的情形,即有 定理2设(X,Y)是二维随机向量,Z=g(X,Y),且E(Z)存在,则 (1)若(X,Y)为离散型随机向量,其概率分布为 P{X=x,=y}=P(,j=12,…) 则Z的数学期望为 E(Z)=E8(X,)=∑∑8(x,y) (2)若(X,Y)为连续型随机向量,其概率密度为∫(x,y)则Z的数学期望为 E(Z)=EIg(X, r)]=LL 四、数学期望的性质 1.设C是常数,则E(C)=C 2.若k是常数,则E(k)=kE(X E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) 4.设X,Y独立,则E(YY)=E(X)E(Y) 注:()由E(XY)=E(Y)E(Y)不一定能推出X,Y独立,例如,在例10中,已计算得
二、连续型随机变量的数学期望 定义 设 X 是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x) ,如果 − xf (x)dx 绝对收敛, 定义 X 的数学期望为 ( ) ( ) . − E X = xf x dx 三、随机变量函数的数学期望 设 X 是一随机变量, g(x) 为一实函数,则 Y = g(X) 也是一随机变量, 理论上, 虽然可通 过 X 的分布求出 g(X) 的分布, 再按定义求出 g(X) 的数学期望 E[g(X)] . 但这种求法一般 比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 定理 1 设 X 是一个随机变量, Y = g(X) ,且 E(Y) 存在, 则 （1） 若 X 为离散型随机变量, 其概率分布为 P{X = xi } = pi ,i =1,2, 则 Y 的数学期望为 ( ) [ ( )] ( ) . 1 = = = i i pi E Y E g X g x （2） 若 X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f (x) , 则 Y 的数学期望为 ( ) [ ( )] ( ) ( ) . − E Y = E g X = g x f x dx 注: (i)定理的重要性在于:求 E[g(X)] 时, 不必知道 g(X) 的分布, 只需知道 X 的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便; (ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即有 定理 2 设 (X,Y) 是二维随机向量, Z = g(X,Y) ,且 E(Z) 存在, 则 （1）若 (X,Y) 为离散型随机向量, 其概率分布为 P{X = x ,Y = y }= p (i, j =1,2, ) i j ij 则 Z 的数学期望为 ( ) [ ( , )] ( , ) , 1 1 = = = = j i i j pij E Z E g X Y g x y （2） 若 (X,Y) 为连续型随机向量, 其概率密度为 f (x, y) 则 Z 的数学期望为 ( ) [ ( , )] ( , ) ( , ) . − − E Z = E g X Y = g x y f x y dx 四、数学期望的性质 1. 设 C 是常数, 则 E(C) = C; 2．若 k 是常数，则 E(kX) = kE(X); 3. ( ) ( ) ( ); E X1 + X2 = E X1 + E X2 4. 设 X,Y 独立, 则 E(XY) = E(X)E(Y) ; 注: (i) 由 E(XY) = E(X)E(Y) 不一定能推出 X,Y 独立，例如，在例 10 中，已计算得
E(XY=E(XE(Y) 但Px=1y=0=0P(x=1=3;,P{y=0}=1,显然 P{X=1,=0}≠P{X=1}P{Y=0} 故X与Y不独立 (i)这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形 例题选讲 离散型随机变量的数学期望 例1(E01)甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的分布律分别为 P100.208 P1|0.60.30.1 试评定他们的成绩的好坏 解我们来计算x1的数学期望,得E(X1)=0×0+1×02+2×0.8=18(分 这意味着,如果甲进行很多次的射击,那么,所得分数的算术平均就接近18,而乙所得分数 的数学期望为E(x2)=0×0.6+1×03+2×0.1=0.5(分).很明显,乙的成绩远不如甲的成绩 例2(E02)某种产品的每件表面上的疵点数服从参数A=0.8的泊松分布,若规定疵点数 不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵点数 超过4个为废品.求 (1)产品的废品率 (2)产品价值的平均值 解设X代表每件产品上的疵点数,由题意知A=0.8 ()因为PX>4}=1-PXs4=1->0848=0001411 kl 所以产品的废品率为0001411 (2)设Y代表产品的价值,那么Y的概率分布为 P|P{X≤l}P{1<X≤4}|P{X>4 所以产品价值的平均值为 E(Y)=10×P{X≤l+8×P{1<X≤4}+0×P{X>4} 0.8k 08k e°+0=9.6l(元) 例3按规定,某车站每天800-900和900~10:00之间都恰有一辆客车到站,但到站的 时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立.其规律为
4 9 E(XY) = E(X )E(Y) = ， 但 8 1 }, { 0} 4 3 P{X =1,Y = 0} = 0, P{X =1 = P Y = = ，显然 P{X =1,Y = 0} P{X =1} P{Y = 0} 故 X 与 Y 不独立 (ii) 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形. 例题选讲 离散型随机变量的数学期望 例 1 (E01) 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 1 2 X , X , 它们的分布律分别为 , 0 0.2 0.8 1 0 1 2 pi X 0.6 0.3 0.1 2 0 1 2 pi X 试评定他们的成绩的好坏. 解 我们来计算 X1 的数学期望, 得 E(X1 ) = 0 0 +1 0.2 + 2 0.8 =1.8 (分). 这意味着, 如果甲进行很多次的射击, 那么, 所得分数的算术平均就接近 1.8, 而乙所得分数 的数学期望为 ( ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5( ). E X2 = + + = 分 很明显, 乙的成绩远不如甲的成绩. 例 2(E02) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数 = 0.8 的泊松分布, 若规定疵点数 不超过 1 个为一等品, 价值 10 元; 疵点数大于 1 个不多于 4 个为二等品, 价值 8 元; 疵点数 超过 4 个为废品. 求: (1) 产品的废品率; (2) 产品价值的平均值. 解 设 X 代表每件产品上的疵点数, 由题意知 = 0.8. (1) 因为 = − = − = − 4 0 0.8 ! 0.8 { 4} 1 { 4} 1 k k e k P X P X = 0.001 411, 所以产品的废品率为 0.001 411. (2) 设 Y 代表产品的价值, 那么 Y 的概率分布为: { 1} {1 4} { 4} 10 8 0 P P X P X P X Y 所以产品价值的平均值为 E(Y) =10 P{X 1}+ 8 P{1 X 4} +0 P{X 4} 0 ! 0.8 8 ! 0.8 10 4 2 0.8 1 0 0.8 = + + = − = − k k k k e k e k = 9.61(元). 例 3 按规定，某车站每天 8:00~9:00 和 9:00~10:00 之间都恰有一辆客车到站, 但到站的 时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律为
800900到站时间8:108:308:50 9:00~1000到站时间9:109:309:50 概率 3/6 一旅客820到车站,求他候车时间的数学期望 解设旅客的候车时间为X(以分计).的分布律为 X1030 P 666 在上表中,例如P{X=70}=P(AB)=PA)P(B) 其中A为事件“第一班车在 8:10到站”,B为“第二班车在9:30到站”候车时间的数学期望为 3 E(x)=10×2+30×2+50×+70×+90×二=2722(分) 连续型随机变量的数学期望 例4(E04已知随机变量x的分布函数F(x)={x/4,0<x≤4,求E( 解随机变量X的分布密度为f(x)=F(x)= 1/4.0<x≤4 0,其它 故E(x)=⊥y(x)d=(x.1=x 例5(E03)设随机变量X的概率密度函数为 0<x< 求E(x) 解E(x e xe-ar=5re'dr+k3xe-dx, 使用分布积分法,得到 E(X)=0 例6某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式记使用寿命为X(以年 计),规定 X≤1, 台付款1500元; 1X≤2,一台付款2000元 2<X≤3,一台付款2500元 X>3 台付款3000元 设寿命X服从指数分布,概率密度为 x≤0 试求该类家用电器一台收费Y的数学期望 解先求出寿命X落在各个时间区间的概率,即有
8:00~9:00 到站时间 9:00~10:00 到站时间 8:10 9:10 8:30 9:30 8:50 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 一旅客 8:20 到车站, 求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为 X (以分计). 的分布律为 6 2 6 1 6 3 6 1 6 1 6 1 6 2 6 3 10 30 50 70 90 pi X 在上表中, 例如 , 6 3 6 1 P{X = 70} = P(AB) = P(A)P(B) = 其中 A 为事件 “第一班车在 8 :10 到站”, B 为 “第二班车在 9 : 30 到站”. 候车时间的数学期望为 36 2 90 36 3 70 36 1 50 6 2 30 6 3 E(X ) =10 + + + + = 27.22(分). 连续型随机变量的数学期望 例 4 (E04) 已知随机变量 X 的分布函数 = 1, 4 / 4, 0 4 0, 0 ( ) x x x x F x , 求 E(X). 解 随机变量 X 的分布密度为 , 0, 1/ 4, 0 4 ( ) ( ) = = 其它 x f x F x 故 2. 4 8 1 ( ) ( ) 4 0 2 4 0 = = = = + − x E X xf x dx x dx 例 5 (E03) 设随机变量 X 的概率密度函数为 , , 2 1 ( ) | | = − + − f x e x x 求 E(x). 解 , 2 1 2 1 2 1 ( ) 0 0 | | E X x e dx x e dx x e dx x x x + − − + − − = = + 使用分布积分法，得到 E(X ) = 0. 例 6 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为 X (以年 计), 规定: 3, 3000 . 2 3, 2500 ; 1 2, 2000 ; 1, 1500 ; 一台付款 元 一台付款 元 一台付款 元 一台付款 元 X X X X 设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 ( ) , 0, 0 , 0 10 1 /10 = − x e x f x x 试求该类家用电器一台收费 Y 的数学期望. 解 先求出寿命 X 落在各个时间区间的概率, 即有
PXs,/e-xd=1-e-01=00952 P<x≤2=[e-lh=e1-e42=0086 P{2<X≤3}= -x/l0 dx =e 2-c-03=0.0779 Pix ale cx= 则Y的分布律为 Y|1500200025003000 得E)=273215,B:10095208610070748 均一台收费2732.15元 例7设随机变量X~f(x)E(X)=1,且 b,0≤x≤ f(x)= 其它 求a与b的值,并求分布函数F(x) 解由题意知 L(x)=(a+b)=2+b=1 E(X)= f(x)d (ax + b)dx= 解方程组得a=1,b=1/2 当05x<1时,有F(0C(+1=2+ 所以F(x)=1(x2+x,0≤x<1 随机变量函数的数学期望 例8(E05)设随机变量X~N(0,1),求E(X2) 解f(x)= ∞0<x<+ E(x)=+21x d x 2丌 √z。the 分布积分得 E(x2)= e 2 dx=1 例9设(X,Y)的联合概率分布为
1 0.0952, 10 1 { 1} 0.1 1 0 /10 = = − = − − P X e dx e x − − − = = − 2 1 /10 0.1 0.2 10 1 P{1 X 2} e dx e e x = 0.0861, 0.2 0.3 3 2 /10 10 1 {2 3} − − − = = − P X e dx e e x = 0.0779, 0.7408, 10 1 { 3} 0.3 3 /10 = = = − − P X e dx e x 则 Y 的分布律为 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408 1500 2000 2500 3000 pk Y 得 E(Y) = 2732.15, 即平均一台收费 2732.15 元. 例 7 设随机变量 , 12 7 X ~ f (x),E(X ) = 且 , 0, , 0 1 ( ) + = 其它 ax b x f x 求 a 与 b 的值, 并求分布函数 F(x). 解 由题意知 1, 2 ( ) ( ) 1 0 = + = + = + − b a f x dx ax b dx = = + + − 1 0 E(X) xf (x)dx x(ax b)dx , 12 7 3 2 = + = a b 解方程组得 a =1, b =1/ 2. 当 0 x 1 时, 有 , 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 0 x x F x f t dt t dt x x = + = = + − 所以 . 1, 1 ( ), 0 1 2 1 0, 0 ( ) 2 + = x x x x x F x 随机变量函数的数学期望 例 8 (E05) 设随机变量 X ~ N(0,1), 求 ( ). 2 E X 解 , , 2 1 ( ) 2 2 = − + − f x e x x , 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 x x E x x e dx x de + − − + − − = = − 分布积分得 1. 2 1 ( ) 2 2 2 = = + − − E x e dx x 例 9 设 (X,Y) 的联合概率分布为: Y 0 1 2 3