第三节双正态总体的假设检验 上节中我们讨论单正态总体的参数假设检验,基于同样的思想,本节将考虑双正态总 体的参数假设检验.与单正态总体的参数假设检验不同的是,这里所关心的不是逐一对每个 参数的值作假设检验,而是着重考虑两个总体之间的差异,即两个总体的均值或方差是否相 设x~N(4,G),Y~N22),X,X2…,X为取自总体N(1,G2)的一个样本 H2…H2为取自总体N(2O2)的一个样本,并且两个样本相互独立,记X与F分别为样 本X1,X2,…,X与H,2,…,P的均值,S2与S2分别为X,X2,…,Xn与H1,12…的方差 分布图示 ★双正态总体均值差的假设检验(1) ★例1 ★例2 ★双正态总体均值差的假设检验(2) ★例3 ★例4 ★双正态总体均值差的假设检验(3) ★例5 ★双正态总体方差相等的假设检验 ★例6 ★例7 ★例8 ★内容小结 课堂练习 ★习题7-3 ★返回 内容要点 双正态总体均值差的假设检验 1.方差GG2已知情形 1)检验假设H0:41-42=0,H1:41-42≠0,其中山为已知常数 由第五章第三节知,当H。为真时, U 故选取U作为检验统计量.记其观察值为u.称相应的检验法为u检验法 由于X与Y是山1与2的无偏估计量,当H成立时,|x不应太大,当H1成立时,|u 有偏大的趋势,故拒绝域形式为 X-r-H k(k待定 a2/n+a2/n2 对于给定的显著性水平a,查标准正态分布表得k=ln2,使 PilURuani=a 由此即得拒绝域为 luk 根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2…x和y1,y2,…,yn计算出U的观察值u,若 luua2,则拒绝原假设H0,当=0时即认为总体均值A1与山2有显著差异若|kuna2,则 接受原假设H0,当灿=0时即认为总体均值与2无显著差异 类似地,对单侧检验有:
第三节 双正态总体的假设检验 上节中我们讨论单正态总体的参数假设检验，基于同样的思想，本节将考虑双正态总 体的参数假设检验. 与单正态总体的参数假设检验不同的是，这里所关心的不是逐一对每个 参数的值作假设检验，而是着重考虑两个总体之间的差异，即两个总体的均值或方差是否相 等. 设 X ~ ( , ) 2 N 1 1 , Y ~ ( , ) 2 N 2 2 , 1 , , , X1 X2 Xn 为取自总体 ( , ) 2 N 1 1 的一个样本, 2 , , , Y1 Y2 Yn 为取自总体 ( , ) 2 N 2 2 的一个样本, 并且两个样本相互独立, 记 X 与 Y 分别为样 本 1 , , , X1 X2 Xn 与 2 , , , Y1 Y2 Yn 的均值, 2 1 S 与 2 2 S 分别为 1 , , , X1 X2 Xn 与 2 , , , Y1 Y2 Yn 的方差. 分布图示 ★ 双正态总体均值差的假设检验（1） ★ 例1 ★ 例2 ★ 双正态总体均值差的假设检验（2） ★ 例3 ★ 例4 ★ 双正态总体均值差的假设检验（3） ★ 例5 ★ 双正态总体方差相等的假设检验 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 7-3 ★ 返回 内容要点 一.双正态总体均值差的假设检验 1．方差 2 2 2 1 , 已知情形 1) 检验假设 : , : . H0 1 − 2 = 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 由第五章第三节知, 当 H0 为真时, ~ (0,1), / / 2 2 1 2 2 1 0 N n n X Y U + − − = 故选取 U 作为检验统计量. 记其观察值为 u. 称相应的检验法为 u 检验法. 由于 X 与 Y 是 1 与 2 的无偏估计量, 当 H0 成立时, | u | 不应太大, 当 H1 成立时, | u | 有偏大的趋势, 故拒绝域形式为 k n n X Y u + − − = 2 2 1 2 2 1 0 / / | | (k 待定). 对于给定的显著性水平 ,查标准正态分布表得 u / 2 k = , 使 P{|U | u / 2 } = , 由此即得拒绝域为 , / / | | / 2 2 2 1 2 2 1 0 u n n X Y u + − − = 根据一次抽样后得到的样本观察值 1 , , , 1 2 n x x x 和 2 , , , 1 2 n y y y 计算出 U 的观察值 u, 若 / 2 | | u u ,则拒绝原假设 H0 ,当 0 = 0 时即认为总体均值 1 与 2 有显著差异;若 / 2 | | u u ,则 接受原假设 H0 , 当 0 = 0 时即认为总体均值 1 与 2 无显著差异. 类似地，对单侧检验有：
2)右侧检验:检验假设H:A1-2≤,H1:A1-2>其中山为已知常数得拒绝域 u=rX-Y-Ho 3)左侧检验:检验假设H0:A-22,H1:A-2<4其中4为已知常数.得拒绝域为 <-l 2.方差G2G2未知,但2=a2=σ2 1)检验假设Ho:A1-42=40,H1:41-2≠0,其中0为已知常数 由第五章第三节知,当H为真时 T X--出0=~1(n+n2-2) Sn√h/n1+1/n2 故选取T作为检验统计量.记其观察值为1.相应的检验法称为t检验法 由于Sn2也是a2的无偏估计量,当H成立时,|不应太大,当H1成立时,有偏大 的趋势,故拒绝域形式为 1上Dm+1D7特定 对于给定的显著性水平a,查分布表得k=ta2(m1+n2-2),使 P{Tla2(m1+n2-2)}=a, 由此即得拒绝域为 ≥ln2(n1+n2-2) 根据一次抽样后得到的样本观察值x,x2…x和η,y2…yn计算出T的观察值t,若 tln(n1+n2-2),则拒绝原假设H0,否则接受原假设H 类似地,对单侧检验有 2)右侧检验:检验假设H0:A-2≤p0,H1:A1-2>p,其中山为已知常数.得拒绝域为 Svi/n+l/n2 3)左侧检验:检验假设H:A1-山20,H1:-2<灿其中4为已知常数得拒绝域为 S√/n1+1/n2 3.方差a22未知,但12≠a2 1)检验假设H:41-42=40,H1:A1-42≠40,其中为已知常数.当H为真时, x-Y-一近似地服从 S/m1+S2/n2 其中f=-41"2—, n(n1-1)n2(n2-1) 故选取T作为检验统计量.记其观察值为L.可得拒绝域为
2)右侧检验：检验假设 : , : . H0 1 − 2 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 得拒绝域 为 u n n X Y u + − − = 2 2 1 2 2 1 0 / / 3)左侧检验：检验假设 : , : . H0 1 − 2 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 得拒绝域为 u n n X Y u − + − − = 2 2 1 2 2 1 0 / / 2. 方差 2 2 2 1 , 未知, 但 2 2 2 2 1 = = 1)检验假设 : , : . H0 1 − 2 = 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 由第五章第三节知, 当 H0 为真时, ~ ( 2). 1/ 1/ 1 2 1 2 0 + − + − − = t n n S n n X Y T w 故选取 T 作为检验统计量. 记其观察值为 t. 相应的检验法称为 t 检验法 由于 2 Sw 也是 2 的无偏估计量, 当 H0 成立时, | t | 不应太大, 当 H1 成立时, | t | 有偏大 的趋势, 故拒绝域形式为 k S n n X Y t w + − − = 1 2 0 1/ 1/ | | (k 待定). 对于给定的显著性水平 ,查分布表得 ( 2) k = t / 2 n1 + n2 − , 使 {| | ( 2)} , P T t / 2 n1 + n2 − = 由此即得拒绝域为 ( 2) 1/ 1/ | | / 2 1 2 1 2 0 + − + − − = t n n S n n X Y t w , 根据一次抽样后得到的样本观察值 1 , , , 1 2 n x x x 和 2 , , , 1 2 n y y y 计算出 T 的观察值 t, 若 | | ( 2) t t / 2 n1 + n2 − ,则拒绝原假设 H0 ,否则接受原假设 H0 . 类似地，对单侧检验有： 2)右侧检验：检验假设 : , : . H0 1 − 2 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 得拒绝域为 ( 2) 1/ 1/ 1 2 1 2 0 + − + − − = t n n S n n X Y t w 3)左侧检验：检验假设 : , : . H0 1 − 2 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 得拒绝域为 ( 2) 1/ 1/ 1 2 1 2 0 − + − + − − = t n n S n n X Y t w 3. 方差 2 2 2 1 , 未知, 但 2 2 2 1 1) 检验假设 : , : . H0 1 − 2 = 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 当 H0 为真时, ( ). / / 2 2 1 2 2 1 0 t f S n S n X Y T 近似地服从 + − − = 其中 ( 1) ( 1) ( ) 2 2 2 4 2 1 2 1 4 1 2 2 2 2 1 2 1 − + − + = n n S n n S n S n S f ， 故选取 T 作为检验统计量. 记其观察值为 t. 可得拒绝域为
s/m1+52/2、>m( 根据一次抽样后得到的样本观察值x,x2…,x和y1,y2,…,y2计算出T的观察值t,若 tla2(),则拒绝原假设H,否则接受原假设H 类似地, 2)检验假设H0:1-42≤0,H1:A1-2>山其中0为已知常数.得拒绝域为 3)检验假设H0:A-42≥0,H1:A-2<灿其中0为已知常数.得拒绝域为 X <-la() 注当n,n2充分大时,(n1+n2≥50) T 近似地服从N(O,1) s2/m1+S2/m2 上述拒绝域的临界点可分别改换为ua:t2-l 二、双正态总体方差相等的假设检验 设X,X2,…,Xm为取自总体N,2)的一个样本,H12…,2为取自总体N(2a2) 的一个样本,并且两个样本相互独立,记X与y分别为相应的样本均值,S2与S2分 别为相应的样本方差 1)检验假设H0:G2=02,H1:G1≠G2 由第五章第三节知,当H。为真时, S2/S2~F(m1-1,n2-1) 故选取F作为检验统计量.相应的检验法称为F检验法 由于S2与S2是a2与a2的无偏估计量,当H成立时,F的取值应集中在1的附近,当 H1成立时,F的取值有偏小或偏大的趋势,故拒绝域形式为 F≤k1或F≥k2(k,k2待定 对于给定的显著性水平a,查标F分布表得 k1=Fa2(n1-1,n2-1),k2=Fn2(n1-1,n2-1) 使 P{F≤F2(m1-1,n2-l)或F≥Fa2(n1-1,n2-1)}=a, 由此即得拒绝域为 F≤F2(1-1,n2-1)或F≥Fa2(n1-1,n2-1)( 根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2,…,x和 η,y2…,y计算出F的观察值,若(*)式成立,则拒绝原假设H,否则接受原假设H 类似地,对单侧检验有 2)检验假设H0:a2≤a2,H1:a2>a2.得拒绝域为 Fa(n1-1,n2-1) 3)检验假设H0:a12≥a2,H1a2<a2.得拒绝域为 F≤F1-a(n1-1,n2-1)
( ) / / | | 2 2 2 1 2 2 1 0 t f S n S n X Y t + − − = 根据一次抽样后得到的样本观察值 1 , , , 1 2 n x x x 和 2 , , , 1 2 n y y y 计算出 T 的观察值 t, 若 | | ( ) / 2 t t f ,则拒绝原假设 H0 ,否则接受原假设 H0 . 类似地， 2）检验假设 : , : . H0 1 − 2 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 得拒绝域为 ( ) / / 2 2 1 2 2 1 0 t f S n S n X Y t + − − = 3）检验假设 : , : . H0 1 − 2 0 H1 1 − 2 0 其中 0 为已知常数. 得拒绝域为 ( ) / / 2 2 1 2 2 1 0 t f S n S n X Y t − + − − = 注 当 1 2 n , n 充分大时，（ 50) n1 + n2 (0,1). / / 2 2 1 2 2 1 0 N S n S n X Y T 近似地服从 + − − = 上述拒绝域的临界点可分别改换为 ; . u 2 u; − u 二、双正态总体方差相等的假设检验 设 1 , , , X1 X2 Xn 为取自总体 ( , ) 2 N 1 1 的一个样本, 2 , , , Y1 Y2 Yn 为取自总体 ( , ) 2 N 2 2 的一个样本, 并且两个样本相互独立, 记 X 与 Y 分别为相应的样本均值, 2 1 S 与 2 2 S 分 别为相应的样本方差. 1) 检验假设 : , : . 2 2 2 1 1 2 2 2 H0 1 = H 由第五章第三节知, 当 H0 为真时, / ~ ( 1, 1), 1 2 2 2 2 F = S1 S F n − n − 故选取 F 作为检验统计量. 相应的检验法称为 F 检验法 由于 2 1 S 与 2 2 S 是 2 1 与 2 2 的无偏估计量, 当 H0 成立时, F 的取值应集中在 1 的附近, 当 H1 成立时,F 的取值有偏小或偏大的趋势, 故拒绝域形式为 1 F k 或 2 F k ( 1 2 k , k 待定). 对于给定的显著性水平 , 查标 F 分布表得 ( 1, 1), ( 1, 1), k1 = F1− / 2 n1 − n2 − k2 = F / 2 n1 − n2 − 使 { ( 1, 1) ( 1, 1)} , P F F1− / 2 n1 − n2 − 或F F / 2 n1 − n2 − = 由此即得拒绝域为 ( 1, 1) ( 1, 1) F F1− / 2 n1 − n2 − 或F F / 2 n1 − n2 − (*) 根据一次抽样后得到的样本观察值 1 , , , 1 2 n x x x 和 2 , , , 1 2 n y y y 计算出 F 的观察值, 若(*)式成立, 则拒绝原假设 H0 , 否则接受原假设 H0 . 类似地，对单侧检验有: 2）检验假设 : , : . 2 2 2 1 1 2 2 2 H0 1 H 得拒绝域为 ( 1, 1) F F n1 − n2 − 3）检验假设 : , : . 2 2 2 1 1 2 2 2 H0 1 H 得拒绝域为 ( 1, 1) F F1− n1 − n2 −
例题选讲 双正态总体均值差的假设检验 1.方差G,a2已知情形 例1(E0)设甲、乙两厂生产同样的灯泡,其寿命x,y分别服从正态分布N(A1,G12) N(42a2),已知它们寿命的标准差分别为8h和96h现从两厂生产的灯泡中各取60只 测得平均寿命甲厂为1295h,乙厂为1230h能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异 (a=0.05) 解(1)建立假设H0:A1=2,H1:A1≠ (2)选择统计量U=- ~N(0,1) (3)对于给定的显著性水平a,确定k,使P{U卜k}=a 查标准正态分布表k=ua12=l025=1.96,从而拒绝域为|19 (4)由于x=1295,j=1230,σ1=84,σ2=96,所以 3.95>1 V n, n2 故应拒绝H0,即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差异 例2一药厂生产一种新的止痛片,厂房希望验证服用新药后至开始起作用的时间间隔 较原有止痛片至少缩短一半,因此厂方提出需检验假设 H0:≤212,H1:p>22, 此处p1,42分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至起作用的时间间隔的总体的均值 设两总体均为正态且方差分别为已知值σ2,a2,现分别在两总体中取一样X12X2…,x 和Y1,2,…Y2,设两个样本独立试给出上述假设H0的拒绝域,取显著性水平为a 解检验假设H6:A1≤2H2,H11>22,采用-2F~NA-22,92,402 在H成立下U= X-2Y-(1-22)N(1) 因此,类似于右侧检验,对于给定的a>0,则H成立时
例题选讲 双正态总体均值差的假设检验 1．方差 2 2 2 1 , 已知情形 例 1(E01) 设甲、乙两厂生产同样的灯泡, 其寿命 X,Y 分别服从正态分布 ( , ), 2 N 1 1 ( , ), 2 N 2 2 已知它们寿命的标准差分别为 84h 和 96h, 现从两厂生产的灯泡中各取 60 只, 测得平均寿命甲厂为 1295h, 乙厂为 1230h, 能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异 ( = 0.05 )? 解 (1) 建立假设 : , H0 1 = 2 : . H1 1 2 (2) 选择统计量 ~ (0,1). 2 2 2 1 2 1 N n n X Y U + − = (3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{|U | k} = 查标准正态分布表 1.96, k= u / 2 = u0.025= 从而拒绝域为 | u |1.96. (4) 由于 x =1295, y =1230, 84, 1 = 96, 2 = 所以 3.95 1.96, 2 2 1 1 2 1 = + − = n n x y u 故应拒绝 , H0 即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差异. 例 2 一药厂生产一种新的止痛片, 厂房希望验证服用新药后至开始起作用的时间间隔 较原有止痛片至少缩短一半, 因此厂方提出需检验假设 : 2 , : 2 , H0 1 2 H1 1 2 此处 1 2 , 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至起作用的时间间隔的总体的均值. 设两总体均为正.态且方差分别为已知值 2 2 2 1 , , 现分别在两总体中取一样 1 , , , X1 X2 Xn 和 , , , , 1 2 n2 Y Y Y 设两个样本独立.试给出上述假设 H0 的拒绝域, 取显著性水平为 . 解 检验假设 : 2 , H0 1 2 : 2 , H1 1 2 采用 . 4 2 ~ 2 , 2 2 2 1 2 1 1 2 − − + n n X Y N 在 H0 成立下 ~ (0,1). 4 2 ( 2 ) 2 2 2 1 2 1 1 2 N n n X Y U + − − − = 因此, 类似于右侧检验, 对于给定的 0, 则 H0 成立时
2y n1 n2 2.方差a12a2未知,但a2=a2=2 例3(E02)某地某年高考后随机抽得15名男生、12名女生的物理考试成绩如下 男生:494847535143395756464244554440 女生:464047514336433848544834 从这27名学生的成绩能说明这个地区男女生的物理考试成绩不相上下吗?(显著性水平 解把男生和女生物理考试的成绩分别近似地看作服从正态分布的随机变量 N(4,a2)与Y~N(42,a2),则本例可归结为双侧检验问题 由题设,有n1=15,n2=12,从而n=n1+n2=27.再根据例中数据算出x=476,j=44 1)s2=∑(x1-x)2 y2-y)= n-1)S2+(2-1)S2}=1(4696+412)=594 h1+n2-2 由此便可计算出t Sy/n+1/n25.94/15+m121.566 取显著性水平a=005,查附表得,lan2(n-2)=1025(25)=2.060 因为t=156≤2.060=1025(25),从而没有充分理由否认原来假设H0,即认为这一地区男 女生的物理考试成绩不相上下 例4设有种植玉米的甲、乙两个农业试验区,各分为10个小区各小区的面积相同,除 甲区各小区增施磷肥外,其他试验条件均相同,两个试验区的玉米产量(单位:kg)如下(假 设玉米产量服从正态分布,且有相同的方差) 甲区:6560 575863605760 乙区:5956 试统计推断,有否增施磷肥对玉米产量的影响(a=0.05)? 解这是已知方差相等,对均值检验的问题,待检验假设为H0:4x=y,H1:μx≠Hy 由样本,得 =60(n1-1)s2=64,y=57,(n1-1)s2=24,t= 60-57 =3.03 V10+10-2V1010
( 2 ), 1 2 . 4 2 2 2 2 1 2 1 + − = u n n x y W 2. 方差 2 2 2 1 , 未知, 但 2 2 2 2 1 = = 例 3 (E02) 某地某年高考后随机抽得 15 名男生、12 名女生的物理考试成绩如下: 男生: 49 48 47 53 51 43 39 57 56 46 42 44 55 44 40 女生: 46 40 47 51 43 36 43 38 48 54 48 34 从这 27 名学生的成绩能说明这个地区男女生的物理考试成绩不相上下吗? (显著性水平 = 0.05 ). 解 把男生和女生物理考试的成绩分别近似地看作服从正态分布的随机变量 ~ ( , ) 2 X N 1 与 ~ ( , ), 2 Y N 2 则本例可归结为双侧检验问题. 由题设, 有 15, n1 = 12, n2 = 从而 27. n = n1 + n2 = 再根据例中数据算出 x = 47.6, y = 44; = − = − = 15 1 2 2 1 1 ( 1) ( ) 469.6, i i n s x x = − = − = 12 1 2 2 2 2 ( 1) ( ) 412. i i n s y y {( 1) ( 1) } 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 n S n S n n Sw − + − + − = (469.6 412) 5.94. 25 1 = + = 由此便可计算出 1.566. 5.94 1/15 1/12 47.6 44 1/ 1/ 1 2 = + − = + − = S n n x y t w 取显著性水平 = 0.05, 查附表得, ( 2) (25) 2.060. t / 2 n − = t0.025 = 因为 | | 1.556 2.060 (25), 0.025 t = = t 从而没有充分理由否认原来假设 , H0 即认为这一地区男 女生的物理考试成绩不相上下. 例 4 设有种植玉米的甲、乙两个农业试验区, 各分为 10 个小区,各小区的面积相同, 除 甲区各小区增施磷肥外, 其他试验条件均相同, 两个试验区的玉米产量(单位: kg) 如下 (假 设玉米产量服从正态分布, 且有相同的方差): 甲区: 65 60 62 57 58 63 60 57 60 58 乙区: 59 56 56 58 57 57 55 60 57 55 试统计推断, 有否增施磷肥对玉米产量的影响( = 0.05 )? 解 这是已知方差相等, 对均值检验的问题, 待检验假设为 : , H0 X = Y : . H1 X Y 由样本, 得 x = 60, ( 1) 64, 2 n1 − s1 = y = 57, ( 1) 24, 2 n1 − s2 = 3.03, 10 1 10 1 10 10 2 64 24 60 57 = + + − + − t = −