第二节条件分布与随机变量的独立性 分布图示 ★条件分布的概念 ★随机变量的独立性 ★离散型随机变量的条件分布与独立性 ★例2 ★例3 ★例4 ★连续型随机变量的条件分布与独立性 ★例5 ★例6 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题3-2 ★返回 内容要点 条件分布的概念 设X是一个随机变量,其分布函数为 Fx(x)=P{X≤x},-∞<x<+∞ 若另外有一事件A已经发生,并且A的发生可能会对事件{X≤x}发生的概率产生影响,则 对任一给定的实数x,记 F(x|A)=P{X≤x|4},-∞<x<+∞ 并称F(x|4)为在A发生的条件下,X的条件分布函数 二、随机变量的独立性 设A是随机变量Y所生成的事件:A={Y≤y,且P{Y≤y}>0,则有 Ysv)=PixSx,rsy.F(x,y2 一般地,由于随机变量X,Y之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另 一个随机变量的取值统计规律性.在何种情况下,随机变量X,Y之间没有上述影响,而具有 所谓的“独立性”,我们引入如下定义 定义设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为F2(x),F(y),若 对任意实数xy,有 P{X≤x,Y≤y=P{X≤xP{Y≤y} F(,y)=F(x)Fy() 则称随机变量X和Y相互独立 关于随机变量的独立性,有下列两个定理 定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何 事件独立,即,对任意实数集A,B,有 P{X∈AY∈B}=P{Xx∈AP{Y∈B} 定理2如果随机变量X与Y相互独立,则对任意函数
第二节 条件分布与随机变量的独立性 分布图示 ★ 条件分布的概念 ★ 例 1 ★ 随机变量的独立性 ★ 离散型随机变量的条件分布与独立性 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 连续型随机变量的条件分布与独立性 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 3-2 ★ 返回 内容要点 一、条件分布的概念 设 X 是一个随机变量, 其分布函数为 F (x) = P{X x},− x +, X 若另外有一事件 A 已经发生, 并且 A 的发生可能会对事件 {X x} 发生的概率产生影响, 则 对任一给定的实数 x , 记 F(x | A) = P{X x | A},− x +, 并称 F(x | A) 为在 A 发生的条件下, X 的条件分布函数. 二、随机变量的独立性 设 A 是随机变量 Y 所生成的事件: A ={Y y}, 且 P{Y y} 0 , 则有 ( ) ( , ) { } { , } ( | ) F y F x y P Y y P X x Y y F x Y y Y = = . 一般地, 由于随机变量 X,Y 之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另 一个随机变量的取值统计规律性. 在何种情况下, 随机变量 X,Y 之间没有上述影响, 而具有 所谓的“独立性”, 我们引入如下定义. 定义 设随机变量 (X,Y) 的联合分布函数为 F(x, y) , 边缘分布函数为 F (x) X ,F ( y) Y , 若 对任意实数 x, y ,有 P{X x,Y y} = P{X x}P{Y y}, 即 F(x, y) F (x)F (y), = X Y 则称随机变量 X 和 Y 相互独立. 关于随机变量的独立性, 有下列两个定理. 定理 1 随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 所生成的任何事件与 Y 生成的任何 事件独立, 即, 对任意实数集 A,B , 有 P{X A,Y B}= P{X A}P{Y B}, 定理 2 如果随机变量 X 与 Y 相互独立, 则对任意函数
g1(x),g2(y)均有g(X),g2(Y)相互独立 三、离散型随机变量的条件分布与独立性 设(XY,Y)是二维离散型随机变量,其概率分布为 P{X=x,Y=y}=Py,1,j=12 则由条件概率公式,当P{Y=y}>0,有 P(X=x,Y=yi PIX=x, Y=yj= =,i=12 PIr=y) p 称其为在Y=y条件下随机变量X的条件概率分布 对离散型随机变量(X,Y),其独立性的定义等价于 若对(X,Y)的所有可能取值(x,x),有 P(X=x, r=y)=PX=xP(r=y) P=P2Py,l,j=12… 则称X和Y相互独立 四、连续型随机变量的条件密度与独立性 定义设二维连续型随机变量(x,Y)的概率密度为∫(x,y),边缘概率密度为 f2(x)f(y),则对一切使∫x(x)>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件概率密度为 fm(/)≈(x f(x) 类似地,对一切使∫(y)>0的y,定义在Y=y的条件下X的条件密度函数为 Sxw(xlv=(x,y) f() 注:关于定义表达式内涵的解释.以 m(x/以)=(x,y) 为例在上式左边乘以dx,右边乘以(ddy)/dh即得 f(xf(x,y) dxdy P(r≤X<x+,y≤Y≤y+d fr()dy P{y≤Y≤y+dy} Pi ≤Y<y +ay 换句话说,对很小的dx和中,fm(xly)d表示已知Y取值于y和y+之间的条件下 X取值于x和x+女x之间的条件概率 对二维连续型随机变量(X,Y),其独立性的定义等价于
( ), 1 g x ( ) 2 g y 均有 ( ), ( ) g1 X g2 Y 相互独立. 三、离散型随机变量的条件分布与独立性 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量, 其概率分布为 P{X = xi ,Y = yj }= pij , i, j =1,2, 则由条件概率公式, 当 P{Y = yj } 0 , 有 , 1,2, { } { , } { | } = = = = = = = = i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j ij j i j i j 称其为在 j Y = y 条件下随机变量 X 的条件概率分布. 对离散型随机变量 (X,Y), 其独立性的定义等价于: 若对 (X,Y) 的所有可能取值 ( , ), i j x x 有 { , } { } { } i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y 即 pij = pi p j ,i, j =1,2, 则称 X 和 Y 相互独立. 四、连续型随机变量的条件密度与独立性 定 义 设二 维连 续型 随机 变量 (X,Y) 的概率密 度为 f (x, y) , 边缘 概 率密 度 为 f (x), f ( y) X Y , 则对一切使 f X (x) 0 的 x , 定义在 X = x 的条件下 Y 的条件概率密度为 ( ) ( , ) ( | ) | f x f x y f y x X Y X = . 类似地, 对一切使 f Y ( y) 0 的 y , 定义在 Y = y 的条件下 X 的条件密度函数为 ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = . 注: 关于定义表达式内涵的解释. 以 ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = 为例. 在上式左边乘以 dx , 右边乘以 (dxdy)/ dy 即得 { } { , } ( ) ( , ) ( | ) | P y Y y dy P x X x dx y Y y dy f y dy f x y dxdy f x y dx Y X Y + + + = = P{x X x + dx | y Y y + dy}. 换句话说, 对很小的 dx 和 dy , f x y dx X Y ( | ) | 表示已知 Y 取值于 y 和 y + dy 之间的条件下, X 取值于 x 和 x + dx 之间的条件概率. 对二维连续型随机变量 (X,Y), 其独立性的定义等价于:
若对任意的x,y,有 f(x, y)=fr(x)f(y) 几乎处处成立,则称X,F相互独立 注:这里“几乎处处成立”的含义是在平面上除去面积为0的集合外处处成立 例题选讲 条件分布的概念 例1(E01)设X服从[上的均匀分布,求在已知X>的条件下X的条件分布函数 解由条件分布函数的定义,有Fx|x> 1)P{X≤x,X>l/2 X>1/2} 由于X服从0.1上的均匀分布,故P(X>1/2}=1/2 而当x≤1/2时,P{X≤x,X>1/2}=0, 当x>1/2,P{X≤x,X>112}=F(x)-F(1/2)=F(x)-1/2 其中F(x)为x的分布函数,即F(x)={x,0≤x≤1 x-1/2,1/2<x≤1 于是,当x>112时,Px≤x,x=12=11/2,x>1 0, 从而可得 x1X>|={2x-1,12<x≤1 离散型随机变量的条件分布与独立性 例2(E02)设X与Y的联合概率分布为 0 2 0.05 0.15 0.1 1)求Y=0时,X的条件概率分布 (2)判断X与Y是否相互独立? 解(1)P{Y=0}=02+005+0=0.25 在Y=0时,X的条件概率分布为 Px=0y=0}=PX=0y=0102 =0.8, P{Y=0}0.25 P(x=1|y=0=2x=1.y=0=005=02 PX
若对任意的 x, y , 有 f (x, y) f (x) f ( y) = X Y 几乎处处成立, 则称 X,Y 相互独立. 注: 这里“几乎处处成立”的含义是:在平面上除去面积为 0 的集合外,处处成立. 例题选讲 条件分布的概念 例 1 (E01) 设 X 服从 [0,1] 上的均匀分布, 求在已知 2 1 X 的条件下 X 的条件分布函数. 解 由条件分布函数的定义, 有 , { 1/ 2} { , 1/ 2} 2 1 | = P X P X x X F x X 由于 X 服从[0,1]上的均匀分布, 故 P{X 1/ 2} =1/ 2. 而当 x 1/ 2 时, P{X x, X 1/ 2} = 0, 当 x 1/ 2 , P{X x, X 1/ 2}= F(x) − F(1/ 2) = F(x) −1/ 2 其中 F(x) 为 X 的分布函数, 即 , 1, 1 , 0 1 0, 0 ( ) = x x x x F x 于是, 当 x 1/ 2 时, , 1/ 2, 1 1/ 2, 1/ 2 1 { , 1/ 2} − = x x x P X x X 从而可得 . 1, 1 2 1, 1/ 2 1 0, 1/ 2 2 1 | − = x x x x F x X 离散型随机变量的条件分布与独立性 例 2 (E02) 设 X 与 Y 的联合概率分布为 (1) 求 Y = 0 时, X 的条件概率分布; (2) 判断 X 与 Y 是否相互独立? 解 (1) P{Y = 0}= 0.2 + 0.05 + 0 = 0.25, 在 Y = 0 时, X 的条件概率分布为 0.8, 0.25 0.2 { 0} { 0, 0} { 0 | 0} = = = = = = = = P Y P X Y P X Y 0.2, 0.25 0.05 { 0} { 1, 0} { 1| 0} = = = = = = = = P Y P X Y P X Y Y X −1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
P{X=2,Y=0}0 P{Y=0}0.25 又PX=0}=0.1+02+0=0.3,故在X=0时,Y的条件概率分布可类似求得 P{Y=-1|X=0 P{=0|X=0022 0.33 (2)因P{X=0}=0.3,P{Y=-l}=0.1+03+0.15=0.55 而P{X=0,y=-1}=0.,即PX=0,y=-1}≠P{X=0}P{Y=-1} 所以,X与Y不独立 例3(E03)设随机变量X与Y相互独立,下表中列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律 及关于X和关于y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处 yI 33 P(X=x,)=p 1/8 Pi=y=p 解由于P{X=x1,y=y}=P{Y=y}-P{X=x2,=y1}=1/6-1/8=1/24 考虑到X与Y相互独立,有P{X=x1}P{Y=y}=P{X=x1,Y=y1} 所以P1=11/64 同理,可以导出其它数值,最后将所求数值填入表中 y3 P(X=x, l/241/81/12 1/83/814 Py=y}=P16121/3 例4一射手进行射击击中目标的概率为p(0<p<1),射击进行到击中目标两次为止 以X表示首次击中目标所进行射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联 合分布及条件分布 解依题意,{Y=n}表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中 目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次,不论m(m<n)是多少,都有 PiX=m,r=n=p(1-P) 由此得X和Y的联合概率分布为 P{X=m,Y=n}=p2(-p)-2n=2,3…;m=12.…,n-1 为求条件分布,先求边缘分布.X的边缘概率函数为
0, 0.25 0 { 0} { 2, 0} { 2 | 0} = = = = = = = = P Y P X Y P X Y 又 P{X = 0}= 0.1+ 0.2 + 0 = 0.3, 故在 X = 0 时， Y 的条件概率分布可类似求得 , 3 1 0.3 0.1 P{Y = −1| X = 0} = = , 3 2 0.3 0.2 P{Y = 0 | X = 0} = = P{Y = 2 | X = 0} = 0. (2) 因 P{X = 0} = 0.3, P{Y = −1}= 0.1+ 0.3+ 0.15 = 0.55, 而 P{X = 0,Y = −1} = 0.1, 即 P{X = 0,Y = −1} P{X = 0}P{Y = −1} 所以, X 与 Y 不独立. 例 3 (E03) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 下表中列出了二维随机变量 (X,Y) 联合分布律 及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. Y X 1 y 2 y 3 y i Pi P{X = x } = 1 x 1/8 2 x 1/8 j p j P{y = y } = 1/6 1 解 由于 { , } 1 1 P X = x Y = y { } { , } 1 2 1 = P Y = y − P X = x Y = y =1/6 −1/8 =1/ 24, 考虑到 X 与 Y 相互独立, 有 { } { } { , }, 1 1 1 1 P X = x P Y = y = P X = x Y = y 所以 . 4 1 1/ 6 1/ 24 { } P X = x1 = = 同理, 可以导出其它数值, 最后将所求数值填入表中. Y X 1 y 2 y 3 y i Pi P{X = x } = 1 x 1/24 1/8 1/12 1/4 2 x 1/8 3/8 1/4 3/4 j p j P{y = y } = 1/6 1/2 1/3 1 例 4 一射手进行射击,击中目标的概率为 p(0 p 1) , 射击进行到击中目标两次为止. 以 X 表示首次击中目标所进行射击次数, 以 Y 表示总共进行的射击次数. 试求 X 和 Y 的联 合分布及条件分布. 解 依题意, {Y = n} 表示在第 n 次射击时击中目标, 且在前 n −1 次射击中有一次击中 目 标 . {X = m} 表 示 首 次 击 中 目 标 时 射 击 了 m 次 , 不 论 m(m n) 是多少 , 都 有 2 2 { , } (1 ) − = = = − n P X m Y n p p 由此得 X 和 Y 的联合概率分布为 2 2 { , } (1 ) − = = = − n P X m Y n p p n = 2,3, ; m =1,2, ,n −1 为求条件分布, 先求边缘分布. X 的边缘概率函数为
Pxm)-∑x=my=m=∑p-pr=3=p2∑-p)2=p1-p厘-,m=12… n=m+1 Y的边缘概率函数为 P{x=n=∑P{X=my=n=∑P(-p)y2=(m-1p2(1-p)"2,n=123 于是,当n=1,2,3,…时,有 PIX=mlr=ni PiX=m, Y=n I 类似地,当m=1,2,…时,可求得 Pr=n X=m=p(I-p) 连续型随机变量的条件分布与独立性 例5(E04)设(X,Y)的概率密度为 0,y>0 0, 其它 (2)f(x,y)= ∫2,0<x<y0<y<1 其它 问X和Y是否独立? M(1)fx(x)=[xe-x+ndy=xe-,x>0 fro) dx >0 即fx(x)= fr()= 0,其它 0,其它 因对一切xy均有:f(x,y)=fx(x)f(y),故XF独立 (2)fx(x)=2d=2-x),0<x<1 f(y)=2d=2y0<y< 即fx(x) 其它,f(y)=(2y0<y<1 2(1-x),0<x<1 0,其它 由于存在面积不为0的区域,使f(x,y)≠fx(x)fy(),故X和Y不独立 例6设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布,概率密度为 其它 求nx(yx)
P{X = m} = + = = = 1 { , } n m P X m Y n = + − = − 1 2 2 (1 ) n m n p p = + − = − 1 2 2 (1 ) n m n p p (1 ) , −1 = − m p p m =1,2, Y 的边缘概率函数为 − = − − = = = = = = − 1 1 2 2 1 1 { } { , } (1 ) n m n n m P X n P X m Y n P p ( 1) (1 ) , 2 −2 = − − n n p p n =1,2,3, 于是,当 n =1,2,3, 时, 有 , 1 1 { } { , } { | } − = = = = = = = P Y n n P X m Y n P X m Y n m =1,2, ,n −1 类似地, 当 m =1,2, 时, 可求得 { | } (1 ) , − −1 = = = − n m P Y n X m p p n = m+1,m+ 2, . 连续型随机变量的条件分布与独立性 例 5 (E04) 设 (X,Y) 的概率密度为 (1) ； 其它 = − + 0, , 0, 0 ( , ) ( ) xe x y f x y x y (2) , 0, 2, 0 ,0 1 ( , ) = 其它 x y y f x y 问 X 和 Y 是否独立? 解 (1) ( ) , 0 (x y) x X f x xe dy xe − + − + = = x 0 ( ) , 0 (x y) y Y f y xe dx e − + − + = = y 0 即 = − , 0, , 0 ( ) 其它 xe x f x x X = − , 0, , 0 ( ) 其它 e x f y y Y 因对一切 x, y 均有: f (x, y) f (x) f ( y), = X Y 故 X,Y 独立. (2) ( ) 2 2(1 ), 1 f x dy x x X = = − 0 x 1 ( ) 2 2 , 0 f y dx y y Y = = 0 y 1 即 − = , 0, 2(1 ), 0 1 ( ) 其它 x x f x X = , 0, 2 , 0 1 ( ) 其它 y y f y Y 由于存在面积不为 0 的区域, 使 f (x, y) f (x) f ( y) X Y ，故 X 和 Y 不独立. 例 6 设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 , 0, 1/ , 1 ( , ) 2 2 + = 其它 x y f x y 求 ( | ). | f y x Y X