第6章稳态模型 微分方程稳定性 方法建模 §1捕鱼业的持续收获 §2军备竞赛 §3种群的相互竞争 §4种群的相互依存 §5种群的弱肉强食 §1捕鱼业的持续收获 ·再生资源(渔业、林业等) 与非再生资源(矿业等) 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益 问题及·在捕捞量稳定的条件下,如何 分析控制捕捞使产量最大或效益最佳 ·如果使捕捞量等于自然增长量,渔 场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定 1
产量模型x()~渔场鱼量 假设·无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 ()=f(x)=rx(1-x r~固有增长率,N~最大鱼量 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex,E~捕捞强度 建模 记F(x)=f(x)-h(x) 捕捞情况下 渔场鱼量满足 x(t)=F(x)=rx(1-)-Ex 不需要求解xt),只需知道x(t)稳定的条件 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x=F(x)(1)一阶非线性(自治)方程 平衡点-F(x)0的根xx=0→x三x 设x(t)是方程的解,若从x邻域的任一初值出发, 都有limx(t)=x,称x是方程(1)的稳定平衡点 不求x(,判断x稳定性的方法直接法 x=F(x)x-x)(2)(1)的近似线性方程 F(x)<0→x稳定(对(2)、①) F(x)>0→x不稳定(对(2),(1)
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产量模型x(1)=F(x)=rx(1 F(x)=0>xn=N(1 平衡点 稳定性判断F(x)=E-r,F(x)=r-E E<r→F'(x)<0,F(x)>0→x稳定,x不稳定 E>r→F(x)>0,F(x1)<0→x不稳定,x稳定 E~捕捞强度r~固有增长率 x稳定,可得到稳定产量区x稳定渔场干枯」 产量模型 在捕捞量稳定的条件下, 控制捕捞使产量最大 图解法 (x)=f(x)-h(x) y=rx y=h(x) =Ex f(x)=rx(1 y=f(l h(x)=ex F(x)=0/与校交点P P的横坐标x平衡点P的纵坐标h产量 产量最大P(x=M12h=AN/4E=h/=/2
P P P
效益模型 在捕捞量稳定的条件下, 控制捕捞使效益最大 假设·鱼销售价格p·单位捕捞强度费用c 收入T=ph(x)=pEx,支出S=cE 单位时间利润R=T-S=pEx-CE 稳定平衡点x0=N(1-E/r)几L R(E)=7(E)-S(E)=pNE(--)-cE 求E使RE最大口En=2(1-N) 最大效益下x 捕捞过度·封闭式捕捞追求利涧RE)最大」 开放式捕捞只求利润R(E)>0 R(E)=T(E)-S(E)=pNE(1--)-cE=0→E,=r(1 临界强度E=2ER T(E), S(E) E存在(0)的条件p>c/N pNE E E代入x0=N(1 S(E) T(E) 渔场鱼量x=C/P p↑,↓→x↓捕捞过度
5 5 5 V ! V " " # # $ # $ V V 5
§2军备竞赛 描述两个国家(国家集团)军备竞赛的过程 解释(预测)军备竞赛的结局 假设1)相互不信任,使一方军备越大,另一方军 备增加越快 2)经济实力限制,使任一方军备越大,对军 备增长的制约越大; 3)相互敌视或领土争端,使每一方都存在增 加军备的潜力。 假设1)2)的作用为线性:3)的作用为常数 建模x()~甲方军备,y()~乙方军备 x(t=ax+ ky+g y (t)=lx- By+ h a,月~本方经济实力的制约 k,~对方军备的刺激; g,h~军备竞赛的潜力 军备竞赛的结局→时的x(,y(0 口微分方程(*)的平衡点及其稳定性
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