第五章动态模型 微分方程建模 §1传染病模型 §2经济增长模型 §3 Lanchester战争模型 4药物在体内的分布与排除 §5香烟过滤嘴模型 §6按年龄分布的人口模型 §7烟雾的扩散与消失 动态·描述对象特征随时间(空间)的演变过程 模型·分析对象特征的变化规律 ·预报对象特征的未来性态 ·研究控制对象特征的手段 微分根据函数及其变化率之间的关系, 方程确定函数本身 建模·根据建模目的和问题分析作出简化假设 ·按照内在规律或用类比法建立微分方程 1
§1传染病模型 问题描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 ·预报传染病高潮到来的时刻」 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律 用机理分析方法建立模型 模型1已感染人数(病人)() 假设·每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为入 建模i(t+M)-i(t)=i(t)M d=1口()=ie dt i(0)=io t→)0→i→>o? 则不能使病人数增加必须区分已感染者 若有效接触的是病人, 人)和未感染者(健康人)
模型2区分已感染者(病人)和末感染者(健康人) 假设1)总人数N不变,病人和健康人s模型 的比例分别为i(t),s(t) 2)每个病人每天有效接触人 数为八,且使接触的健康人致病入~日接触率 建模 N[i(t+△t)-i(t]=[As(mM(t)△t di Erdt ni(I-1) s(t)+i(t)=1 i(0)= 模型2 d=1(1-0)Le8型 (0) t-传染病高潮到来时刻 (日接触率)→tn↑ i→1? 病人可以治愈!
W O P P
模型3传染病无免疫性病人治愈成 SIS模型 为健康人,健康人可再次被感染 增加假设3)病人每天治愈的比例为μμ~日治愈率 建模N[(+△1)-()=Ns(t)i(t)△t-Ni(r)△t i(1-i)- λ~日接触率 dt i(0)=i 1/~感染期 σ~一个感染期内每个病人的有效接触 人数,称为接触数。 模型3 1-(1-1 接触数 σ>1 ≤1 σ=1~阈值 ≤1→i(t σ>1 感染期内有效接触感染的 z小→()按S形曲线增长健康者人数不超过病人数
V
思考模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)舶特例 模型4传染病有免疫性病人治愈 SIR模型 后即移出感染系统,称移出者 假设1)总人数N不变,病人、健康人和移 出者的比例分别为i(t),s(t),r(t) 2)病人的日接触率λ,日治愈率 接触数σ=λ/μ 建模s()+i(t)+r(t)=1 需建立i(t),s(t),r(t)为两个方程 模型4 SIR模型 N[i(t+△t)-i(t)]=ANs(t)i(t)△t-pMi(t)△t N[s(t+△t)-s(t)]=-N(t)i(t)△t nsi- ui 无法求出i(t),s(t) 的解析解 在相平面s~i上 +≈1(通常r(0)=很小)研究解的性质