第二章初等模型 (初等数学方法建模) §1席位分配 §2双层玻璃窗的功效 §3划艇比赛的成绩 §4录象机计数器的用途 §5实物交换 §6传送带的效率 §7*启帆远航 §1席位分配 问三个系学生共200名(甲系100,乙系6, 丙系40)。代表会议共20席,按比例分 题配,三个系分别为10,6,4席。 现因学生转系,三系人数为103,63,34。问20席如何分配 若增加为21席,又如何分配 系别学生比例20席的分配21席的分配 比例 人数(%)比例结果比例结果对 加甲10351.510.31010.81511丙 系 惯乙6331.56.366.6157公 例丙3417.03.443.5703平 总和200100.020.02021.00021吗 1
舍弃惯例,寻找公平的分配方法 建立衡量公平分配的数量指标 人数席位 当P=P2/时,分配公平 B方P2n2 若 对A不公平 n1 对A的绝对不公平度 p1=150,n1=10,p1/n1=15P=1050,n1=10,p/=105 p2=100,n2=10,p2/n2=10p2=1000,n2=10,p2n2=100 p/n1-p2/n2 p/n1-p2/n2= 虽二者的绝对但后者对A的不公 不公平度相同平已大大降低! 将绝对度量改为相对度量 若 P 2,定义 、p2/ny=r(n1,n2)~对A的相对不公平度 n2 类似地定义rB(n1n2) 公平的分配方案应使r4,rn尽量小 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即 设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B 不设初始Pm12>Dmn2,即对A不公平
应讨论以下几种情况:初始Pm1>3m2 若(n1+1) 则这席应给A 2)若P 应计算r(n1+1,n2) (n1+ 3)若Pm1D3(m2+1),应计算a,n+1) P (n2+1)是否会出现? 若rn(n1+1,n2)<rA(m1,n2+1,则这席应给A 反之,给B 当r(1+1,n2)<r(m1,n2+1),该席给A 几rArB的定义 p2 n2(m2+1)m(m+1)该席给A 否则,该席给B 定义Q i=1,2,该席给Q值较大的一方 n;(n;+1 推广到m方分配席位,设访方人数p,席位n,若增加1席 该席给Q值 计算Q 1,2 n;(n;+1) 最大的一方 Q值方法
三系用Q值方法重新分配21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系:p1=103,n1=10 乙系:P2=63,n2=6 用Q值方法分配 丙系:P3=34,n3=3 第20席和第21席 20席 103 34 964,g 94.5,g3 10×11 Q1最大,第20席给甲系 103 2 第21席Q1 804,g2,g3同上 最大,第 l1×12 21席给丙系 分厘结果甲系1席,乙系6席,丙系4席公平吗? 进一步的讨论 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 席位分配的理想化准则 已知:m方人数分别为p1,p2,pm,记总人数为 P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1n2n (自然应有n1+n2+…+nm=N, 记q=Np/P,i=1,2,…m,若q均为整数,显然应n=q1 当q;不全为整数时,研究n;应满足的准则
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记[q=foor(q)~向≤q:方向取整; [ql=cei(q)~向≥q方向取整 q=NpP不全为整数时,n应满足的准则」 1)[ql≤n1≤[ql(i=1,2,m),即n必取[q1,[q之 n1应是N和p1,…Pm的函数,记n1=n1(N,P1…Pmn) 2)n1(N,p1,pn)≤n1(N+1,p1,…Pn)(i=1,2,…m) 即当总席位增加时n不应减少 “比例加惯例”方法满足1),但不满足2 值方法满足2),但不满足1)(令人遗憾!) 多天82双层玻璃窗的功效菌 问双层玻璃窗与同样多材料的单层 题玻璃窗相比,减少多少热量损关/、1m2 . Q 热量传播只有传导,没有对流 假T,T,不变,热传导过程处于稳态 没 材料均匀,热传导系数为常数 热 导 △T 内 模定 传律 o= k Q-单位时间单位面积传导的热量一上 ΔT温差,d材料厚度,k热传导系数
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