二、曲面的面积nY设光滑曲面 S:z=f(x,y),(x,y)EDMS则面积A可看成曲面上各点M(x,y,z)处小切平面的面积dA无限积累而成0设它在 D上的投影为 d，则dajxdo = cosy·d A12ncOSy/1+ f?(x, y)+ f,?(x, y)didA=1+ fx2(x,y)+f,2(x,y) doM do(称为面积元素)oe000x机动目录上页下页返回结束
M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则 M n d 机动 目录 上页 下页 返回 结束
故有曲面面积公式A= (l/1+ fx?(x,y)+ f,?(x,y) do即A= J]Ddxdy若光滑曲面方程为 x= g(y,z),(y,z)ε Dyz,则有2dvdzO0000x机动自录上页下页返回结束
故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z 则有 Dy z 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若光滑曲面方程为 =h(z,x),(z,x)ε Dzx,则有)2 dzd x0xdz若光滑曲面方程为隐式 F(x,y,z)=0,且 F,≠0,则FFazaz1x(x, y) e DxyFaxFayZVF?+F,?+F?4dxd 1F2DxyOe00x机动目录上页下页返回结束
z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = − = − , , ( , ) A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dxd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.计算双曲抛物面z=xy被柱面2+2=R2所截出的面积 A,解：曲面在xoy面上投影为D:x2+2≤R2,则/1+zx?+z,? dxdyA=(LDJ/, /1+x? + y? dxdy2元1+r2rdrdeJO2[(1+ R2) -1)]T3O0000X机动自录上页下页返回结束
例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2 = + + x y x y D 1 d d 2 2 = + + r r r R d 1 d 0 2 2 0 = + [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 = + R − 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4．计算半径为 α的球的表面积asin @de解：方法1利用球坐标方程7de设球面方程为 r=αasing球面面积元素为dA=a? sin@dpdeadp?2元元y2deHA三LsinpdgdJoJOX2=4元α方法2利用直角坐标方程 (略)Oe000x机动目录上页下页返回结束
例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin d d 2 A = a = 0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a asin ad 方法2 利用直角坐标方程. (略) 方法1 利用球坐标方程. a x y z o d asind 机动 目录 上页 下页 返回 结束