性质3三项递推关系 B(x)=1,P2(x)=x 2n+1 P n+1 P-1(x) n+ 性质4导数性质 (1-x2)P(x)=川[P21(x)-xPn(x) (n+ DIxP(x)-P(x)
性质 3 三项递推关系 = + − + + = = = + − ( ) ( 1,2,3,.....) 1 ( ) 1 2 1 ( ) ( ) 1, ( ) 1 1 0 2 P x n n n x P x n n P x P x P x x n n n 性质 4 导数性质 ( 1)[ ( ) ( )] (1 ) ( ) [ ( ) ( )] 1 1 2 ' n x P x P x x P x n P x x P x n n n n n + − = + − − = −
2. Cebyshev多项式 在区间[11上,带权p(x) 的正交多项式系 {n(x)(m=012…)称为 Cebyshev多项式,它的一般形式为 T,(x)=cos(narccosx)(n=0, 1, 2,.. 前几项具体是 T(x (x)
2．Cebyshëv多项式 在区间 [- 1,1] 上，带权 2 1 1 ( ) x x − = 的 正 交 多 项 式 系 { ( )}( 0,1, T x n n = 2, )称为 Cebyshëv 多项式，它的一般形式为 ( ) cos arccos 0,1,2, ( ) ( ) T x n x n n = = 前几项具体是 ( ) 0 T x = 1 ( ) T x x 1 =
T2(x)=2 T3(x)=4x3-3x T4(x)=8x4-8 T(x)=16x3-20x2+5x T(x)=32x3-48x2+18x2-1
( ) 2 2 T x x = - 2 1 ( ) 3 3 T x x x = - 4 3 ( ) 4 2 4 T x x x = - + 881 ( ) 5 3 5 T x x x x = - + 16 20 5 ( ) 6 4 2 6 T x x x x = - + - 32 48 18 1
Cebyshev多项式基本性质 性质1正交性 (m(),T,(x)) Tm(x)T(x) 水=1x(m=n=0) (m=n≠0) 性质2三项递推关系 T(x)=1,T2(x)=x Tn1(x)=2xTn(x)-Tn-(x)(n=12,3 性质3Tn(x)在(1,1)内有n个互异零点 2k-1 丌(n=1,2,3,,)
Cebyshëv多项式基本性质 性质 1 正交性 = = = = − = − ( 0) 2 ( 0) 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ( ), ( )) 1 1 2 m n m n m n dx x T x T x T x T x m n m n 性质 2 三项递推关系 = − = = = + − ( ) 2 ( ) ( ) ( 1,2,3,.....) ( ) 1, ( ) 1 1 0 2 T x x T x T x n T x T x x n n n 性质 3 ( ) T x n 在(- 1,1)内有 n 个互异零点 ( 1,2,3,...) 2 2 1 cos = − = n n k xk
性质4奇偶性 Tn(x)=(-1)Tn(x) 即n为奇数时,T(x)为奇函数,n为偶数时,T(x)为偶函数。 性质5Tn(x)有n+1个点x=cos~使它轮流达到最大值1和最小值-1,则 rn(x)=(-1)(k=0,1,2…,n)
性质 4 奇偶性 ( ) ( 1) ( ) n T x T x n n - = - 即 n 为奇数时， ( ) T x n 为奇函数，n 为偶数时， ( ) T x n 为偶函数。 性质 5 ( ) T x n 有 n+ 1个点 n k xk = cos 使它轮流达到最大值1和最小值−1，则 ( ) ( 1 0,1,2, , ) ( ) k T x k n n k = - =