式,并计算行列式,得 gl-A1lBkⅡ1 [E冲一(det幻]) det[ gu 根据定理25,有 t etl sir 从而 det[A1≠0。 (6) 将{8以}的共基{g"}的基向量g在旧逆变基{g}上分解,又得 A;g 及 g (8) 其中A(亦为n2个实数)称为逆变转换系数。两种转换系数符号 的区别在于上标还是下标带撤.让我们找出它们的关系。为此, 将(1)和(7)代入协变和逆变基向量的定义关系(211),我们有 郡g即口出"出冒g￡A 根据 Kronecker符号的定义(2.i1),某量的指标和 Kronecker 符号的某指标求和,相当于将该量的这个指标换以 Kronecker符号 的另一指标。于是,上式变成 写成矩阵形式就是 A川4」-[邵](-D 可见,[A"1是满秩矩阵[4,]的逆矩阵,当然也是满秩的 detL]≠0 (12) 如果分别称(1),(7)和(2),(8)为基向量转换式和度量张 量协变和逆变分量转换式,则(9)可看成是 Kronecker符号的转 换式 新的协变基{8}诱导出r阶张量空间5(%)的新的乘积 基:{……g:},{g的8;②…影},…,{g…·②g 等。任何φ∈(y)在新基上的表示式就是 g"g8…⑧ 24
(L3) 按定义32及张量的线性性质,φ的各种分量有转换式 pi-(g',…,g')=φ("gh,…,且;'g) A1……A(出,…g) dro (14) ; (g, gi (15) =…A (16) r阶张量分量的转换由r个相应的转换系数(包括求和)乘积实 现.每一乘积包含协变(或逆变)转换系数的个数和协变(或逆变) 指标,即下(或上)标的个数相同。古典张量运算就是这样把张量 定义为对应于每一组基按上述法则转换的有序数组。本书采用的 张量近代定义与基无关,而分量的转换法则是作为推论而得出的 细观(2),(8)和(9),我们发现,它们都是二阶张量分量的 转换公式.因此,ga,g"和都是二阶张量的分量,另一方面, 从下式 g 88r 可见,这些分量是通过度量张量的升降指标作用相联系的。因此, 它们实际上是一个张量—就是度量张量,记作/的各种分 量,于是 -g⑧g-g;②g-g;的g 8;g88=8ig;g 按我们的规定,张量分量的每个指标占一列. Kronecker符号属唯 一例外,这非但不会引起混乱而相反地带来方便,度景张量又叫 单位张量或恒同变换,其根据见第I章 4定义内积空间%的一组基{e}称为标准正交基,如果 满足 (19) 其中8;是 Kronecker符号,定义同(211)
4.2定理在内积空间y,存在一组标准正交基 证明我们进行构造性证明。设{g是y的一组基。先构 造一组正交基{fF},满足f=0,若i1.令f一g), 并设f=g2+sf1.这样确定§,使fF=0,即 fF=faz + Effr 182 NG 把f写成名2=2+Eg1,{g,g}的线性无关使「2≠0.再设 f=g;+52f1+5f,这样确定5,与,使f和f,f2正交,即 0=ff=fg4+5f→51=一 fF 0=f2f=f28+52f1f2=>52 fifa 把写成f-g+52+(+)8,易知,{8,g,g3}的 线性无关使f与0,这个过程可以一直进行下去,直到得到整个正 交基{}.将{}标准化,就得满足(19)的标准正交基{e}: 43注在标准正交基的情形下,由于条件(19),协变基和逆 变基是重合的,或者说,协变和逆变的差别消失.这时,一般只用下 标,遵循求和约定12,从而9,(%)也只有一组乘积基{en囚 必e,} 44定理标准正交基间的转换系数矩阵是正交矩阵 证明设有另一标准正交基{e;},其中e=are,由正 交条件(19)得 ,4,A j’r : 写成矩阵形式 [8,]=[AMl[A;;]. 取行列式又得 这正是正交矩阵的条件
55缩并与点乘 5定义缩井是一种将r(≥2)阶张量降2阶的映射 (y)→3,-2():φ卜Cpφ 定义条件为 Cp.qφ(以…,砂-U+2 切q-13Uq+t 一φ(叭1…,;郾+∵,如1,g,矶…,) v l≤p<q≤ 其中{g;},{g}是y的共基重复指标i遵守求和约定.□ 按定义,缩并显然是一种线性运算: C,φ!)=aCp,)φ+βCp, 如果另有共基{8;},{g"},则将g:="gg=g代人 (1)式右端,并考虑到φ的线性性质,得 g H4φφ(…,囂,…,g',…) 8中( g 可见,缩并是一种与基的选择无关的不变性运算 例1.求二阶简单张量α②υ的缩并 结果是标量.按定义 (ux(a⑧υ)=Ug,8)=(ug)(叫) 例2.求r阶简单张量的缩并。 C(p,(8…囚x…凶m的…) (1,…,吵p-1:Up+ 9Uq一15如4+15 一町∞…8r(n1 Up-1, i, Up+17 (U1)(p )〔8)(p+Up+)-·(u-1U)
(叫qg)(aq+Uq+x)(aD,) (ag)(以ng)[(U)(1U-)(+砂) (uq-1q-:)( (ap)(u1囚…⑧…凶加囚…8) (u 43加P 由1,…,U的任意性,得 C(pq(18…② ⑧a) (mpq)(m1②…⑧命⑧…囟⑧…区以) 其中“~“表示该量被跳过〔如6亠8) 例3。求二阶张量T的缩并 结果是一个标量 CunT=t(gi, g)mmT; Ti=:trT (5) 例4。求r阶张量φ的缩并。 任取φ的一种表示式。 C,aC φ(叭…即-8,…即1y r'⑧…g(U,…U-; rs gp…q……⑧,(叼,… 由此得 p,qy分=φ B2…8n8… 可见,Cp,y的分量是原张量分量在卩q指标升降为一上 下后进行求和的结果 古典张量运算正是这样用分量定义缩并的。只要缩并张量的 阶≥2,缩并可继续进行下去,缩并连续进行和同时进行的结果 是相同的,但写法略有差别,后者较方便。例如二次缩并 cp,w:%(%)→%x4(%) 定义如下 c, un(ur, 2uP-1g P+r Pq-13 0g+1?