1D+1···y-1D+13 Dr) 一φ(υ1…,叭1g;砂+…,Uq-1,',U4;… 8 g,+1 (6) 这里p,引,,t是不相同的,但不一定按上述次序排列.将这定义 用于r阶简单张量,就有 c P,q》, (m1⑧…8) )(可a:)⑧…命 8以r,(7) 对r阶张量进行雅次缩并要求r≥2m 52定义全缩并C:5x(%)→R由 L十1》2+2) 定义,结果是一个标量 例5。设φ∈%).Cp=C(kg;⑧81g8g 53定义设φ∈了(%),矿∈5,(y),则φ和矿的 e-点乘(自然数c≤min(r,5))定义为 ()矿:=C(+1)-,+2(φ8).目 (9) 当“=1时,简称点乘,并简单用两量并列表示 矿:=C,+(φ⑧矿)=pr1+,(g,即1) (g,⑧…必g,,囚B…·囚g) 1-1pp12,g;,⑧…⑧g,,囚84Q…g 10) 当e=2时,称为双点乘,简记为 φ:矿-φ"-qp;-;g,…·的g,-,囟g⑧…囚g 3-点乘用“氵“表示,e>3时仍用(9)的一般表示 54定义当φ,矿∈买(%),φ和矿的一点乘称为它 们的全点乘,以φ⊙妒记之。根据(8),我们有 Q妒:=C(φ⑧矿) 12) 例6,如,∈y=1(y):=C(a⑧u)=UD.(]3) 例7.VST∈只1(y):⊙T=C(SQT)=S:T=5"T 例8,φφ,v∈3(y);φ⊙〓φ (15)
两个以上张量也可以进行点乘,亦归结为张量积后再缩并,举例 如下 例9 ,v∈y;T∈x(%") rr=C(a,s,+(a∞T8u)-aT;v∈R 上式也可写成(T),但T之类的写法却是没有意义 的 例10.设E∈2(9),E∈4(%) e:E:E=Ca,),4,7)6)(eE的E)〓E;!Es(]6) 55定理设φ∈,(y),则 φ(n1,…,υ)=C(φ凶D②…),V1,…;,U∈y (17) 证明对于r阶简单张量a⑧…⑧,有 区n( υ,)=(m1U1)…U) 8砂) c(a1⑧6a⑧ 必υ) 考虑到任何r阶张量φ均可表为有限个r阶筒单张量的线性组 合及全缩并是线性算子,就得证(17) §6对称和反称 61定义r阶张量φ关于第P和q(1≤p,9≤,卩≠4) 变量为对称,如果 φ(U U),如U1,……,∈y, 62定理上述张量满足(1),当且仅当 或等价地 等
证明仅对(2)进行证明。利用张量分量定义和(1),从 更 φ(…8 6 g 得必要性。而利用张量的表示式和(2),从 Kg (gpUp)… 一…gp(gqn)…(g")… 2『5 又得充分性。口 因此,可以等价地用分量的上(或下)标的对称性来定义张量 的对称性。这是古典张量运算的做法。但这种定义要求证明与基 的选择无关。 63定义如果Vp,q(≠p)∈AC{1,…,r},(1)式成立,则 φ称作关于属A编号的变量为对称;若A=1,…,r}则φ 关于所有变量为对称,这时,φ称为对称张量。 例根据定理6,2,二阶对称张量T的分量满足 Ti=Tii, T=T", Ti T 可见,[r}和[T们]是对称矩阵 例2.若a,∈%,则S〓⑧υ+υ8α是二阶对称张 量,因为 S(x,y)一(α⑧D+8n)(x,y) (wx)(砂y)+(ux)(xy) (uy)(ux)+(uy)(ux) (uBo +uBu)(y, x)= S(J,x), 或从分量看 Ff 64定义r阶张量φ关于第p和q(1≤p,q≤r,p≠q) 变量为反称,如果
Up υ,) v,, VUna U∈y (5) 65定理上述张量φ满足(5),当且仅当 或等价地 p“ 等口 (8) 证法和定理62相同.类似地,也可用分量关于指标的反称性来 定义张量的反称性 6.6定理r阶张量φ关于第p和q变量为反称,当且仅当 Dq∈ 证明令砂=砂〓+矿",并利用线性性质,得 t )+φ( 根据(9),上式左端及右端第1和第4项等于零,余下两项给出 5).充分性得证,为了证明必要性,只要在(5)中取Dp=Uq 就得(9) 67定义如果vPq(≠p)∈dc{1,…},(5)式成立,则φ 称为关于属A编号的变量为反称;若A={1,…r},则φ关 于所有变量为反称,这时,φ称为反称张量 例3.二阶反称张量A的分量满足 d 可见,[da1和【4是反称矩阵。 例4,若,U∈%,则A=u⑧υ-0u是二阶反称张 量,因为 A(x,y)(r∞p-0⑧m)(x,y) (ux)(y)一(ux)(ay)
(ωy)(υx)+(uy)(ax (-Qυ+U8u)(y,x) A 或从分量看 d=t;-t;=一v十“ §7置换算子,对称化利反称化 7定义对σ∈6,置换算子是一个映射 T:了,(y)→J(x):φ宀Tφ, 定义如下 ):=φ( U y U,∈9 它是一个线性映射,因为由 T(aφ+)(m1,…U)=(aφ+即)(;…;矶nr) =aφ( )+Pv( aTφ(1…,)+βTψ(n1,…以) (aTφ+T矿) 有 T 矿)=aTφ+BT矿 a,∈R;φ,矿∈(). (2) 现看当φ是简单张量的情形:φ一⑧…町,我们有 T,( u,)(U1 1⑧…2a(Ua),,a) (1Uba)…(a;Un)…(双Un() 如果(i)〓i,则i=a(i),叫1Um=矶l.上式右端是 个实数的乘积,次序可交换,今将它们按的顺序排列则上式 右端等于 u-l{u)U2)…(乱-l1) 33