=φ(gg,…g)=φ(只"g1,g g"φ( g1)=84 7) 因此给定一种类型的分量,就可通过度量张量升降指标得出所有 其他类型的全部分量,由于各指标可以从1至n取值,阶张量 的每种分量共有n个。 3.3定理给定r阶张量φ<→给定它的任一种类型分量(例 如,协变分量φ灬4n) 证明所谓给定一个r阶张量φ,就是给定对任何变量 ……,U》算出φ(υ…,U)的一种法则.显然,按(4)就 可算出所有分量φ4…反之,若给定φ;1-,就可按下式算出φ 在任意1 ∈%上的值 o(2,……,)=φ(咋81;…,g,) 咋…tφ(1;…,郾;) zi1··#pφit-i (8) 证明中用到了φ的多重线性性质 34定理设φ和矿是任意r阶张量,a是任意实数,如果 称在任何自变量的算值均为零的张量为零张量O,并按下述定义 引进“张量加法”和“数乘” φ+妒)(υ,……υ):一φ(D3…,叼) 9 (p)(叭,…以):=a(φ(1y…,υ)), (10) vu,…,∈y,则全体r阶张量构成一个向量空间,称为y 上的r阶张量空间,记作,(%) 证明从,(y)的定义可知,它对上述两种运算是封闭 的.又由于运算(9)和(10)按定义归结为实数的运算,它们显然 满足向量空间的八条性质。□ 只要在(9)和(10)式取基向量作为自变量,利用张量分量的 定义,作为结论就得古典的张量和”及“数乘“的分量定义式,例 如 49
(φ十驴 +φr(被加各分量 必须是同类型的), φ 5定义设5,(y)和(y)分别是在y上的r阶和 s阶张量空间。定义一个映射 9(%)x 5+(y):(φ,卯)→φ②矿 按下述条件 φ矿( U,) U+:∈% Q=φ囚矿称为φ和矿的张量积.囗 显然,张量积φ⑧矿是r+:重线性函数,即r+s阶张量。根 据定义,张量积映射⑧是一个双线性映射,即满足 (a)⑧矿=a(φ⑧矿) φQ(a矿)(因而可笼统地写aφ妒) 13) (2+@2)⑧矿一⑧矿+φ2⑧矿, (14) ⑧(1+2)一中⑧矿+φ②折, (15) va∈R;,φ1,φ2∈,(y);,矿1,∈5(%) 以(14)为例,按定义验证如下: (φ1+φ)⑧ψ(n1,…即+)(φ1+φ)(叭;…;即) r+1 D,+s (1(n1…,U)+φ2(叭,…,U))ψ(υ r+12 (a1,…,υ)ψ(Ur,…,+) φ2(m1,……,U)矿(U,+,∵…,U,+) ②矿(U,……,υ)+φ2冈矿(,…,U+) (φ1②矿十φ2的矿)(U,…,+) 由于自变量n,……,+的任意性,上式导致(14) 36定张量积Q=φ⑧矿的分量等于φ和妒相应分量 的乘积. 2·
证明根据定义3.2,例如,我们有9的种混合分量如下 ψ(g φ(g1,,g)(g;2;…,B;) φ”「 16) ;·"T: 按经典叫法,张量积就是所谓并乘.φ和矿分别有n和n个上 述类型的分量,从而有n个分量(相应类型的) 在张量积φ⑧矿中,φ和矿本身又可以是别的更低阶张量 的张量积.注意到,张量积的定义归结为实数的乘积,从而满足结 合律,例如(φ⑧矿)②Q一∮⑧(矿9).于是我们可以将张量 积映射推广至任惫5个张量空间 8:9,(%)×∴×5,(%) 中1 )}→>(g1,…中 按条件 ⑧(φ1,…φ)(咋1;…,砂;…,;∷即) φ2(砂 φ( 容易验证,∞是多重线性映射 (…∴aφ;+ a②(…,,)+B(…,φ,∵), B∈R;中;,φ,∈,(y) 在每个φ都是一阶张量(即向量)的最简单情况下,上述 多重张量积成为蠶1囟……囚.它是s阶张量,在矶 ∈9 上的值是 451 (D2 (aU1)…(U) 18) 这种具有5个向量(不一定线性无关)的张量积称为简单张量 既然r阶张量空间列(%)是一个向量空间(它的元素一 r阶张量——是种广义的向量),在!》)也就有线性无关 组的问题,而极大线性无关组就是买(y)的基,正如{g;}或 {g}是y的基一样。下面讨论这个问题
37定理{g,囟…∞g,}是r阶张量空间9,y)的一组 基,称为乘积甚.乘积基共有n个简单张量,故彡,(y)是n维 向量空间 证明首先证 p1囚 8i 19) 事实上,(191的左端是n个r阶简单张量的线性组合,因而仍是 一个r阶张量,而且是零张量,即它的每个分量都应为零: g,……gg 此即(19)于是,根据定理1.3,简单张量组{g⑧…8}是 线性无关组.今证任何φ∈5,(%)可由{g,8…囚g}线性 表出。利用(18)式,W2,…,矿∈y: 矿)〓φ(hg' gfr) nφ(g1,…,g2n φr" x,(Eg,)…·(U,) ,(8,p)…(8,) …8n( 由吵,……,υ的任意性,得 φ…pr"g1⑧②g口 (20) 有如y的基{g;}通过指标游戏诱导出对偶基{g}, 51%)的乘积基{g,⑧…∞g诱导出2-1组基,只要在 上述基中一个,若千个或甚至r个协变基向量gy代之以逆变基 向量g,例如 g18g,⑧…￠g},{g⑧g1⑧g2②…⑧g i8 ∞g等.诱导出的每一组均可用相同办法证明是(y)的 基,因此,φ就有2种等价的表示式: φ-pg8g;6…囚8 φ;i‘g18g-8g;囚…·囟囂 xxg242…囚g (21 这些分解系数就是定义32所定义的各秤分量
(%)的每一种基的元素是协变或逆变基向量的张量积 都是简单张量,称为基张量。一个基的基张量作为一个r阶张量 又可由任何基线性表出,例如 ∞g ∞g 8g;⑧∴·②gn; (22) g1∴… …g2"g,,·囚g (23) 这些都是以g〓glg4,2,g=g',代人的结果.在上两 式中,各分量均是度量张量各有关分量的乘积,它们同时又是指标 的升降者 类似于向量a的两种分量的关系(2.27),任意r阶张量φ 的2种分量间也通过指标游戏由度量张量联系起来,用相同于 (2,27)的证法,容易证明,例如 (24) p=g1…gr小,, (25) 读者还应注意到,r阶张量分量的指标个数也是r,每一指标 占一列当该列出现上标时,下标的位置应空出,例如吵不能 写成哗有些书将空出的位置补上一个点,如3但这样 写法太繁琐了 从定理37还可以看到,阶简单张量固然是r阶张量,而r 阶张量不一定就是简单张量,但任何r阶张量均可表为有限个(不 超过n个)r阶简单张量之和, 54基的转换和标准正交基 设有另组协变基{gH(y的另一个极大线性无关向量组) 用带撇的下标区别于原有协变基{g;}.每个基向量gp在旧基上 分解得 8 及 g;";=影;〓升,4g:g;四科A行 (2) 其中(共为n2个实数)称为协变转换系数,将(2)写成矩阵形