这里姑且先用张量一词,以后再明确定义.有了[gH],就可以 (a)利用点积的双线性性质和(2),计算任意两向量a和u 的点积 aD=(wg:)(81)l''g;g,=g;n2 (3) (b)根据点积的正定性,定义向量的长度 la!:=√a=√g;tn'vh’; (c)定义两非零向量的夹角e∈[0,]的余弦 U cose. g. (5) “度量张量”的称谓正由于它确定向量的长度,夹角余弦的定义 (5)是三维情形的推广。这推广是可行的,因为根据下面的定理 (5)式右端的绝对值恒不大于I 25定理( Schwart不等式)设y是内积空间,恒有 cru≤i·,a,D∈ (6) 证明若a和U线性相关(冖。或U一。是特殊情形), (6)式显然成立,对于和线性无关情形,根据点积的性质,有 !八(|a |2 并由此得 a≤lcr·l, 用-a代替,(7)式变为 w≤|-a·|!=ia·|叫即-叫l·|叫≤叫。(8) (7)和(8)给出(6)口 显然,正交向量的夹角0一,和三维情形一致 将(14)代入性质(iⅲ),点积正定性等价地表达为 g;xw'≥0,且g,!n=0分>“=0 这说明,[g;是正定二次型gn的系数矩阵。代数学告诉我
们 26定理 「s;]>0.口 可以看出,定义点积等价于给定对称正定矩阵[g;] 27定义设{g}是内积空间%的协变基.线性无关向量组 {g}称为y的逆变蕃(或者说{g}是{g}的对偶甚),如果满足 当 当 8称为 Kronecker符号 28定理在内积空间y里,存在{g;}的唯一的对偶基{g3. 证明设存在满足条件(11)的向量组{g}这些向量g在 协变基{g}上的分解为 8=gga (12) 代入条件(11),并利用(2),得 &&igi (13) 把各gf看成未知数,则[g"]是一个未知的nXn矩阵。将(13) 写成矩阵形式,又得 [g"I[g6]=[8-I(单位阵) (14) 根据定理26,对称矩阵【g是;1是满秩的,有唯一的逆(也是对称) (14)说明,【"]正是这个逆。回到(12),证实了满足(11)的 向量组{8}的存在唯一性。 取(l4)的行列式,得 det[g“]·detg]=1 由(10),又有 detg的] (15) let[ g 根据定理13,如果能证明,由 ;8 0 可得到 I5
0 的结论,则{}是线性无关组。为此,将(12)代入(16),得 g是 (13) 因为协变基{g;}是线性无关组,亦根据定理13,上式导致 g凸 (19) 把各共;看成未知量,上式是齐次线性代数方程组,由于(15)x它 的系数矩阵行列式大于零,故只有零解(17),从而得证具有7个 向量的{g}的线性无关性。口 将两个逆变基向量点乘,利用(12),(2)和(13),得 g'g(gg)(g 81)g giga g",(20) 这式从另一角度说明【81的对称性.将g;乘(12),又得 8ii8-8ji88 k=8 至此,我们已获得了内积空间的全部基本量:{g},[g;,Lg"l, {}以及它们的性质和相互关系.为了对这些量取得更系统和 更直观的看法,我们给出下述关系图 协变甚 轼性无关组) iRr 度景张量逆变分量 对称,det> =郾;翼 823=#18, 度量张量 协变分鬟 「g: 对称,dt>0) (魏性无关纽 从协变基{8}出发,可依次求得[g;],Ig"],{g'}.按相反次 序,从逆变基{a}出发,又可求得[g“1,ga],{g;}。指标的 上“与“下”,呼谓的“逆变”与“协变”,只是为了区别在作用上是等 价的两组量。我们完全可以将它们的上、下标和称呼颠倒过来。 我们称{g和{g}互为对偶基,或互为共基
既然{}也是%的一组基,任何向量就可由它线性表出: tig (22 同样,也可用[]计算点积,长度及夹角余弦: (23) iar!〓√g"x; (24) (25 g“kVg"升织 以后将看到,g和g只不过是同一张量的不同类型的分量而已 我们称g是度量张量的逆变分量.同样,a和动也是同一向量 u的分量.和逆变分量“不同,;称为以的协变分量,只要将 g1和g;分别点乘(1.4)和(22)1,并利用(11),就得这两种分量 的表达式 ug, rug 26 将(2)和(12)分别代入(14)和(22),又有 从这里得 考虑到基向量的线性无关,就得a的两种分量的关系: g g 联系a的两种分量的是度量张量的有关分量,这些分量起着升降 指标的作用,有人叫作“指标游戏.(14)和(22)1是同一向量的 两种表示,无实质区别。正因为此,用“范字母u强调两种分量的 实质相同,而指标的上下则用来区别不同的表示,我们经常等价 地说:“向量a,“向量”或“向量 今后将出现更复杂的 量,其表示方式的数目就相应地增加 §3张量和张量积 现在从另一角度米看向量和的点积,如果定α而变
亿U,则实数也随之而变化。因此,考虑到点积的线性性质 i),向量a可以看作是的(标量值)线性函数: u:y→R:→>(U):←, (1) 它满足 n(c+u)cu(υ)+a(u),vU,U∈y;a,B∈R 按(1)将(2.26)改写,就得向量两种分量的新含义:是线性函 数a在基向量上的算值 u(a u(g 将这种把向量看作线性函数的观念推广就得一般的张量定义 31定义对于任意正整数r,r重线性函数 φ:y×…×y→R:(n2……,砂)h>φ ,) 重 称为在y的r阶张量。r重线性是指,对1至r范围内的任意i 满足 φ(……ω;+p,…)=φ(,U,…) +p(…,),,可∈%;a,P∈R.口(3) 两个r阶张量相等φm矿如果φ(的…)=矿(叭,…, U,),V:·,U∈% 32定义r阶张量φ在基向量上的算值称为该张量的分量, 并记作, ;1,=φ(8,;…,g), (4) φ(g 客i5 g),(5) (4)型称为φ的协变分量,(6)为逆变分量,其余称混合分量.口 每一个自变量可独立地取为协变或逆变基向量,因此共有2 种分量。作为特殊情形,向量α只有一个自变量,亦称一阶张量 共有2种分量.φ的各种分量间也是通过度量张量的分量的升降 指标作用相联系的,例如