(i1),(i2),…,a(i))是(i,i,…i)的一个排列,就是说 每一个饣元置换对应于一个k元排列。因此,元置换的个数等 于k元排列的个数,即饣 设另有一饣元置换 1、2 则两个々元置换a,t连续进行的效果相当于一个k元置换,称为 这两个k元置换的乘积,并记作 vG· 例:4元置换 4257 4J3力2 则 元置换的全体构成一个群,称为k元置换群,并记作e.在不 引起误会时,常省略下标k而写成白 从置换例(5)可看到,置换后元素(下行)的排列可由元素的 下标的排列代表。如果有一个下标较大的元素排在一个下标较小 的元素前面,则称为一个反序。在(5)中,i在i之前,是一个反 序;i也在i之前,又是一个反序,故置换共有两个反序,置换 后元素的排列包含的反序总数称为该置换的反序数N((1),… σ(),或简记为N(σ).例如,(5)的N(i1,;1)一2,代 数证明,可以将置换前元素的排列通过逐次地每两元素的对换而 得到置换后元素的排列。虽然这些对换的次序和次数不唯一,但 对换次数N(σ)和反序数N(a)有相同的奇偶性。因此,这种奇 偶性反映置换的一种内在性质。当N(a)为奇数时,该置换称为 奇置换,否则为偶置换。表征置换奇偶性的
+1,σ是偶置换 sgna ,d是奇置换 称为置换σ的符号.显然 sgn(ru)=snt sgno, gao *sgno (9) 事实上,实现τ的对换次数为分别实现和x的对换次数之和故 sen(to)=(-1) (-1)“(1)+x%) (-1)xx-〔 sgar sgno 公式(9)2尔根据是:a-是恒同置换诏d,而sn(id 于是 利用(9),得 sino syno solid
第I章张量代数 §1向量空间和基 严格的张运算建立在向量空间概念的基础上。理论叙述的 每一步几乎都涉及这个概念。有必要首先明确交待向量空间的定 义及有关的若干性质。在这里,向量是一个抽象概念。今后我们 理解实数和标量是同义语 11定义(实)向量空间是在实数域R上的集合y,它的元 素称为向量(o表示零向量),并且Va,U,即∈y,a,F∈R定义 有下述两种运算 (一)向量加法“+:%×y→y:(m,0)+υ,满足 (i)+U (加法交换律) (i)(α+υ)十=+(υ+u)(加法结合律) (零向量的存在性) Giv)u+(-u)o (负向量的存在性) (二)数量乘法“:R×y→%:(a,红)卜-a",满足 v)(a+p)u〓a+阳a(对标量的分配律) (ⅵi)a(以+υ)=α+aU(对向量的分配律) vi)a(ur)一(ac)a 对标量的结合律) (viii)1u 运算的结果仍然是向量,常说,%关于这两种运算是封闭的。性 质(i)和(vi)使省去括弧的写法以十十和au不引起 含糊。向量的减法约定为 t一D:=g士 根据x的封闭性可知:任何向量组{;…:}cy的线性组合
au;,va,…,a∈R (2) 仍然是一个向量,即仍属于%,这堕r可能不是空间维数,和号 不能舍略。 l2定义向量组{1,…,叫}称为线性相关的,如果存在 不全为零的实数a,……,a',使得 否则,称为线性无关的。口 从这定义,得 1.3定理向量组{,…,t}是线性无关的,当且仅当 0〔i=1 定义线性无关向量组{8,…gn}C%称为%的极大 线性无关向量组,如果va∈%":{1,…,gn,}是线性相关的, 即任何可由该向量组线性表出 ; 可以证明,%的任何极大线性无关向量组包含向量的个数相同。 这个数n称为向量空间y的维数,记作dmy,(4)的右端对 从1到维数n求和,所以按求和约定省去和号。按取值约定,极大 线性无关组可简记作{g},称为y的一组(协变)基.基的每一 向量g,称为(协变)基向量.(4)中的a称为向量a在g;方向 的(逆变)分量。匚 读者发现,具有下标的量我们都冠以“协变”字样,而有上标的 则加“逆变”这包含一种规律性,道理以后再作交代 15定义向量空间%的任何非空子集%称为%的子空 间,如果%对在y所定义的加法和数乘也是封闭的,即 ,∈》:}R)→+即∈ (5)
§2内积空间,度量张量和对偶基 我们生活或周围自然现象进行所在的场所是通常称作的三维 坎氏空间。这个空间的每一点有一定的结构。在每一点上可以作 用有各种各样的(约束)向量,向量阆可以进行运算,例如(i)两向 量a和U可以按平行四边形相加,向量可以伸长或缩短为另一向 量(容易验证,这种加法以及数乘满足上一节对向量空间所规定的 性质);(i)可以按|a·|以lcos6进行点乘,求它们的夹角和向 量的长度;(ⅲ)此外,还可以进行叉乘,结果是垂直于α和υ而 长度为|a·1usinθ的甸量。我们把这些概念公理化,推广至 n维空间.首先根据〔ⅱ),在向量空间里引进点积的概念。在某 种意义上,叉积将由外积来对应,这一点以后再讨论 21定义(实)向量空间成为(实)内积空间(仍记为%),如 果,U、甜∈y;∝,β∈R再定义嵐积运算“:yx%→R:(a: U)}→>",满足 (i)uv (对称性) (i)ur(υ+β)=auυ+Bau (双线性〕 ⅲi)au≥0,且■=0←→=o,(正定性) 22定义向量a和称为互相正交的,如果=0, 作为性质(i)的推论,我们有 23定理正交于所有向量的向量必是零向量 va∈%:a 0-=→ 这个性质称为点积的非退化性 证明设定理的结论非真,即存在正交于所有向量的非零向 量υ≠0,则只要取日〓υ,就得与性质(i)矛盾的结论砂=0 24定义设{g是内积空间y的协变基.由给定的点积 运算唯一确定的对称矩阵 g]:=[g;g,](由点积的对称性,g;mg)(2) 的元素称为度量张量的协变分量.口