第I章准各 §1三维欧氏空间的笛氏张量记法 设在三维欧氏空间有直角坐标系{x,y,計}.按习惯,它的单 位基向量组是{,jk}或{,i,i.任意向量a和U可表为 u=tx1i2+“yi,+i xIx十y,+vix (1) 省去通常的点“·“我们简单地用并列表示谢向量的点积 十#yy 标量场f(x,yz)的梯度和向量场a(x,y,z)的散度分别是 gradf 十 af dy d i 0x0 dy 如果有描述变形体每点应力状态的应力张量场 则在静力学问题里,该场应满足平衡方程 十 6: y其 dTy y Oσn,,d x 十 az 熟知的奥高公式是 ou, dr au 0:
fuy cos(n, y)t ur cos(n, a)]ds (7) 其中V是积分区域,S是其边界 这些常见的很有规律的普通公式书写起来已经显得有点累 赘,如果要完整地讨论,例如,弹性力学问题,我们还要遇到麻烦 得多的公式 只要将符号略加改变,并引进两个约定,即可消除这些累赘 做法如下:将直角坐标系及其基向量组改记为{x1,xx3}和 {i,i2;i2},或 {x;i1,2,3}和{i;i〓1,2,3} 8 1.1取值约定指标从1至n取值 n是空间维数,这里n=3.这样,(8)式的取值范围 ,2,3就可省去而成{x}和{。如果向量a在x;轴方向的分 量记为,为,则(1)式变成 42十3【 ; (9) -+m+n-∑以 (10) 这里我们发现一个规律:上两式均对重复一次的下标求和。 1.2求和约定对重复一次且仅一次的指标从1至n求和 这时(9),(10)两式又可略去和号而写成 而两向量的点积就简化为 ura1十#2#2+a33 a uib (12) 类似地,(3),(4)式成为 gra 叶f;+t 4+处 (13) 于 6 a
如果进步用(),表示偏导数。,而逗号后的字母也看 作服从上述约定的下标,则更简单地有 grad冖,+f,十,〓∑f一,·(15 d=,+n2+n,∑a,=u1, 类似于向量分量的下标记法,把应力张量记成 a23或(a;) 2 则平衡方程变成 0 an+n2+02-0}即∑ 0 十 应用两个约定,复杂的平衡方程(6)最终可写成 0 (19) 奥高公式的各方向余弦{cos(n,x),cos(n,y),cos(m,z)实际 上是积分区域边界单位外法向n的分量{n2ny2},按现在的 记法就是{m;},于是(7)就变成 dv t (20) 这里出现两种指标:不重复的指标(即取值指标)称为自由指 标,重复的指标(即求和指标)称为哑指标。哑指标可以任意代换, 例如1;m“上面这些只是所谓“三维欧氏空间的笛氏张量 运算“的某些片断,是引进两个约定改写熟知公式的结果,虽然没 有实质性的新内容,但已部份地显出它的优越性
现在问题是:从一个直角坐标系转换至另一个直角坐标系或 斜角坐标系(即仿射坐标系),甚至任意的曲线坐标系时,情况又将 如何?这些问题的解决将是本书第一部分的基本内容 为了使理论上更透彻、叙述上更一般,以后我们将讨论n维空 间(m可为任意正整数)。三维空间是特殊的,特姝之处将在相应 的地方专门指出 今后还将出现上标。这时指标是上标和下标的统称,取值约 定和求和约定仍有效。但这时的“重复指标应理解为“上标和下 标分别相同地出现一次",如Pn,中的指标,E"Mh中的指标 ,均为哑指标。应注意的是,在既有上标,又有下标的情况,同 类型的指标是不允许重复的,如P是不允许的.在任何情况 下,指标重复一次以上,如L;M都是不允许的,这时求和 约定自动失效 §2若干符号 为了行文简练,将应用某些近代数学通用的符号: (i)设集合A由元素x1,x和x3组成。我们用 A一{x,x,x3} (1) 表示,当元素较多时,用特征描述法较方便。这时上式可写为 这里一竖“1”后面陈述x所具有的特征。利用取值约定,(2)式 又可写成A={x;}这里我们默认了空间的维数是3,又如 B={a|a是矩形,a的面积=1} (3) 若x是集合A的一个元素,我们说x属于A,用符号 表示。而“x长A”则表示“x不属于A4 设有另一集合B.如杲B的每一个元素也是A的元素,我们 说“A包含B”或“B是A的一个子集”,用“B=A”示 i)表示“对于所有、例;“对于所有属于实数域R的
≥0可写成 Vx∈R:x2≥0”或 0,Vx∈R ⅲ)“彐”表示“存在"。例:“3x:x〓4“是“存在-个x,使 4的缩写 表示“存在唯一的”例:“彐!x∈Z 表示 在整数系Z中存在唯一的大于3,小于5的数x” )“A→B”表示“如果A成立,则B也成立”,或者说“B 是A的一个推论”。我们也说:“A是B的一个充分条件,而B是 A的必要条件“。“A<→B”表示“A成立,当且仪当B成立”,或 者说“A和B是等价的”,“A是B的充分必要条件” (v)“F:A→B:a→b表示“F是从集合d到集合B的 个映射,即是一个法则,它使每个a∈A有唯一的一个b∈B与之 对应",应注意:“→”表示从集合到集合,而“>”表示从元素 到元素 v 表示左边由右边的表达式定义.也用到反过来的 符号 (ⅶi)设有r个集合A1;……,A,它们的笛氏乘积是一个新 的集合,定义为 xA,;={(a1,…,an)la1∈A1 ∈A},(6) 其中(12…,a)称为r元有序組 (vi)“口”表示诸如定义,证明,注解或例题等逻辑单元的终 止。但“口”只在该单元的终止可能和下文不明显分清时使用 §3置换 设K是k元集{ii2,…,i},从K到自身的1-1变换 K→K:i}→>σ(i) 称为k元置换,也可写成 )a(i)a(i+)