第13章 惩罚函数法 惩罚函数法的基本思想是：借助惩罚函数把约束问题转化为无约 束问题，进而用无约束最优化方法来求解。 §13.1 外点罚函数法 13.1.1 罚函数的概念 考虑约束问题 min f(x) S.t 8,(x)≥0，i=1,,m (13.1.1) h,(x)=0,j=1,,1 其中f(x),8,(xi=1,,m)和h,（x(j=1,,)是R”上的连续函数
第13章 惩罚函数法 惩罚函数法的基本思想是:借助惩罚函数把约束问题转化为无约 束问题,进而用无约束最优化方法来求解. §13.1 外点罚函数法 13.1.1 罚函数的概念 考虑约束问题 h x j l st g x i m f x j i ( ) 0, 1,..., . ( ) 0, 1,..., min ( ) = = = (13.1.1) 其中 f (x), gi (x)(i = 1,...,m)和hj (x)( j = 1,...,l)是 R n上的连续函数
在求解时必须同时照顾到即使目标函数值下降又要满足约 束条件这两个方面. 一种途径是由目标函数和约束函数组成辅助函数，把原来的 约束问题转化为极小化辅助函数的无约束问题 比如，对于等式约束问题 min f(x) (13.1.2) s.t h(x)=0j=1,,1 可定义辅助函数 F(xo)=fx)+o∑(x) (13.1.3)
在求解时必须同时照顾到即使目标函数值下降又要满足约 束条件这两个方面. 一种途径是由目标函数和约束函数组成辅助函数,把原来的 约束问题转化为极小化辅助函数的无约束问题. 比如,对于等式约束问题 st h x j l f x j . ( ) 0 1,..., min ( ) = = 可定义辅助函数 (13.1.2) = = + l j j F x f x h x 1 2 1 ( ,) ( ) ( ) (13.1.3)
参数0是很大的正数.这样就能够把(13.1.2)转化为无约束问题 n F(x,o) (13.1.4 显然，(13.1.4)的最优解必使得h,（x)接近零，因为如若不然，(13.1.3) 的第2项将是很大的正数，现行点必不是极小点由此可见，求解问 题(13.1.4)能够得到问题(13.1.2)的近似解 对于不等式约束问题 min f(x) S.t 8(x)≥0，i=1,.,m (13.1.5) 辅助函数的形式与等式约束情形不同，但构造辅助函数的基本思 想是一致的，这就是在可行点辅助函数值等于原来的目标函数值， 在不可行点，辅助函数值等于原来的目标函数值加上一个很大的 正数.根据这样的原则，对于不等式约束问题(13.1.5)，我们定义
参数 是很大的正数.这样就能够把(13.1.2)转化为无约束问题 min ( , ) F1 x (13.1.4) 显然,(13.1.4)的最优解必使得 接近零,因为如若不然,(13.1.3) 的第2项将是很大的正数,现行点必不是极小点.由此可见,求解问 题(13.1.4)能够得到问题(13.1.2)的近似解. h (x) j 对于不等式约束问题 st g x i m f x i . ( ) 0, 1,..., min ( ) = (13.1.5) 辅助函数的形式与等式约束情形不同,但构造辅助函数的基本思 想是一致的,这就是在可行点辅助函数值等于原来的目标函数值, 在不可行点,辅助函数值等于原来的目标函数值加上一个很大的 正数.根据这样的原则,对于不等式约束问题(13.1.5), 我们定义
函数 F2(x,o)=f(x)+o∑[max{0,-g,(x)}]2 (13.1.6) 其中o是很大的正数 当X为可行点时， max{0,-8,(x)}=0 当x不是可行点时， max{0,-g,(x)}=-8,(x) 这样，可将(13.1.5)转化为无约束问题 min F(x,o) (13.1.7) 通过(13.1.7)求得(13.1.5)的近似解
函数 = = + − m i i F x f x g x 1 2 2 ( , ) ( ) [max{0, ( )}] (13.1.6) 其中 是很大的正数. 当 x 为可行点时, max{0,−gi (x)} = 0 当 x 不是可行点时, max{0, g (x)} g (x) − i = − i 这样,可将(13.1.5)转化为无约束问题 min ( , ) F2 x (13.1.7) 通过(13.1.7)求得(13.1.5)的近似解
对于一般情形13.1.1)，可定义函数 F(x,o)=f(x)+oP(x) (13.1.8) 其中P(x)具有下列性质： Px)=∑(g,(x》+∑oh,(w》 (13.1.9) i=1 和0是满足下列条件的连续函数： 当y≥0时，(y)=0, 当y<0时，(y)>0, 当y=0时，p(y)=0, 当y≠0时，p(y)>0. 函数和p的典型取法如
对于一般情形(13.1.1),可定义函数 F(x, ) = f (x) +P(x) (13.1.8) 其中 P(x) 具有下列性质: = = = + m i l j i j P x g x h x 1 1 ( ) ( ( )) ( ( )) (13.1.9) 和 是满足下列条件的连续函数: 0 , ( ) 0. 0 , ( ) 0, 0 , ( ) 0, 0 , ( ) 0, = = = y y y y y y y y 当 时 当 时 当 时 当 时 函数和 的典型取法如