第7章最优性条件 §7.1无约束问题的极值问题 7.1.1 无约束极值问题 考虑非线性规划问题： min f(x),x∈R” 其中f(x)是定义在R"上的实函数.这个问题是求f(x)在n 维欧氏空间中的极小点，称为无约束极值问题.这是一个古典的 极值问题，在微积分学中已经有所研究，那里给出了定义在几何 空间上的实函数极值存在条件，这一节只是把已有理论在n维欧 氏空间中加以推广
第7章 最优性条件 §7.1 无约束问题的极值问题 考虑非线性规划问题: min ( ), n f x x R 其中 是定义在 上的实函数.这个问题是求 在n 维欧氏空间中的极小点,称为无约束极值问题.这是一个古典的 极值问题,在微积分学中已经有所研究,那里给出了定义在几何 空间上的实函数极值存在条件,这一节只是把已有理论在n 维欧 氏空间中加以推广. n f (x) R f (x) 7.1.1 无约束极值问题
7.1.2必要条件 为研究函数f(x)的极值条件，先介绍一个定理，它在后面的证 明中将要多次用到 定理7.1.1 设函数f(x)在点x可微，如果存在方向d, 使f(x)Id<0,则存在数6>0，使得对每个九∈(0，δ)，有 f(+九d)<f() 定理7.1.2 设函数f(x)在点x可微，若x是局部极小点， 则梯度Vf()=0. 定理7.1.3 设函数(x)在点x二次可微，若x是局部极小 点，则梯度f()=0,并且Hessian矩2f()是半正定的
7.1.2 必要条件 为研究函数 的极值条件,先介绍一个定理,它在后面的证 明中将要多次用到. f (x) 定理7.1.1 设函数 在点 可微,如果存在方向 , 使 ,则存在数 ,使得对每个 ,有 f (x) x d f (x) d 0 T 0 (0, ) f x d f x ( ) ( ). + 定理7.1.2 设函数 在点 可微,若 是局部极小点, 则梯度 f (x) x x = f x( ) 0. 定理7.1.3 设函数 在点 二次可微,若 是局部极小 点,则梯度 ,并且Hessian矩阵 是半正定的. f (x) x x f (x) = 0 ( ) 2 f x
7.1.3二阶充分条件 局部极小点的二阶充分条件： 定理7.1.4设f(x)在点X处二次可微，若梯度f()=0,且 Hessian矩阵V2f()正定，则X是局部极小点. 7.1.4 充要条件 前面几个定理分别给出无约束极值的必要条件和充分条件 这些条件都不是充要条件，而且利用这些条件只能研究局部极小 点.下面在函数凸性的假设下给出全局极小点的充要条件 定理7.1.5 设f(x)是定义在Rn上的可微凸函数x∈R” 则X为全局极小点的充要条件是Vf()=0·
7.1.3 二阶充分条件 局部极小点的二阶充分条件： 定理7.1.4 设 在点 处二次可微,若梯度 ,且 Hessian矩阵 正定,则 是局部极小点. f (x) x f (x) = 0 ( ) 2 f x x 7.1.4 充要条件 前面几个定理分别给出无约束极值的必要条件和充分条件, 这些条件都不是充要条件,而且利用这些条件只能研究局部极小 点.下面在函数凸性的假设下,给出全局极小点的充要条件. 定理7.1.5 设 是定义在 上的可微凸函数, , 则 为全局极小点的充要条件是 . f (x) n R n x R x f (x) = 0
例1利用极值条件解下列问题： mmfx)(k2-}+x好+x号-2x 例2 利用极值条件解下列问题： 3 -x 3
( ) 1 2 2 2 1 2 2 min f (x)= x1 −1 + x + x − 2x 例1 利用极值条件解下列问题: 例2 利用极值条件解下列问题: 3 3 2 1 2 2 1 1 1 min ( ) 3 3 f x x x x x = + − −
§7. 2约束极值问题的最优性条件 7.2.1约束极值问题 有约束的极值问题一般表示为 min f(x) x∈R" s.t 8,(x)≥0i=1.,m (7.2.1) h(x)=0j=1,,1 其中g,(x)≥0称为不等式约束，h,(x)=0称为等式约束集合 5=1 (x)≥0，i=1,,m (7.2.2) h,(x)=0j=1,,1 称为可行集或可行域
§7.2 约束极值问题的最优性条件 7.2.1 约束极值问题 有约束的极值问题一般表示为 其中 gi (x) 0 称为不等式约束, hj (x) = 0 称为等式约束.集合 min ( ) . ( ) 0 1,..., ( ) 0 1,..., n i j f x x R s t g x i m h x j l = = = (7.2.1) = = = = h x j l g x i m S x j i ( ) 0, 1,..., ( ) 0, 1,..., | (7.2.2) 称为可行集或可行域