我们先来考察在最后一个除权日(t)提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权,则期权 多方获得Sn-X的收益。若不提前执行,则标的资产价格将由于除权降到Sn-D 根据式(135),在tn时刻期权的价值(Cn) Cn≥Cn2 max s-Dn 因此,如果: Sn-Dn-e)≥Sn-X Dn≤X[l-e--] (13.11) 则在tn提前执行是不明智的 相反,如果 (13.12) 则在tn提前执行有可能是合理的。实际上,只有当tn时刻标的资产价格足够大时,提前执行美 式看涨期权才是合理的。 同样,对于任意i<n在t时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是: D,≤X[-e--) (13.13) 由于存在提前执行更有利的可能性,有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权, 其下限为: C≥c2maxS-D-e--),0 (13.14) 2.看跌期权 由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权,因此收益使美式看跌期权提前执 行的可能性变小,但还不能排除提前执行的可能性。 通过同样的分析,我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是: D≥X[1 D.≥X1 由于美式看跌期权有提前执行的可能性,因此其下限为 P≥max(D+X-,0) (13.15) 四、期权价格曲线的形状 弄清了期权价格的影响因素和期权价格上下限后,我们就可以初步推出期权价格曲线的形状 )看涨期权价格曲线 从构成要素讲,期权价格等于内在价值加上时间价值。内在价值主要取决于S和X,而时间价 值则取决于内在价值、r、波动率等因素
6 我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在 tn 时刻提前执行期权，则期权 多方获得 Sn-X 的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到 Sn-Dn。 根据式（13.5），在 tn 时刻期权的价值（Cn） max[ ,0] ( ) n r T t Cn cn Sn Dn Xe − − − − 因此，如果： S D Xe Sn X r T t n n n − − − − ( − ) 即： [1 ] ( ) n r T t n D X e − − − （13.11） 则在 tn 提前执行是不明智的。 相反，如果 [1 ] ( ) n r T t n D X e − − − （13.12） 则在 tn 提前执行有可能是合理的。实际上，只有当 tn 时刻标的资产价格足够大时，提前执行美 式看涨期权才是合理的。 同样，对于任意 i n, 在 ti 时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是： [1 ] ( ) i 1 i r t t i D X e − + − − （13.13） 由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权， 其下限为： max[ ,0] r(T t) C c S D Xe− − − − （13.14） 2．看跌期权。 由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执 行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。 通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是： [1 ] [1 ] ( ) ( ) 1 n i i r T t n r t t i D X e D X e − − − − − − + 由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为： P max( D + X − S,0) （13.15） 四、期权价格曲线的形状 弄清了期权价格的影响因素和期权价格上下限后，我们就可以初步推出期权价格曲线的形状。 （一）看涨期权价格曲线 从构成要素讲，期权价格等于内在价值加上时间价值。内在价值主要取决于 S 和 X，而时间价 值则取决于内在价值、r、波动率等因素
我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S,下限为max[S-Xe(-),0]。期权 价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时,期权价格就等于时间价值。时间价值在 S=Xeπ)时最大:当S趋于0和∞时,时间价值也趋于0,此时看涨期权价值分别趋于0和S-Xe 。特别地,当S=0时,C=c=0 此外,r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大,则期权价格曲线以0点为中心,越 往右上方旋转,但基本形状不变,而且不会超过上限,如图132所示。 看涨期权价格 期权价格上限 (C=C=S) 看涨期权价格曲线 期权价格下限 =c=max(s-Xe-rI-t)o)) 内在价值 虚值期权平价期权 实值期权 (S<Xet)(S=Xert-t) (S>X 图132无收益资产看涨期权价格曲线 有收益资产看涨期权价格曲线与图13.2类似,只是把Xe换成Xe++D (二)看跌期权价格曲线 1.欧式看跌期权价格曲线。 我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为Xe-),下限为 mae-”-S0]。当Xe-S>0时,它就是欧式看跌期权的内在价值,也是其价格下 限,当e--S<0时,欧式看跌期权内在价值为0,其期权价格等于时间价值。当 S=Xe(-时,时间价值最大。当S趋于0和∞时,期权价格分别趋于Xe-(-和0。特别时,当 S=0时,p=Xe(-。 欧式看跌期权价格 上限 式看跌期权价格 下限 内在价值 时间价值
7 我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为 S，下限为 max [ ,0] r(T t) S Xe− − − 。期权 价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在 S=Xe-r(T-t)时最大；当 S 趋于 0 和时，时间价值也趋于 0，此时看涨期权价值分别趋于 0 和 S－X er(T-t)。特别地，当 S=0 时，C=c=0。 此外，r 越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以 0 点为中心，越 往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如图 13.2 所示。 看涨期权价格 期权价格上限 (C=c=S) 看涨期权价格曲线 期权价格下限 (C=c=max(S-X e-r(T-t), 0)) =内在价值 时间价值 0 虚值期权 平价期权 实值期权 S (S<X e-r(T-t)) (S=X e-r(T-t)) (S>X e-r(T-t)) 图 13.2 无收益资产看涨期权价格曲线 有收益资产看涨期权价格曲线与图 13.2 类似，只是把 X e-r(T-t)换成 X e-r(T-t)+D。 （二）看跌期权价格曲线 1．欧式看跌期权价格曲线。 我 们 先 看 无收 益 资产 看 跌期 权 的 情形 。 欧式 看 跌 期权 的 上限 为 r(T t) Xe − − ，下限为 max[ ,0] ( ) Xe S r T t − − − 。当 0 ( ) − − − Xe S r T t 时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下 限，当 0 ( ) − − − Xe S r T t 时，欧式看跌期权内在价值为 0，其期权价格等于时间价值。当 S= r(T t) Xe − − 时，时间价值最大。当 S 趋于 0 和时，期权价格分别趋于 r(T t) Xe − − 和 0。特别时，当 S=0 时， r(T t) p Xe− − = 。 欧式看跌期权价格 上限 X e-r(T-t) 欧式看跌期权价格 下限、 内在价值 时间价值 X e-r(T-t) S
图13.3无收益资产欧式看跌期权价格曲线 r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高,看跌期权价值以0为中心越往右上方旋 转,但不能超过上限,如图13.3所示 有收益资产期权价格曲线与图133相似,只是把Xe(-)换为D+Xe(- 2.美式看跌期权价格曲线。 对于无收益标的资产来说,美式看跌期权上限为X,下限为X一S。但当标的资产价格足够低 时,提前执行是明智的,此时期权的价值为ⅹ一S。因此当S较小时,看跌期权的曲线与其下限或 者说内在价值ⅹ一S是重合的。当S=X时,期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似,如 图134所示 美式看跌期权价格曲线 美式看跌期权价格 下限 内在价值 时间价值 图134无收益资产美式看跌期权价格曲线 有收益美式看跌期权价格曲线与图13.4相似,只是把X换成D+X。 五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系 )欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 1.无收益资产的欧式期权 在标的资产没有收益的情况下,为了推导c和p之间的关系,我们考虑如下两个组合: 组合A:一份欧式看涨期权加上金额为Xe(-)的现金 组合B:一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产 在期权到期时,两个组合的价值均为max(Sr,X)。由于欧式期权不能提前执行,因此两组合在 时刻t必须具有相等的价值,即 C+Xe-(r-t) +s (13.16) 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系( Parity)。它表明欧式看涨期权 的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来,反之亦然。 如果式(13.16)不成立,则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式(13.16)成立 2.有收益资产欧式期权。 在标的资产有收益的情况下,我们只要把前面的组合A中的现金改为D+Xe-0,我们就 可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系 c+d+Xe P (13.17) (二)美式看涨期权和看跌期权之间的关系
8 图 13.3 无收益资产欧式看跌期权价格曲线 r 越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以 0 为中心越往右上方旋 转，但不能超过上限，如图 13.3 所示。 有收益资产期权价格曲线与图 13.3 相似，只是把 r(T t) Xe − − 换为 r(T t) D Xe− − + 2．美式看跌期权价格曲线。 对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为 X，下限为 X－S。但当标的资产价格足够低 时，提前执行是明智的，此时期权的价值为 X－S。因此当 S 较小时，看跌期权的曲线与其下限或 者说内在价值 X－S 是重合的。当 S=X 时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如 图 13.4 所示。 美式看跌期权价格曲线 X 上限 美式看跌期权价格 下限、 内在价值 时间价值 0 X S 图 13.4 无收益资产美式看跌期权价格曲线 有收益美式看跌期权价格曲线与图 13.4 相似，只是把 X 换成 D+X。 五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系 （一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 1．无收益资产的欧式期权。 在标的资产没有收益的情况下，为了推导 c 和 p 之间的关系，我们考虑如下两个组合： 组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 r(T t) Xe − − 的现金 组合 B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产 在期权到期时，两个组合的价值均为 max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在 时刻 t 必须具有相等的价值，即： c Xe p S r T t + = + − ( − ) （13.16） 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。它表明欧式看涨期权 的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。 如果式（13.16）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（13.16）成立。 2．有收益资产欧式期权。 在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合 A 中的现金改为 r(T t) D Xe− − + ，我们就 可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系： c D Xe p S r T t + + = + − ( − ) （13.17） （二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系
无收益资产美式期权。 由于P>p,从式(1316)中我们可得: P>c+Xe 对于无收益资产看涨期权来说,由于c=C,因此: P>C+Xe C-P<s-xe-(r-1) (13.18) 为了推导出C和P的更严密的关系,我们考虑以下两个组合: 组合A:一份欧式看涨期权加上金额为X的现金 组合B:一份美式看跌期权加上一单位标的资产 如果美式期权没有提前执行,则在T时刻组合B的价值为max(Sr,X),而此时组合A的价值为 max(Sr,X)+Xe-)-X。因此组合A的价值大于组合B。 如果美式期权在z时刻提前执行,则在r时刻,组合B的价值为X,而此时组合A的价值大 于等于Xex。因此组合A的价值也大于组合B 这就是说,无论美式组合是否提前执行,组合A的价值都高于组合B,因此在t时刻,组合A 的价值也应高于组合B,即 因此 C+X>P+s 结合式(13.18),我们可得 S-X<C-P<S-Xe (13.19) 由于美式期权可能提前执行,因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系,但我 们可以得出结论:无收益美式期权必须符合式(13.19)的不等式 2.有收益资产美式期权 同样,我们只要把组合A的现金改为D+X,就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等 S-D-X<C-P<S-D-Xe-T(T-t) (13.20) 第二节期权组合的盈亏分布 期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。投资者 可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期,以及各自的风险-收益偏好,选择最适合自己 的期权组合。在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。本书所附光盘中题为“期权交易策略” 的 EXCEL软件有本节中所提到的所有期权组合的盈亏分布计算软件。读者只要输入有关数据,该软件 就可以自动给出盈亏分布图 、标的资产与期权组合
9 1．无收益资产美式期权。 由于 P>p,从式（13.16）中我们可得： P c Xe S r T t + − − ( − ) 对于无收益资产看涨期权来说，由于 c=C，因此： P C Xe S r T t + − − ( − ) r(T t) C P S Xe − − − − （13.18） 为了推导出 C 和 P 的更严密的关系，我们考虑以下两个组合： 组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 X 的现金 组合 B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 如果美式期权没有提前执行，则在 T 时刻组合 B 的价值为 max(ST,X)，而此时组合 A 的价值为 S X Xe X r T t T + − ( − ) max( , ) 。因此组合 A 的价值大于组合 B。 如果美式期权在 时刻提前执行，则在 时刻，组合 B 的价值为 X，而此时组合 A 的价值大 于等于 r t ( ) Xe − 。因此组合 A 的价值也大于组合 B。 这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合 A 的价值都高于组合 B，因此在 t 时刻，组合 A 的价值也应高于组合 B，即： c + X P+ S 由于 c=C，因此， C+ X P+ S C−P S − X 结合式（13.18），我们可得： r(T t) S X C P S Xe − − − − − （13.19） 由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我 们可以得出结论：无收益美式期权必须符合式（13.19）的不等式。 2．有收益资产美式期权 同样，我们只要把组合 A 的现金改为 D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等 式： S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t） （13.20） 第二节 期权组合的盈亏分布 期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。投资者 可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期，以及各自的风险--收益偏好，选择最适合自己 的期权组合。在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。本书所附光盘中题为“期权交易策略” 的 EXCEL 软件有本节中所提到的所有期权组合的盈亏分布计算软件。读者只要输入有关数据，该软件 就可以自动给出盈亏分布图。 一 、 标的资产与期权组合
通过组建标的资产与各种期权头寸的组合,我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但 位置不同的盈亏图,如图13.5表示①。 图13.5(a)反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图,该组合称为有担保的看涨期权 ( Covered cal)空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图,与有担保的看涨期权空头刚好相 反 图13.5(b)反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图,标的资产空头与看跌期权空头组合 的盈亏图刚好相反。从图13.5可以看出,组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲 线叠加而来 盈 c+X-St -StpI c-St 亏损 亏损 (a)标的资产多头与看涨期权空头的组合 (b)标的资产多头与看跌期权多头的组合 图135标的资产与期权组合的盈亏分布图 、差价组合 差价( Spreads)组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合(即同是看 涨期权,或者同是看跌期权),其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。 1.牛市差价( Bull Spreads)组合 牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议 价格越高,期权价格越低,因此构建这个组合需要初始投资。 如果我们用X1和X2分别表示组合中的两个协议价格,且X1<X2,c1和c2分别表示协议价格为X1和 X2的看涨期权的价格,显然,c1>C2,那么牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表132表示 表132牛市差价期权的盈亏状况 标的资产价格范围看涨期权多头的盈亏看涨期权空头的盈亏总盈亏 ST-XI-C1 X2-ST+C X2-X1+c2-c1 XI<STX2 ST-X1-c SISX 表132的结果可用图136表示,从图中可以看出,到期日现货价格升高对组合持有者较有利,故 称牛市差价组合。 ①在图13.5——图13.22中,为了便于对比,我们也画出组合中各构成期权或标的资产本身的盈亏分布图,用虚线表 示。组合的盈亏分布图则用实线表示。在这些图中,c表示看涨期权的价格,p表示看跌期权的价格,X表示协议价 格,ST表示标的资产到期现货价格,S1表示标的资产买进或卖出价格
10 通过组建标的资产与各种期权头寸的组合，我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但 位置不同的盈亏图，如图 13.5 表示①。 图 13.5（a）反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图，该组合称为有担保的看涨期权 （Covered Call）空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图，与有担保的看涨期权空头刚好相 反。 图 13.5（b）反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图，标的资产空头与看跌期权空头组合 的盈亏图刚好相反。从图 13.5 可以看出, 组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲 线叠加而来。 盈利 盈利 X-p c+X-St c 0 ST 0 ST St X X-St-p -p c-St -St -St 亏损 亏损 (a)标的资产多头与看涨期权空头的组合 (b)标的资产多头与看跌期权多头的组合 图 13-5 标的资产与期权组合的盈亏分布图 二、差价组合 差价（Spreads）组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合（即同是看 涨期权，或者同是看跌期权），其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。 1．牛市差价（Bull Spreads）组合。 牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议 价格越高，期权价格越低，因此构建这个组合需要初始投资。 如果我们用 X1 和 X 2 分别表示组合中的两个协议价格，且 X1 <X 2, c1 和 c2 分别表示协议价格为 X1 和 X2 的看涨期权的价格，显然，c1>c2，那么牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表 13.2 表示。 表 13.2 牛市差价期权的盈亏状况 标的资产价格范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏 STX2 ST―X1―c1 X2―ST+c2 X2―X1+c2―c1 X1<ST<X2 ST―X1―c1 c2 ST―X1+c2―c1 STX1 -c1 c2 c2―c1 表 13.2 的结果可用图 13.6 表示，从图中可以看出，到期日现货价格升高对组合持有者较有利，故 称牛市差价组合。 ①在图 13.5——图 13.22中，为了便于对比，我们也画出组合中各构成期权或标的资产本身的盈亏分布图，用虚线表 示。组合的盈亏分布图则用实线表示。在这些图中，c表示看涨期权的价格，p 表示看跌期权的价格，X 表示协议价 格，ST 表示标的资产到期现货价格，St表示标的资产买进或卖出价格