第十六章套利行为 套利( Arbitrage)是保证各种金融产品(如现货、远期、期权和互换)、各种期限结构(如即 期利率期限结构、远期利率期限结构、附息票债券到期收益率期限结构、远期汇率期限结构等) 各地金融市场保持高度相关性的重要途径和力量,是效率市场( Efficient markets)的必要条件,也 是金融工程学的另一重要运用领域 第一节套利的基本原理 套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异,在不冒任何损失风险且无需投资者自有资 金的情况下有可能赚取利润的交易策略(或行为)。由此可见,判断一个交易策略是不是严格的套 利策略,有3条标准:①没有自有资金投入,所需资金通过借款或卖空获得:②没有损失风险,最 糟糕的情况是终点又回到起点,套利者的最终结果(已扣掉借款利息)还是零;③存在正的赚钱概 率。这意味着套利的最终结果可能没赚钱,但只要事前存在赚钱的概率且不存在亏钱的概率就可以 了 套利是利用资产定价的错误、价格联系的失常,以及市场缺乏有效性的其它机会,通过买进价 格被低估的资产,同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的交易策略。套利是市场无效率的 产物,而套利的结果则促使市场效率的提高,因此套利对社会的正面效应远超过负面效面,我们应 予充分鼓励和肯定。 套利有五种基本的形式:空间套利、时间套利、工具套利、风险套利和税收套利 空间套利 最明显和最直观的套利形式是空间套利(或称地理套利),它是指在一个市场上低价买进某种 商品,而在另一市场上高价卖出同种商品,从而赚取两个市场间差价的交易行为。空间套利是最早 的套利形式之一,也是大多数经营活动的主要形式。 例如,X股票同时在A、B两个证交所上市,但X在A市场的价格为每股10元,而在B市场 的价格仅为每股8元,于是可以通过在B市场买入X股票,然而转托管到A市场,再在A市场卖 出。这样,扣除手续费和佣金后将获得较丰厚的无风险利润。 从上例可以看出,只要两个市场的价差超过套利活动将产生的相关费用,套利活动就有利可 图。然而,套利活动买低卖高的结果将使低价市场的价格上升和高价市场的价格回落,直到两个市 场的价差小于相关费用,此时两个市场价格处于相对均衡状态,并可用下式表示 P (16.1) 其中,P和P分别表示i市场和j市场的价格,E表示在由相关费用(C)确定的区间内变动 的随机数,且:-C≤E≤C 式(16.1)就是著名的一价定律 价定律可以推广到不同货币的情形。如果i市场的价格用货币i表示,j市场的价格用货币j 表示用货币i表示的每单位货币j的汇率用E,表示,E以货币i表示,则一价定律等式变为: P=PE::+8 (162) 二、时间套利
275 第十六章 套利行为 套利（Arbitrage）是保证各种金融产品（如现货、远期、期权和互换）、各种期限结构（如即 期利率期限结构、远期利率期限结构、附息票债券到期收益率期限结构、远期汇率期限结构等）、 各地金融市场保持高度相关性的重要途径和力量，是效率市场（Efficient Markets）的必要条件，也 是金融工程学的另一重要运用领域。 第一节 套利的基本原理 套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒任何损失风险且无需投资者自有资 金的情况下有可能赚取利润的交易策略（或行为）。由此可见，判断一个交易策略是不是严格的套 利策略，有 3 条标准：①没有自有资金投入，所需资金通过借款或卖空获得；②没有损失风险，最 糟糕的情况是终点又回到起点，套利者的最终结果（已扣掉借款利息）还是零；③存在正的赚钱概 率。这意味着套利的最终结果可能没赚钱，但只要事前存在赚钱的概率且不存在亏钱的概率就可以 了。 套利是利用资产定价的错误、价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其它机会，通过买进价 格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的交易策略。套利是市场无效率的 产物，而套利的结果则促使市场效率的提高，因此套利对社会的正面效应远超过负面效面，我们应 予充分鼓励和肯定。 套利有五种基本的形式：空间套利、时间套利、工具套利、风险套利和税收套利。 一、空间套利 最明显和最直观的套利形式是空间套利（或称地理套利），它是指在一个市场上低价买进某种 商品，而在另一市场上高价卖出同种商品，从而赚取两个市场间差价的交易行为。空间套利是最早 的套利形式之一，也是大多数经营活动的主要形式。 例如，X 股票同时在 A、B 两个证交所上市，但 X 在 A 市场的价格为每股 10 元，而在 B 市场 的价格仅为每股 8 元，于是可以通过在 B 市场买入 X 股票，然而转托管到 A 市场，再在 A 市场卖 出。这样，扣除手续费和佣金后将获得较丰厚的无风险利润。 从上例可以看出，只要两个市场的价差超过套利活动将产生的相关费用，套利活动就有利可 图。然而，套利活动买低卖高的结果将使低价市场的价格上升和高价市场的价格回落，直到两个市 场的价差小于相关费用，此时两个市场价格处于相对均衡状态，并可用下式表示： = + Pi Pj （16.1） 其中，Pi 和 Pj 分别表示 i 市场和 j 市场的价格， 表示在由相关费用（C）确定的区间内变动 的随机数，且： −C C 。 式（16.1）就是著名的一价定律。 一价定律可以推广到不同货币的情形。如果 i 市场的价格用货币 i 表示，j 市场的价格用货币 j 表示用货币 i 表示的每单位货币 j 的汇率用 Ei，j 表示， 以货币 i 表示，则一价定律等式变为： = + Pi Pj Ei, j （16.2） 二、时间套利
时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资产,它包括现在对未来的套利和未来对未来的 套利。我们在第十二章曾详细论述了各种远期和期货价格与现货价格之间的平价关系公式,通过这 些公式,可以推导出不同期限的远期(或期货)价格对远期(或期货)价格的平价关系公式。只 要现实中现货和远期、期货价格的关系偏离这些平价关系的幅度超过手续费和税收,就可进行时间 套利。 远期、期货价格与现货价格之间的关系可用持有成本( Carry Cost)来总结。持有成本等于标 的资产的存储成本加上融资购买标的资产所支付的利息,再减去资产的收益。如果用F;(tT)表示 t时刻ⅰ市场某种标的资产T时刻到期的远期或期货价格,Pt表示t时刻标的资产在i市场的现货 价格,G(t,T表示T-t期间的持有成本,则t时刻现货价格与T时刻到期的远期或期货价格的均衡 条件为: F(t,7)=P(D+G1(1,7 (16.3) 同样,用T代替T(其中,T>T),则有: F(1,T)=P(1)+G1(,T) (164) 将式(16.3)代入(164),并令G(TT)=G1(t,T)-G(t,T),得 F(t,T)=F(t,7)+G1(T,T) (16.5) 正如式(16.1)和(162)是空间的均衡条件一样,式(16.3)至(16.5)是时间的均衡条件。 当式(16.3)至(165)的等式不成立时,就会产生套利机会(忽略交易费用),如果等式左边大 于右边,套利者可买进现货同时卖出远期或期货,或者买进较近期的远期或期货,同时卖出较远期 的远期或期货。如果等式左边小于右边,则可进行相反的操作,从而获得无风险利润。套利活动的 结果将使式(16.3)至(165)成立,此时市场处于时间均衡状态。 将式(16.2)代入(16.3)可得到一个更一般的既可解释空间又可解释时间价格关系的均衡条 件: F(,D)=P()E,()+G(,)+E (16.6) 其中,-C≤E≤C 、工具套利 工具套利就是利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价格差异,通过低买高卖来赚取无风 险利润的行为 从第12和13章关于衍生证券定价的分析中,我们看到各种衍生证券的价格部分或全部取决于 标的资产现货价格、利率、期限(或时间)、波动率等变量,当这些变量值已知时,我们就可推导 出各种衍生证券价格之间的关系。我们还看到,远期利率的期限结构取决于即期利率的期限结构 而不同期限的利率期货价格中也隐含着远期利率期限结构,即期和远期利率期限结构又决定了汇率 的期限结构。可以说,各种金融工具之间的价格联系是多渠道且紧密的,它们之间普遍存在着或简 单或复杂的平价关系。当这种平价关系被打破时,市场就提供了工具套利的机会。 更有甚者,同类金融工具之间也可进行工具套利,以期权为例,看涨期权与看跌期权之间、不 同期限的看涨期权或看跌期权之间都存在着价格联系,都存在着套利的可能性 工具套利是各种套利形式中最振奋人心的一种。在这种套利形式中,多种资产或金融工具组合 在一起,形成一种或多种与原来有着截然不同性质的金融工具,这正是创造复合金融工具的过程 这个过程反过来也成立。一项金融工具可以分解成一系列的金融工具,且每一个都有着与原来的金 融工具不同的特性,金融工具的组合和分解正是金融工程的主要运用。 四、风险套利 险套利是指利用风险定价上的差异,通过买低卖高赚取无风险利润的交易行为。根据高风险 高收益原则,风险越高,所要求的风险补偿就越多。根据资本资产定价模型,风险可分为系统性风 276
276 时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资产，它包括现在对未来的套利和未来对未来的 套利。我们在第十二章曾详细论述了各种远期和期货价格与现货价格之间的平价关系公式，通过这 些公式，可以推导出不同期限的远期（或期货）价格对远期（或期货）价格的平价关系公式 。只 要现实中现货和远期、期货价格的关系偏离这些平价关系的幅度超过手续费和税收，就可进行时间 套利。 远期、期货价格与现货价格之间的关系可用持有成本（Carry Cost）来总结。持有成本等于标 的资产的存储成本加上融资购买标的资产所支付的利息，再减去资产的收益。如果用 Fi（t,T）表示 t 时刻 i 市场某种标的资产 T 时刻到期的远期或期货价格，Pi(t)表示 t 时刻标的资产在 i 市场的现货 价格，Gi(t,T)表示 T－t 期间的持有成本，则 t 时刻现货价格与 T 时刻到期的远期或期货价格的均衡 条件为： F (t,T) P (t) G (t,T) i = i + i （16.3） 同样，用 T *代替 T（其中，T *>T），则有： ( , ) ( ) ( , ) * * Fi t T = Pi t + Gi t T （16.4） 将式（16.3）代入（16.4），并令 ( , ) ( , ) ( , ) * * Gi T T = Gi t T −Gi t T ，得： ( , ) ( , ) ( , ) * * Fi t T = Fi t T + Gi T T （16.5） 正如式（16.1）和（16.2）是空间的均衡条件一样，式（16.3）至（16.5）是时间的均衡条件。 当式（16.3）至（16.5）的等式不成立时，就会产生套利机会（忽略交易费用），如果等式左边大 于右边，套利者可买进现货同时卖出远期或期货，或者买进较近期的远期或期货，同时卖出较远期 的远期或期货。如果等式左边小于右边，则可进行相反的操作，从而获得无风险利润。套利活动的 结果将使式（16.3）至（16.5）成立，此时市场处于时间均衡状态。 将式（16.2）代入（16.3）可得到一个更一般的既可解释空间又可解释时间价格关系的均衡条 件： ( , ) = ( ) ( ) + ( , ) + Fi t T Pj t Ei, j t Gi t T （16.6） 其中， −C C 三、工具套利 工具套利就是利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价格差异，通过低买高卖来赚取无风 险利润的行为。 从第 12 和 13 章关于衍生证券定价的分析中，我们看到各种衍生证券的价格部分或全部取决于 标的资产现货价格、利率、期限（或时间）、波动率等变量，当这些变量值已知时，我们就可推导 出各种衍生证券价格之间的关系。我们还看到，远期利率的期限结构取决于即期利率的期限结构， 而不同期限的利率期货价格中也隐含着远期利率期限结构，即期和远期利率期限结构又决定了汇率 的期限结构。可以说，各种金融工具之间的价格联系是多渠道且紧密的，它们之间普遍存在着或简 单或复杂的平价关系。当这种平价关系被打破时，市场就提供了工具套利的机会。 更有甚者，同类金融工具之间也可进行工具套利，以期权为例，看涨期权与看跌期权之间、不 同期限的看涨期权或看跌期权之间都存在着价格联系，都存在着套利的可能性。 工具套利是各种套利形式中最振奋人心的一种。在这种套利形式中，多种资产或金融工具组合 在一起，形成一种或多种与原来有着截然不同性质的金融工具，这正是创造复合金融工具的过程。 这个过程反过来也成立。一项金融工具可以分解成一系列的金融工具，且每一个都有着与原来的金 融工具不同的特性，金融工具的组合和分解正是金融工程的主要运用。 四、风险套利 风险套利是指利用风险定价上的差异，通过买低卖高赚取无风险利润的交易行为。根据高风险 高收益原则，风险越高，所要求的风险补偿就越多。根据资本资产定价模型，风险可分为系统性风
险(用B衡量)和非系统性风险,非系统性风险可以通过分散化组合予以抵消,因此只存在系统性 风险才能获得风险报酬,且两者之间有一个严密的平价关系。如果现实生活中各种风险资产的定价 偏离了这个平价公式,就存在风险套利机会。 保险是风险套利的一个生动的例子。保险公司为许多面临较高风险的公司和个人提供保险,即 前者为后者承担风险,作为回报,后者要向前者支付保险费,作为前者承担风险的报酬。保险公司 通过把这些风险集中起来,将使各个风险中所含的非系统性风险互相抵消,以而大大降低了风险总 量。这样,保险公司就可通过收取相对较高的保险费,并投资于风险水平与所保风险总水平相当的 资产而获得风险套利的利润。 五、税收套利 税收套利是指利用不同投资主体、不同证券、不同收入来源在税收待遇上存在的差异所进行的 套利交易 在我国,个人证券买卖的资本利得可以免税,而法人单位则要按本单位的所得税率纳税,且法 人单位的所得税率有很大差别,有的33%,有的15%。对于股票和公司债券的现金股利,用未分配 利润和盈余公积金派送的股票红利、利息,个人和单位均要纳税。对于国债的利息,个人和单位均 可免税。 第二节套利实例 在本章第一节中,我们论述了几种主要的套利类型及其原理,本节我们将着重讨论花样最多、 难度较大的时间套利和工具套利。为表述方便起见,我们假定: 1.没有交易费用和税收 2.套利者可按无风险利率自由借贷 3.套利者均可按市场中间价格买卖资产 、基于远期和期货合约的套利 基于远期和期货合约的套利属于时间套利,它是利用远期和期货价格与标的资产现货价格的差 异来进行套利 (一)股价指数期货套利 股价指数可以近似看作是支付连续收益率的资产,股价指数期货价格与股价指数现货价格之间 必须保持如下关系,否则就存在套利机会 F= Se(r-gxT-t) 如果F>Se(x-”),投资者就可以通过购买股价指数中的成份股票,同时卖出指数期货合约 来获得无风险套利利润。相反,如果F<Se(-9x),投资者就可以通过卖空股价指数中的成份股 票,同时买入指数期货合约来获得无风险套利利润 由于买卖成份股需要花费较长的时间,而市场行情是瞬间万变的,因此在实践中人们大多利用 计算机程序进行自动交易。即一旦指数现货与期货的平价关系被打破时,电脑会根据事先设计好的 程序进行套利交易 应该注意的是,由于指数套利涉及的买卖较多,在某些极端的情况下,由于行情变化过快,即 使运用程序交易也无法避免某些风险。例如,在发生金融恐慌时,股票价格飞速下降,此时即使期 货价格低于现货价格,通过买入指数期货卖出成份股现货进行的套利活动也可能因为卖出委托的迟 延而给套利者带来风险。事实上,1987年10月19日“黑色星期一”美国股市发生大崩盘的当天收 市时,S&P500指数为22506点,而12月份交割的S&500指数期货价格却只有201.50点,比现货
277 险（用 衡量）和非系统性风险，非系统性风险可以通过分散化组合予以抵消，因此只存在系统性 风险才能获得风险报酬，且两者之间有一个严密的平价关系。如果现实生活中各种风险资产的定价 偏离了这个平价公式，就存在风险套利机会。 保险是风险套利的一个生动的例子。保险公司为许多面临较高风险的公司和个人提供保险，即 前者为后者承担风险，作为回报，后者要向前者支付保险费，作为前者承担风险的报酬。保险公司 通过把这些风险集中起来，将使各个风险中所含的非系统性风险互相抵消，以而大大降低了风险总 量。这样，保险公司就可通过收取相对较高的保险费，并投资于风险水平与所保风险总水平相当的 资产而获得风险套利的利润。 五、税收套利 税收套利是指利用不同投资主体、不同证券、不同收入来源在税收待遇上存在的差异所进行的 套利交易。 在我国，个人证券买卖的资本利得可以免税，而法人单位则要按本单位的所得税率纳税，且法 人单位的所得税率有很大差别，有的 33%，有的 15%。对于股票和公司债券的现金股利，用未分配 利润和盈余公积金派送的股票红利、利息，个人和单位均要纳税。对于国债的利息，个人和单位均 可免税。 第二节 套利实例 在本章第一节中，我们论述了几种主要的套利类型及其原理，本节我们将着重讨论花样最多、 难度较大的时间套利和工具套利。为表述方便起见，我们假定： 1．没有交易费用和税收； 2．套利者可按无风险利率自由借贷； 3．套利者均可按市场中间价格买卖资产。 一、基于远期和期货合约的套利 基于远期和期货合约的套利属于时间套利，它是利用远期和期货价格与标的资产现货价格的差 异来进行套利。 （一）股价指数期货套利 股价指数可以近似看作是支付连续收益率的资产，股价指数期货价格与股价指数现货价格之间 必须保持如下关系，否则就存在套利机会： (r q)(T t) F Se − − = 如果 (r q)(T t) F Se − − ，投资者就可以通过购买股价指数中的成份股票，同时卖出指数期货合约 来获得无风险套利利润。相反，如果 (r q)(T t) F Se − − ，投资者就可以通过卖空股价指数中的成份股 票，同时买入指数期货合约来获得无风险套利利润。 由于买卖成份股需要花费较长的时间，而市场行情是瞬间万变的，因此在实践中人们大多利用 计算机程序进行自动交易。即一旦指数现货与期货的平价关系被打破时，电脑会根据事先设计好的 程序进行套利交易。 应该注意的是，由于指数套利涉及的买卖较多，在某些极端的情况下，由于行情变化过快，即 使运用程序交易也无法避免某些风险。例如，在发生金融恐慌时，股票价格飞速下降，此时即使期 货价格低于现货价格，通过买入指数期货卖出成份股现货进行的套利活动也可能因为卖出委托的迟 延而给套利者带来风险。事实上，1987 年 10 月 19 日“黑色星期一”美国股市发生大崩盘的当天收 市时，S&P500 指数为 225.06 点，而 12 月份交割的 S&500 指数期货价格却只有 201.50 点，比现货
价格低23.56点。而在第二天纽约证交所对程序交易买行了临时性限制措施后,12月份的指数期货 价格价格最多时比现货价格低了18%。 例16 假设S&P500指数现在的点数为1000点,该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%(连续 复利),3个月期S&P500指数期货的市价为950点,3个月期无风险连续复利年利率为10%,请 问如何进行套利 在本例中,F<Se0,因此投资者可以通过卖空成份股买入指数期货来套利,其具体步 骤为: ①确定套利的金额(假定为1000万美元) ②按各成份股在指数中所占权重卖空成份股,总计金额为1000万美元 ③将卖空成份股所得款项1000万美元按无风险利率贷出3个月: ④买入20份3个月期S&P500指数期货0 ⑤3个月后收回贷款本金,其利息收入为: 1000(e01023-1)=2532万美元 ⑥3个月后按市价买回成份股,平掉股票的空仓,假设此时指数现货点数为S,则股票现货盈 亏为: 1000-S 1000)×1000万 ⑦3个月后按指数现货点数(Sr)对期货头寸进行结算,其盈亏为 (Sr-950)×500×20 ⑧此次套利套利的总盈亏为 2532万+1000万-1万×S+1万xSr-950万=7532万美元 二)外汇远期和期货套利 据式(12.12),外汇远期或期货汇率与现货汇率之间必须保持如下平价关系,否则就存在套 利机会: F=Se 如果F>Se-),套利者就可以通过买入外汇现货,卖出外汇远期或期货来获取无风险利 润。如果F<Se(-y-),套利者就可以通过卖出外汇现货,买入外汇远期或期货来获取无风险利 例 假设英镑现货汇率为1.6550美元/英镑,6个月期英镑远期汇率为1.6600美元/英镑,6个月期 美元和英镑无风险年利率(连续复利)分别为6%和8%,请问投资者应如何套利? 套利步骤为: ①以6%的年率借入1655万美元,期限6个月 ②按市场汇率将1655万美元兑换成1000万英镑 ③将1000万英镑以8%的无风险利率贷出,期限6个月 ④按1.6600美元/英镑的远期汇率卖出16份6个月期英镑远期φ,共计1037.5万英镑: ①每份S&P500指数期货价值为指数点数乘以500美元 ①每份合约规模为62,500英镑 278
278 价格低 23.56 点。而在第二天纽约证交所对程序交易买行了临时性限制措施后，12 月份的指数期货 价格价格最多时比现货价格低了 18%。 例 16.1 假设 S&P500 指数现在的点数为 1000 点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年 5%（连续 复利），3 个月期 S&P500 指数期货的市价为 950 点，3 个月期无风险连续复利年利率为 10%，请 问如何进行套利？ 在本例中， (r q)(T t) F Se − − ，因此投资者可以通过卖空成份股买入指数期货来套利，其具体步 骤为： ①确定套利的金额（假定为 1000 万美元）； ②按各成份股在指数中所占权重卖空成份股，总计金额为 1000 万美元； ③将卖空成份股所得款项 1000 万美元按无风险利率贷出 3 个月； ④买入 20 份 3 个月期 S&P500 指数期货； ⑤3 个月后收回贷款本金，其利息收入为： 1000 万 ( 1) 25.32 0.1 0.25 − = e 万美元 ⑥3 个月后按市价买回成份股，平掉股票的空仓，假设此时指数现货点数为 ST，则股票现货盈 亏为： ) 1000 1000 1000 ( − ST 万 ⑦3 个月后按指数现货点数（ST）对期货头寸进行结算，其盈亏为： (ST −950)50020 ⑧此次套利套利的总盈亏为： 25.32 万+1000 万－1 万ST+1 万ST－950 万=75.32 万美元 （二）外汇远期和期货套利 据式（12.12），外汇远期或期货汇率与现货汇率之间必须保持如下平价关系，否则就存在套 利机会： (r r )(T t) f F Se − − = 如果 (r r )(T t) f F Se − − ，套利者就可以通过买入外汇现货，卖出外汇远期或期货来获取无风险利 润。如果 (r r )(T t) f F Se − − ，套利者就可以通过卖出外汇现货，买入外汇远期或期货来获取无风险利 润。 例 16.2 假设英镑现货汇率为 1.6550 美元/英镑，6 个月期英镑远期汇率为 1.6600 美元/英镑，6 个月期 美元和英镑无风险年利率（连续复利）分别为 6%和 8%，请问投资者应如何套利？ 套利步骤为： ①以 6%的年率借入 1655 万美元，期限 6 个月； ②按市场汇率将 1655 万美元兑换成 1000 万英镑； ③将 1000 万英镑以 8%的无风险利率贷出，期限 6 个月； ④按 1.6600 美元/英镑的远期汇率卖出 166 份 6 个月期英镑远期，共计 1037.5 万英镑； 每份 S&P500 指数期货价值为指数点数乘以 500 美元。 每份合约规模为 62，500 英镑
⑤6个月后收回英镑贷款得到本息1040.8万英镑(等于1000e0×05); ⑥用1037.5万英镑交割远期合约,换得1722.3万美元(等于1037.5×1.66),尚余1048.8万 英镑-1037.5万英镑=3.3万英镑 ⑦用1715.7美元(等于1665e0×05)归还贷款本息,尚余1722.3万美元-1715.7万美元=6. 万美元 ⑧此次套利总盈余等于6.6万美元+3.3万英镑 (三)利率远期和期货套利 1.远期利率套利 据式(12.15)我们有 h≈(T-1)-r(T-1 可见,远期利率(r)和不同期限的即期利率(r和r)保持着密切的联系,如果上述关系被打 破,就存在套利机会。上式的r表示理论上的远期利率,如果实际远期利率高于理论远期利率,套 利者就可通过借长贷短并做空远期利率协议来获利,如果实际远期利率低于理论远期利率,套利者 则可通过借短贷长并做多远期利率协议来获利。 例16.3 假设现在6个月即期年利率为10%(连续复利,下同),6个月到1年的远期利率为11%,1 年期即期利率为12%,请问应如何进行套利? 套利步骤为: ①按10%的利率借入一笔6个月期的款项,假定金额为1000万元 ②以多头的身份签订一份6月×12月远期利率协议,合同利率为11%,金额为1051万元(等 于1000e01×05) ③按12%的利率贷出一笔1年期的款项,金额为1000万元; ④由于有远期利率协议保护,因此无论6个月后利率高低,套利者均可按11%的实际借款利率 借入6个月的金额为1051万元的款项,并用于偿还到期债务 ⑤1年后,收回1年期贷款,得到本息1127万元(等于1000e02x1),并用1110万元(等于 1051×e5)偿还到期债务,套利者净获利17万元 2.远期利率与到期一次还本付息国债期货套利 对于到期一次还本付息国债而言,其期货价格和现货价格应遵循如下关系 F= se(r-t) 假定现在为t时刻,国债期货合约的到期期限为T时刻,作为标的资产的国债的到期期限为T 时刻,到期日为T和T的无风险连续复利率分别为r和r',国债的面值为100元,到期本息和为 a,则该国债的现值(S)为 S 代入上式得 F=ae-r( -Der(T-t)=go-r(T-T) 其中r表示T至T期间的远期利率。这个式子表明,到期一次还本付息国债的期货价格与远期 利率存在着密切的关系。如果我们知道不同期限的到期一次还本付息国债期货价格,我们就可知道 a对于贴现式国债而言,a=100
279 ⑤6 个月后收回英镑贷款得到本息 1040.8 万英镑（等于 1000e0.080.5）； ⑥用 1037.5 万英镑交割远期合约，换得 1722.3 万美元（等于 1037.51.66），尚余 1048.8 万 英镑-1037.5 万英镑=3.3 万英镑； ⑦用 1715.7 美元（等于 1665e0.060.5）归还贷款本息,尚余 1722.3 万美元-1715.7 万美元=6.6 万美元; ⑧此次套利总盈余等于 6.6 万美元+3.3 万英镑。 （三）利率远期和期货套利 1．远期利率套利 据式（12.15）我们有： * * * ( ) ( ) F r T t r T t r T T − − − = − 可见，远期利率 ( ) F r 和不同期限的即期利率（ r 和 r *）保持着密切的联系，如果上述关系被打 破，就存在套利机会。上式的 rF表示理论上的远期利率，如果实际远期利率高于理论远期利率，套 利者就可通过借长贷短并做空远期利率协议来获利，如果实际远期利率低于理论远期利率，套利者 则可通过借短贷长并做多远期利率协议来获利。 例 16.3 假设现在 6 个月即期年利率为 10%（连续复利，下同），6 个月到 1 年的远期利率为 11%，1 年期即期利率为 12%，请问应如何进行套利？ 套利步骤为： ①按 10%的利率借入一笔 6 个月期的款项，假定金额为 1000 万元； ②以多头的身份签订一份 6 月12 月远期利率协议，合同利率为 11%，金额为 1051 万元（等 于 1000e0.10.5）； ③按 12%的利率贷出一笔 1 年期的款项，金额为 1000 万元； ④由于有远期利率协议保护，因此无论 6 个月后利率高低，套利者均可按 11%的实际借款利率 借入 6 个月的金额为 1051 万元的款项，并用于偿还到期债务； ⑤1 年后，收回 1 年期贷款，得到本息 1127 万元（等于 1000e0.121），并用 1110 万元（等于 1051e 0.110.5）偿还到期债务，套利者净获利 17 万元。 2．远期利率与到期一次还本付息国债期货套利 对于到期一次还本付息国债而言，其期货价格和现货价格应遵循如下关系： r(T t) F Se − = 假定现在为 t 时刻，国债期货合约的到期期限为 T 时刻，作为标的资产的国债的到期期限为 T * 时刻，到期日为 T 和 T *的无风险连续复利率分别为 r 和 r *，国债的面值为 100 元，到期本息和为 a，则该国债的现值（S）为： ( ) * * r T t S ae − − = 代入上式得： ( ) ( ) ( ) * * * r T t r T t r T T F ae e ae − − − − − = = 其中 r 表示 T 至 T *期间的远期利率。这个式子表明，到期一次还本付息国债的期货价格与远期 利率存在着密切的关系。如果我们知道不同期限的到期一次还本付息国债期货价格，我们就可知道 对于贴现式国债而言，a=100